2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质课件10 苏教版选修2-1

3.椭圆中a,b,c的关系是:
13:23:54
c2 a2 b2
1
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1
和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
y=b
-a≤x≤a , -b≤y≤b x =-a
由
x =a
o
x
y = -b
13:23:54
3
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
从方程上看： （1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象
关于原点成中心对称。
13:23:55
57
三、椭圆的顶点与长短轴
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
回顾： 焦点坐标(±c，0)
13:23:55
x2 a2
y2 b2
=（1 a＞b＞0）
y
B2(0,b)
A1(-a, 0)
o
A2 (a, 0)
x
B1(0,-b)
59
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a.
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b.
注意
焦 距 |F1F2|=2c.
y
B2(0,b)
25
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
26
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
27
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
28
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
29
y
· · F1
x2
+
y2
=
1，
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为16
4
3，
2
焦点坐标为（ 2 ，3 , 0顶）点坐标（±4,0），(0,±2). (2)已知方程化为标准方程为 y2 x故2 可1，得长轴长
81 9
为18，短轴长为6，离心率为 2 2 ，
3
焦点13坐:23:5标5 为（0 , 6，2顶） 点坐标（0,±9），（±3,0）. 67
13:23:55
55
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
13:23:55
O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
56
从图形上看： 椭圆既是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心。
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 2
(1)长轴在 x 轴上，长半轴的长等于6,离线率等于 3
(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(-2,-4)
(3)求与椭圆 4x2 9 y2 36 有相同的焦距 ，且离心率为
5 5
13:23:55
68
课堂小结
一、椭圆的几何性质:
①范围 ③顶点
②对称性 ④离心率
y2
2
b
=1
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34
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
35
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
36
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
37
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
42
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
43
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
45
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
46
y
· · F1
反映椭 圆的圆 扁程度
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：
y
因为 a > c > 0，所以0 <e <1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，请问：此时椭圆的变化情况？
b就越小，此时椭圆就越扁。 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？
①a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长；
②a2=b2+c2，|B2F2|=a； ③焦点必在长轴上.
13:23:55
A1 (-a, 0) F1
b
a
A2 (a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
60
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y 2 1 25 16
（2） x2 y 2 1 25 4
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
47
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
48
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
49
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
50
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
4
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
5
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
13:23:54
6
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
7
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
13:23:55
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（ a ,0 ）,(0, b)
（ b ,0 ）,(0, a)
(±c,0)
(0, ±c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
13:23:54
21
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
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22
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
23
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
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24
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
b就越大，此时椭圆就越趋近于圆。
13:23:55
62
因为a>c>0，所以0 < e <1.
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
y
b
x
●c
O
a
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63
问：对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
C 更接近于圆的是2
。
13:23:55
64
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
y2
2
b
=1
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51
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
52
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
53
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:55
54
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y2
2
b
=1
13:
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
18
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
19
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
20
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
65
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是 6
3
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4)
外切矩形的面积等于：
13:23:54
38
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
39
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
40
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
41
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
二、椭圆性质的应用 三、体会分类讨论思想在求
椭圆的标准方程中的应用
13:23:55
69
13:23:55
70
80
。
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
16x2 25 y2 400 x2 y2 1 25 16
a=5 b=4 c=3
13:23:55
y
o
x
66
强化训练
1.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐 标，顶点坐标．
（１）x 2 4y2 16.
（２）9x 2
【解析】
y
2
81.
（1）已知方程化为标准方程为
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y
B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
a2=b2+c2
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58
椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为： A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b).
温故知新
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
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30
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
31
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
32
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
33
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
13
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
14
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
15
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:23:54
16
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
椭圆的简-4 单B画1 法：