人教中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含详细答案(1)

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
2．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根
据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

【详解】
（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。

理由如下： ∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0． ∴抛物线与x 轴有2个交点
（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上 ∴抛物线的对称轴x=51
22
n n -++-=
∴
221
m
⨯=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．
∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为
1
2
×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：
∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．
当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．
此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．
即m>-2.5．
综上所述，m 的取值范围m>-2.5 方法二（代数法）：
由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ． ∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m ＞-2.5. 【点睛】
二次函数的综合应用题。

与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有
交点。

熟练运用顶点坐标（-2b a ，2
44ac b a
）
3．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表： 时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)
94
90
84
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.
(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a ＜4．
【解析】
分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t 是均匀减少的，所以确定m 与t 是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天的价格及时间t 可以列出销售利润W 关于t 的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少； （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a 的取值范围 ．
详解：（1）设数m=kt+b ，有
,解得
∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96． （2）设日销售利润为P ， 由P=（-2t+96）
=t 2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P 在21≤t≤40上随t 的增大而减小，
∴当t=21时，P 有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），
答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元. （3）P 1=（-2t+96）
=-+（14+2a ）t+480-96n ，
∴对称轴为t=14+2a ， ∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P 1随t 的增大而增大， 又∵a ＜4， ∴3≤a ＜4．
点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．
4．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C
-.
（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;
（2）若点D 在二次函数图像上，且4
5
DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;
（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过
M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.
【答案】（1）y ＝239
344
x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为
22﹣2，2；（3）M （13，﹣11
3
） 【解析】 【分析】
（1）求出a ，即可求解；
（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34
m 2﹣9
4m ﹣3），N
（n ，
34
n 2﹣9
4n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，
再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34
（m ﹣1
3）2+6112，即可求M ；
【详解】
（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3）， ∴a ＝3
4
， ∴y ＝
34
x 2﹣9
4x ﹣3，
与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，
∴
40
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴
3
4
3 k
b
⎧
=-⎪
⎨
⎪=-⎩
，
∴y＝
3
4
x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，
3
4
x﹣3），D（x，
3
4
x2﹣
9
4
x﹣3），
∴DH＝|
3
4
x2﹣3x|，
∵S△ABC＝115
53
23
⨯⨯=，
∴S△DBC＝415
52
⨯＝6，
∴S△DBC＝2×|
3
4
x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；
∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，
3
4
m2﹣
9
4
m﹣3），N（n，
3
4
n2﹣
9
4
n﹣3），则E（m，
3
4
m﹣3），F（n，
3
4
n﹣3），
∴ME＝﹣
3
4
m2+3m，NF＝﹣
3
4
n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣
3
4
m2+3m＝﹣
3
4
n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OB
MN BC
,∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝5
4（n﹣m）＝
5
4
（4﹣2m）＝5﹣
5
2
m，
∴ME+MN＝﹣3
4
m2+3m+5﹣
5
2
m＝﹣
3
4
（m﹣
1
3
）2+
61
12
，
∵﹣3
4
＜0，
∴当m＝1
3
时，ME+MN有最大值，
∴M（1
3，﹣
11
3
）
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.
5．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；
【解析】 【分析】
（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k 的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A 点的坐标，也就求出了OA 的长，根据△OAB 的面积可求出B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B 点的坐标，然后根据B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B 点是否符合要求即可。

（3）根据B 点坐标可求出直线OB 的解析式，由于OB ⊥OP ，由此可求出P 点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P 点的坐标．求△POB 的面积时，求出OB ，OP 的长度即可求出△BOP 的面积。

【详解】
解：（1）∵函数的图象与x 轴相交于O ，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x 2﹣3x 。

（2）如图，过点B 做BD ⊥x 轴于点D ，
令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴
1
2
AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，
∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。

∴2
x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。

此时不存在点P （与点B 重合）。

若(
)
2
x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。

∴22OP 2222=
+=。

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：
12PO•BO=1
2
×42×22=8。

6． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在
x 轴和y 轴上，抛物线21
()4
y x m n =
-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；
（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；
（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？
【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21
(2)34
y x =-+；（3）抛物923-23
12距离，其顶点落在OP 上． 【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；
（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；
（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为
21()4y x m n =-+，∴21
()14
y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方
形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21
(2)24
y m m n m =
-+=，将n =m +1带
入得到m =2，n =3；
∴D （2，3），∴抛物线解析式为21
(2)34
y x =
-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：
根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，
∴MN =3=23，∴抛物线需要向下平移的距离=2333-=9233
-．
②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，EA ′=2243-=7，∴A ′F =4﹣7，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣
7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c =
16473-，∴P （4，1647
3
-），∴直线OP 解析式为y =
47
-x ，∴N （2，827-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣827-=127
+． 综上所述：抛物线向下平移
9233-或127
+距离，其顶点落在OP 上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C （0，﹣
4
3
），OA=1，OB=4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足
tan ∠OAD=
34
． （1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动时间为t 秒．
①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=21433x x +-；（2）①存在t=10047或t=3534
，使得△ADC 与△PQA 相似；②当t=13
9
时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 【解析】
分析：（1）应用待定系数法求解析式
（2）①分别用t 表示△ADC 、△PQA 各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t 值； ②分别用t 表示△APQ 与△CAQ 的面积之和，讨论最大值． 详解：（1）∵OA=1，OB=4， ∴A （1，0），B （﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x ﹣1）， ∵点C （0，﹣4
3
）在抛物线上， ∴﹣
4
=4(1)3a ⨯⨯-， 解得a=
13
. ∴抛物线的解析式为y=2114(4)(1)3
33
x x x x +-=+-. （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似．
理由：①在Rt △AOC 中，OA=1，OC=
43
，
则tan∠ACO=
3
4 OA
OC
=，
∵tan∠OAD=3
4
，
∴∠OAD=∠ACO，
∵直线
l的解析式为y=3(1)
4
x-，
∴D（0，﹣3
4
），
∵点C（0，﹣4
3
），
∴CD=437
3412
-=，
由AC2=OC2+OA2，得AC=5
3
，
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，
只需AP CD
AQ AC
=或
AP AC
AQ CD
=，
则有
7
5212
5
3
t
t
-
=或
5
523
7
12
t
t
-
=，
解得t1=100
47
，t2=
35
34
，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=100
47或t=
35
34
，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，
在△APF 中，PF=AP•sin ∠PAF=352)5
t -（， 在△AOD 中，由AD 2
=OD 2+OA 2，得AD=54
， 在△ADC 中，由S △ADC =
11··22
AD CN CD OA = ， ∴CN=
71
·7
125154CD OA AD ⨯==， ∴S △AQP +S △AQC =21137313169
()[(52)]()2251559135
AQ PF CN t t t +=--+=--+ ，
∴当t=13
9
时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大.
点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．
8．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连结AM 、BM ． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△ABM 的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x 的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m ，2m ），当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
【答案】（1）抛物线解析式为y=x 2﹣1；（2）△ABM 为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点． 【解析】
试题分析：（1）分别写出A 、B 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据OA ＝OM ＝1，AC ＝BC ＝3，分别得到∠MAC ＝45°，∠BAC ＝45°，得到∠BAM ＝90°，进而得到△ABM 是直角三角形；
（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，
∵抛物线的不动点是抛物线与直线
的交点，∴
，
方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可
试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点
∴．
考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）
9．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即
；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理
得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N 的坐标为（，
）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．
10．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A(3
,-3) 和B(33,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）21332y x x =
-；（2）P 点坐标为（3
83,- 4
3）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】
（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；
（2）设P 坐标为2133
,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】
（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：333
27330
a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，
解得：12a =
，2
b =-，
则抛物线解析式为212y x x =
-； （2）当P 在直线AD 上方时， 设P
坐标为21,
2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
，则有AD x =
2132PD x x =+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =
=
，
整理得：23186x -+=-
，即23240x -+=，
解得：x =
，即x =
或x =
此时P 4)3-；
当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =
=
，
296x x -+=-
2120x -+=，
解得：x =
x =
此时P 6)；
当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P
的坐标为10)3-，
综上，P
的坐标为(
3，4)3-
或6)
或(3
，10)3-或()0,0；
（3）在Rt AOC ∆中，3OC =
，AC =
根据勾股定理得：OA =
11
··22
OC AC OA h =， 3
2
h ∴=
，
13AOC AOQ S S ∆∆==
AOQ ∴∆边OA 上的高为
92
， 过O 作OM OA ⊥，截取9
2
OM =
，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：
在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，
在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，393OH ==，即93(M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，
把M 坐标代入得：
99394=+，即3k =39y x =+， 联立得：239
1332y x y x x ⎧=-+⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3
15
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q 0)或(23-，15)，
则抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
，此时点Q 的坐标为(330)或(23-15)．
【点睛】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。