高考数学(理)总复习课件：教材复习课 “椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过
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2 x ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1. 5
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
2 2 y x ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为 ＋ ＝1. 5 4
答案：C
x2 y2 4 2．已知椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则k的值为 9 5 4－k A．－21 B．21 19 C．－ 或21 25
(
)
教材复习课
“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过
椭圆
[过双基]
1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做 椭圆 ．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的 距离叫做椭圆的 焦距 ． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0， c>0，且a，c为常数： (1)当 2a＞|F1F2| 时，P点的轨迹是椭圆； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是线段； (3)当 2a＜|F1F2| 时，P点不存在．
解析：因为焦点在x轴上，所以0＜m＜2，所以a2＝2，b2 1 1 2 ＝m，c ＝a －b ＝2－m.椭圆的离心率为e＝ ，所以e ＝ 2 4
2 2 2
c2 2－m 3 ＝ 2＝ ，解得m＝ . a 2 2 3 答案： 2
[清易错]
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝ |F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹． 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而 x2 y 2 直接设方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
2．椭圆的标准方程和几何性质
x2 y 2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) b2 a2
标准方程
图形
标准方程 范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系
x2 y2 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 b2 a2 －a≤x≤ a， ____ － b ≤x≤ b，－a≤y≤a ____ － b ≤ y≤ b ____ (0,0) 对称轴：坐标轴 ，对称中心： (0，－a) ，A2 (0，a) ， A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 B1 (0，－b)，B2 (0，b) B1(－b,0) ，B2 (b,0) 长轴A1A2的长为 2a ，短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c c e＝a，e∈ (0,1) c ＝
19 D． 或－21 25
解析：当9＞4－k＞0，即4＞k＞－5时， a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k， ∴ 5＋k 4 19 ＝ ，解得k＝ . 3 5 25 4－k，c2＝－k－5，
当9＜4－k，即k＜－5时，所以k的值为 或－21. 5 25 4－k
1 C. 2
3 D. 3
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°， 2c |F1F2| 3 所以|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3.故e＝ ＝ ＝ .故选D. 2a |PF1|＋|PF2| 3 答案：D
x2 y2 1 4．若焦点在x轴上的椭圆 ＋m＝1的离心率为 ，则m＝_______. 2 2
答案：D
双曲线
[过双基] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值 点间的距离叫做 双曲线的焦距 ． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2| 时，P点不存在． 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点，两焦
2
a2－b2
[小题速通]
x2 y2 1．设P是椭圆 ＋ ＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点， 25 16 则|PF1|＋|PF2|等于 A．4 C．8 B．5 D．10 ( )
解析：由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案：D
2．(2016· 天津红桥一模)已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4， 2 离心率为 ，则椭圆C的标准方程是 2 x2 y2 A. ＋ ＝1 16 12 x2 y2 C. ＋ ＝1 4 8 x2 y2 B. ＋ ＝1 12 16 x2 y2 D. ＋ ＝1 8 4 ( )
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭 圆的标准方程为 x2 A． ＋y2＝1 5
2 2 x2 x y C． ＋y2＝1或 ＋ ＝1 5 4 5
( x2 y2 B． ＋ ＝1 4 5 D．以上答案都不对
)
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
2 2 解析：由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝ a ＝ ，解得a＝ 2 2 2，故b＝ 答案：C
2－22＝2，因为焦点在y轴上，故选C. 2 2
x2 y2 3．(2017· 临沂一中模拟)设椭圆C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦 a b 点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝ 30°，则C的离心率为 A. 3 6 B. 1 3 ( )
x2 y 2 y2 x2 标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 a2 b2
图形
标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率 a，b，c 的关系 实虚轴
x2 y2 y2 x2 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 a2 b2 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 原点 A1 (－a,0) ，A2 (a,0) A1(0，－a) ，A2 (0，a) b a y＝± y＝± ax bx c e＝ a ，e∈(1，＋∞)
2．标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方
x2 y2 － ＝1 a2 b2 程为___________ (a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方
y2 x2 2－ 2＝ 1 a b 程为___________ (a>0，b>0)．
3．双曲线的性质
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
2 2 y x ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为 ＋ ＝1. 5 4
答案：C
x2 y2 4 2．已知椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则k的值为 9 5 4－k A．－21 B．21 19 C．－ 或21 25
(
)
教材复习课
“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过
椭圆
[过双基]
1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做 椭圆 ．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的 距离叫做椭圆的 焦距 ． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0， c>0，且a，c为常数： (1)当 2a＞|F1F2| 时，P点的轨迹是椭圆； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是线段； (3)当 2a＜|F1F2| 时，P点不存在．
解析：因为焦点在x轴上，所以0＜m＜2，所以a2＝2，b2 1 1 2 ＝m，c ＝a －b ＝2－m.椭圆的离心率为e＝ ，所以e ＝ 2 4
2 2 2
c2 2－m 3 ＝ 2＝ ，解得m＝ . a 2 2 3 答案： 2
[清易错]
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝ |F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹． 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而 x2 y 2 直接设方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
2．椭圆的标准方程和几何性质
x2 y 2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) b2 a2
标准方程
图形
标准方程 范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系
x2 y2 x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 b2 a2 －a≤x≤ a， ____ － b ≤x≤ b，－a≤y≤a ____ － b ≤ y≤ b ____ (0,0) 对称轴：坐标轴 ，对称中心： (0，－a) ，A2 (0，a) ， A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 B1 (0，－b)，B2 (0，b) B1(－b,0) ，B2 (b,0) 长轴A1A2的长为 2a ，短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c c e＝a，e∈ (0,1) c ＝
19 D． 或－21 25
解析：当9＞4－k＞0，即4＞k＞－5时， a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k， ∴ 5＋k 4 19 ＝ ，解得k＝ . 3 5 25 4－k，c2＝－k－5，
当9＜4－k，即k＜－5时，所以k的值为 或－21. 5 25 4－k
1 C. 2
3 D. 3
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°， 2c |F1F2| 3 所以|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3.故e＝ ＝ ＝ .故选D. 2a |PF1|＋|PF2| 3 答案：D
x2 y2 1 4．若焦点在x轴上的椭圆 ＋m＝1的离心率为 ，则m＝_______. 2 2
答案：D
双曲线
[过双基] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值 点间的距离叫做 双曲线的焦距 ． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2| 时，P点不存在． 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点，两焦
2
a2－b2
[小题速通]
x2 y2 1．设P是椭圆 ＋ ＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点， 25 16 则|PF1|＋|PF2|等于 A．4 C．8 B．5 D．10 ( )
解析：由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案：D
2．(2016· 天津红桥一模)已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4， 2 离心率为 ，则椭圆C的标准方程是 2 x2 y2 A. ＋ ＝1 16 12 x2 y2 C. ＋ ＝1 4 8 x2 y2 B. ＋ ＝1 12 16 x2 y2 D. ＋ ＝1 8 4 ( )
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭 圆的标准方程为 x2 A． ＋y2＝1 5
2 2 x2 x y C． ＋y2＝1或 ＋ ＝1 5 4 5
( x2 y2 B． ＋ ＝1 4 5 D．以上答案都不对
)
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
2 2 解析：由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝ a ＝ ，解得a＝ 2 2 2，故b＝ 答案：C
2－22＝2，因为焦点在y轴上，故选C. 2 2
x2 y2 3．(2017· 临沂一中模拟)设椭圆C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦 a b 点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝ 30°，则C的离心率为 A. 3 6 B. 1 3 ( )
x2 y 2 y2 x2 标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 a2 b2
图形
标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率 a，b，c 的关系 实虚轴
x2 y2 y2 x2 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 a2 b2 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 原点 A1 (－a,0) ，A2 (a,0) A1(0，－a) ，A2 (0，a) b a y＝± y＝± ax bx c e＝ a ，e∈(1，＋∞)
2．标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方
x2 y2 － ＝1 a2 b2 程为___________ (a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方
y2 x2 2－ 2＝ 1 a b 程为___________ (a>0，b>0)．
3．双曲线的性质