山东省滨州市2016届高三上学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷(理科）
一、本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合M={x||2x﹣1|≤3}，N={x∈Z｜1＜2x＜8｝，则M∩N=（)
A．（0,2］B．(0，2）C．｛1，2｝D．｛0,1，2}
3．“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设x,y满足,则z=x+y（）
A．有最小值2,最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3,无最小值D．既无最小值，也无最大值
5．设n=3x2dx，则（x﹣）n的展开式中的常数项为(）
A．﹣B．C．﹣70 D．70
6．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是()
A．B．C．D．
7．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆,则侧视图的面积为（）
A．6+πB． C．6+4π D．
8．将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数g（x)的图象，则函数g（x)的一个单调递减区间是(）
A．[﹣，0]B．[﹣，0］C．［0，］D．［，］
9．已知函数f（x)=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x﹣2的零点依次为a，b，c，则（) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
10．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）相交于A、B两点，双曲线
的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（)
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
二、填空题:本大题共5题,每小题5分，共25分。

11．执行如图所示的程序框图，设当箭头a指向①处时,输出的S的值为m,当箭头a指向②处时，输出的S的值为n，则m+n=．
12．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2,3,4,5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有
个．
13．设函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，定义f1（x）=f′（x），f2(x）=f1′(x)，…，f n+1（x）=f n′（x）（n∈N*），经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，
根据以上事实,由归纳可得：当n∈N*时,f n(x)=．
14．在平行四边形ABCD中，已知AB=4,AD=3,∠DAB=，点E,F分别在边AD，BC上，
且=3，=2，则•的值为．
15．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f （2a﹣x），则称f（x)为“准奇函数"．给定下列函数：①f（x)=，②f(x）=(x+1）2；③f
（x）=x3；④f（x)=sin（x+1)，其中的“准奇函数”是（写出所有“准奇函数”的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，sinB=，（Ⅰ）求+的值；
（Ⅱ)若•=12，求a+c的值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．（Ⅰ）证明:PB∥平面AEC；
（Ⅱ）已知AP=AB=1,AD=，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
18．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N＊）的旅游人数f（t）(单位：万人）近似地满足f(t）=4+，而人均日消费俄g（t)（单位:元）
近似地满足g(t）=．
（Ⅰ）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t）（单位：万元)与时间t(1≤t≤30，t ∈N＊）的函数表达式；
(Ⅱ）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．
19．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，且a2=3，S6=36．
（Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；
(Ⅱ）令b n=，求数列｛a n}的前n项和T n．
20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x,其中a≤0．
(Ⅰ）若曲线y=f（x)在点（1,f（1））处的切线方程为y=2x+b,求a﹣2b的值；
（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)设函数g(x）=x2﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1］，都有f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，
离心率为,以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点
F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程;
（2)若=3，求直线l的方程；
(3）求△F1MN面积的最大值．
2015—2016学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷
（理科)
参考答案与试题解析
一、本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
【解答】解：复数===i+1在复平面所对应的点（1，1）位于
第一象限．
故选：A．
2．设集合M={x||2x﹣1|≤3}，N=｛x∈Z|1＜2x＜8}，则M∩N=(）
A．(0，2］B．（0，2) C．｛1，2｝D．｛0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N,找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得:﹣3≤2x﹣1≤3，
解得：﹣1≤x≤2，即M=［﹣1,2］,
由N中不等式变形得：20=1＜2x＜8=23,即0＜x＜3，x∈Z,
∴N={1,2},
则M∩N={1，2｝，
故选：C．
3．“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．
【解答】解：若m=1,则两直线方程为x﹣y=0和x+y=0，满足垂直，
当m=0时，两直线方程为﹣y=0和x=0,满足垂直，但m=1不成立,
即“m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的充分不必要条件，
故选：A．
4．设x，y满足，则z=x+y（）
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2,无最大值
C．有最大值3，无最小值D．既无最小值,也无最大值
【考点】简单线性规划．
【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．
【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示:
由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，
因此当z=x+y过点（2，0）时,z有最小值,
但z没有最大值．
故选B
5．设n=3x2dx,则（x﹣）n的展开式中的常数项为(）
A．﹣B．C．﹣70 D．70
【考点】定积分;二项式系数的性质．
【分析】利用定积分求出n，再求出展开式通项,令x的指数为0,即可求出展开式中的常数项．【解答】解:n=3x2dx=x3｜=8,
(x﹣）n展开式的通项公式为T k+1=C n k x n﹣k•（﹣1)k（2x）﹣k=(﹣）k C n k x n﹣2k，
当n﹣2k=0时，即8﹣2k=0时，k=4时，展开式为常数项，
∴T5=（﹣）4C84=．
故选：B．
6．函数f(x）=cosx，(﹣＜x＜）的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项．
【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1］，
函数f(x）=cosx，(﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f(x)≥0．
∴四个选项,只有C满足题意．
故选：C．
7．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆,则侧视图的面积为（)
A．6+πB． C．6+4π D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是三棱柱与球的组合体,判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．
【解答】解：由三视图知:几何体是三棱柱与球的组合体，
其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2,
根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，
几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为2，3,圆的半径为1,
侧视图的面积S=2×3+π×12=6+π．
故选：A．
8．将函数f（x）=2sin(2x﹣)的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象,则函数g（x)的一个单调递减区间是（）
A．[﹣，0］ B．[﹣，0]C．［0，] D．［，］
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律求得g（x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin［2（x+）﹣］=2sin(2x+）的图象，
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+，
则函数g（x）的一个单调递减区间为［kπ+，kπ+］，k∈Z,
结合所给的选项,
故选：D．
9．已知函数f(x）=2x+x，g（x)=log2x+x，h（x)=log2x﹣2的零点依次为a，b,c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【考点】函数的零点．
【分析】分别求三个函数的零点,判断零点的范围，从而得到结果．
【解答】解：令函数f（x）=2x+x=0，可知x＜0，即a＜0;令g（x)=log2x+x=0，则0＜x＜1，即0＜b＜1；
令h（x）=log2x﹣2=0，可知x=4，即c=4．显然a＜b＜c．
故选A．
10．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲
线的一条渐近线方程是y=x,点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】由题意已知抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点,且△FAB是等边三角形，由圆锥曲线的对称性和等边三角形的性质可求得A，B的坐标分别为（﹣2，±）,将此点代入双曲线方程,得a,b的一个方程,再由渐近线方
程，又得a，b的一个方程，联立即可求得a,b的值，即可得到双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意可得抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，焦点坐标是（2，0)，
又抛物线y2=8x的准线与双曲线﹣=1相交于A，B两点,又△FAB是等边三角形，
则有A，B两点关于x轴对称，横坐标是﹣2,纵坐标是4tan30°与﹣4tan30°,
将坐标（﹣2,±）代入双曲线方程得﹣=1，①
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，得=，②
由①②解得a=，b=4．
所以双曲线的方程是﹣=1．
故选D．
二、填空题:本大题共5题，每小题5分,共25分.
11．执行如图所示的程序框图，设当箭头a指向①处时，输出的S的值为m，当箭头a指向②处时，输出的S的值为n，则m+n=14．
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出当箭头指向①时,计算S和i的值，求出m；当箭头指向②时，计算S和i的值，求出n的值，计算m+n．
【解答】解：当箭头指向①时，计算S和i如下：
i=1,S=0，S=1；
i=2，S=0，S=2；
i=3，S=0,S=3；
i=4,S=0,S=4；
i=5，结束．
∴S=m=4．
当箭头指向②时,计算S和i如下：
i=1，S=0,S=1；
i=2,S=3；
i=3，S=6;
i=4,S=10；
i=5,结束．
∴S=n=10．
∴m+n=14，
故答案为：14．
12．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2,3，4，5这5个数字中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数，其中“伞数"共有20个．
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据题意,因十位上的数最大,则其只能为3、4、5，进而分3种情形处理，即当十位数字分别为3、4、5时,计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目,由分类计数原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，十位上的数最大，只能为3、4、5，
分3种情形处理，当十位数字为3时，百位、个位的数字为1、2，有A22种选法，
当十位数字为4时，百位、个位的数字为1、2、3，有A32种选法,
当十位数字为5时，百位、个位的数字为1、2、3、4,有A42种选法,
则伞数的个数为A22+A32+A42=20；
故答案为：20．
13．设函数f(x）=，f′（x）为f（x）的导函数，定义f1(x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x)=f n′（x）（n∈N*），经计算f1（x)=，f2（x）=，f3(x）=，…，根据以上事实，由归纳可得:当n∈N＊时,f n（x）=f（x）=．
【考点】导数的运算．
【分析】由已知中f（x)=,记f1(x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…f n+1（x）=f n′（x）（n∈N ＊），分析出f n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=，
f1（x）=，f2（x）=，f3(x）=，…,
由此归纳可得:f n（x）=，
故答案为：f（x）=．
14．在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠DAB=,点E，F分别在边AD,BC
上,且=3，=2，则•的值为18．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用数量积的定义可得•=6,再由向量的加减运算，可得=+，再由
数量积的性质：
向量的平方即为模的平方，可得所求值．
【解答】解：•=|｜•||•cos=4×3×=6,
=﹣=+﹣=+﹣=+,
即有•=•（+）
=2+•=16+×6=18．
故答案为:18．
15．对于函数f（x）,若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a ﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数:①f（x)=,②f（x)=(x+1）2;③f(x）=x3；
④f（x）=sin（x+1），其中的“准奇函数”是①④（写出所有“准奇函数”的序号）
【考点】函数的值．
【分析】判断对于函数f(x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a,0)对称，则称f(x)为准奇函数．
【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，
都有f(x）=﹣f（2a﹣x）知，函数f（x）的图象关于(a，0）对称，
对于①：f(x）=，函数f(x)的图象关于（﹣1，0）对称,
对于②：f（x）=（x+1）2,函数无对称中心，
对于③：f（x)=x3，函数f（x）关于（0，0）对称，
对于④：f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于(kπ，0）对称,
故答案为：①④．
三、解答题：本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c，且a，b,c成等比数列，sinB=, (Ⅰ）求+的值;
(Ⅱ）若•=12，求a+c的值．
【考点】平面向量数量积的运算;等比数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）运用等比数列的中项的性质,结合正弦定理，可得sin2B=sinAsinC,再由三角函数的恒等变换公式化简可得；
(Ⅱ）运用向量的数量积的定义和余弦定理,同角的平方关系,计算即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b2=ac,
由正弦定理可得，sin2B=sinAsinC,
则+=+=
=====；
（Ⅱ)•=12，即有cacosB=12,可得cosB＞0，
由sinB=，可得cosB==，
即有ac=13，b2=13，
由余弦定理可得，cosB===，
解得a+c=3．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明:PB∥平面AEC；
（Ⅱ）已知AP=AB=1，AD=，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连结AC、BD,交于点O，连结OE，则OE∥PB,由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE,
∵底面ABCD为矩形,∴O是BD中点,
∵E为PD的中点，∴OE∥PB，
∵PB⊄平面AEC,OE⊂平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ)以A为原点,AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AP=AB=1，AD=，
∴A（0，0,0）,C（1，,0），P(0，0，1），D（0,，0）,E（0，，），=（1，,0），=（0，，），
设平面AEC的法向量=（x,y,z），
则，取x=3，得=(3,﹣，3），
又平面DEA的法向理=(1，0，0）,
设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．
18．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N＊）的旅游人数f(t）（单位:万人）近似地满足f（t）=4+，而人均日消费俄g(t）（单位：元）
近似地满足g（t)=．
（Ⅰ）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t)（单位：万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N*）的函数表达式;
（Ⅱ）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】(1）利用日消费总额=日旅游人数×人均消费的钱数，化简即得结论；
（2）通过（1)可知当t∈［1，20］时利用基本不等式可知当且仅当t=5时取最小值441，当t∈(20，30]时利用函数的单调性可知当t=30时W（t）有最小值443+,进而比较即得结论．
【解答】解：(1)由题意,根据该城市的旅游日消费总额=日旅游人数×人均消费的钱数，
可得：W(t）=f(t）g（t）
=；
（2）由（1）可知:当t∈［1,20］时，401+4t+≥401+2=441,
当且仅当4t=即t=5时取等号；
当t∈（20，30]时，因为W(t）=559+﹣4t递减，
所以t=30时,W（t)有最小值W（30)=443+,
∵443+＞441，
∴t∈[1，30]时，W(t）的最小值为441万元．
19．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，且a2=3，S6=36．
（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项公式；
（Ⅱ）令b n=，求数列｛a n｝的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】(I)利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出；
(II）利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：(I）设等差数列{a n｝的公差为d，∵a2=3，S6=36．
∴，解得a1=1,d=2．
∴a n=1+2（n﹣1)=2n﹣1．
（II）b n===（），
∴数列{a n｝的前n项和T n=++…+
=
=．
20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x，其中a≤0．
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点（1，f（1)）处的切线方程为y=2x+b，求a﹣2b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设函数g（x）=x2﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1］,都有f（x）≤g(t)恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出f（x)的导数,得到f′（1）=2,解得a的值，将a的值代入求出f（1），将（1，f（1)）代入方程y=2x+b求出b的值，从而求出a﹣2b的值即可；
（Ⅱ)二次函数根的讨论问题，分a＞0，a＜0情况进行讨论．；
（Ⅲ）问题转化为f(x）max≤g（t)min，分别求出其最大值和最小值即可得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ)函数f（x）的定义域是（0,+∞），
f′（x）=﹣ax﹣2，f′（1）=﹣1﹣a=2，解得：a=﹣3,
∴f(1）=﹣a﹣2=﹣,
将(1，﹣）代入y=2x+b,得：b=﹣,
∴a﹣2b=﹣3+5=2;
（Ⅱ）∵f′(x）=﹣ax﹣2=，
设φ（x)=﹣ax2﹣2x+1（x＞0，a≤0)，
①当a=0时，φ（x)=﹣2x+1，
令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜,令φ′（x）＜0，解得：x＞,
∴f（x)在(0，)递增，在（，+∞)递减；
②当a＜0时,φ(x)对称轴为x=﹣＞0，过点(0，1）开口向上，
i）若a≤﹣1,f′（x）≥0，则f(x）在（0，+∞）上是增函数．
ii）若﹣1＜a＜0，当x∈（0，）时，f′（x）≥0;当x∈（,）时,f′(x）≤0；
当x∈（,+∞)时，f'(x）≥0；
∴f（x）在（0，）上是增函数，在（，）上是减函数，在(，+∞)上是增函数．
（Ⅲ）若任意的x，t∈（0,1]，都有f（x）≤g（t)恒成立，
则只需f（x）max≤g（t）min，
函数g(x）=x2﹣3x+3在（0,1]的最小值是g（1）=1，
由（Ⅱ）得：a=0时，f(x）=lnx﹣2x在(0，)递增，在（，1]递减，
∴f（x）max=f（)=﹣1﹣ln2＜1，成立，
﹣1＜a＜0时，≥1，∴f（x）在（0,1］递增，
f(x）max=f（1)=﹣a﹣2≤1,解得：a≥﹣6，
a≤﹣1时，f（x）在（0，1]上是增函数,
f（x）max=f（1)=﹣a﹣2≤1,解得:a≥﹣6，
综上，a∈[﹣6，0］．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，
离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切,过
点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
（2)若=3,求直线l的方程；
(3）求△F1MN面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1)运用离心率公式和直线与相切的条件：d=r，结合a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；
(2）求得右焦点，设出M（x1，y1），N(x2，y2）,设直线l：x=my+,代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示,解方程可得m，进而得到直线的方程；
（3)运用弦长公式和换元法，运用三角形的面积公式可得S=•2c•|y1﹣y2｜，化简整理运用基本不等式，即可得到最大值．
【解答】解：（1）由题意可得e==，
由直线x﹣y+=0与圆x2+y2=b2相切，可得
=b=1，
又a2﹣c2=1,
解得a=2，c=,
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2)F2（，0)，
设M(x1，y1），N（x2，y2），
设直线l：x=my+，代入椭圆方程可得，
（4+m2)y2+2my﹣1=0，
y1+y2=﹣,y1y2=﹣，
由=3，可得y1=﹣3y2，
解方程可得m=±，
即有直线l的方程为x=±y+；
（3）△F1MN面积为S=•2c•｜y1﹣y2｜=•
=•=•,
令1+m2=t(t≥1),则S=4•≤4•=2，当t=3，即m=±时，S取得最大值，且为2．
2016年7月31日。