2018_2019学年高中数学第一章三角函数7.3正切函数的诱导公式学案北师大版必修4

7.3 正切函数的诱导公式
内容要求 1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2±α，π±α(重点).2.
掌握正切函数的诱导公式(难点)．
知识点1 正切函数的诱导公式
1．下列诱导公式中错误的是( ) A ．tan(π－α)＝－tan α
B ．cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＝sin α
C ．sin(π＋α)＝－sin α
D ．cos(π－α)＝－cos α 答案 B
2．tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2＋α等于( )
A ．－cot α
B ．cot α
C ．tan α
D ．－tan α
答案 A
题型一 三角函数间关系的应用
【例1】 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan
α＝－43
.
(1)求sin α＋cos α的值； (2)求
sin α2cos α
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－α－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π＋α的值．
解 (1)因为tan α＝y 3＝－4
3
，所以y ＝－4，则r ＝5.
∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－1
5
.
(2)原式＝sin α－2cos α＝tan α－2
＝－43－2－1＋
3＝－10
33＝－10.
规律方法 三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin α
cos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可
以做到弦化切．
【训练1】 已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝15
4
，
求
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin
α
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α－sin
α
的值．
解 由tan α－1tan α＝15
4，
得4tan 2α－15tan α－4＝0， 得tan α＝－1
4或tan α＝4.
又α为第二象限的角， 所以tan α＝－1
4
.
故
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α－sin α
＝cos α＋sin αcos α－sin α
＝1＋tan α1－tan α＝35
. 题型二 利用诱导公式求值 【例2】 求以下各式的值： (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan
30tan 45
.
解 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45° ＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝
tan 180°＋45°tan 2×360°＋30
－tan 30°＋tan 45°
＝tan 45°＋tan 30°＝1＋
33
1－
3
3
＝2＋ 3. 规律方法 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
【训练2】 (1)tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－316π的值为( )
A ．－3
3
B ．0 C.233
D ．－233
(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为( ) A.33
B ．－
33
C. 3
D ．－ 3
解析 (1)tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－31π6
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π＋56π＋tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－5π－π6
＝tan 5π6－tan π6
＝－
33－33＝－233
，故选D. (2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3. 答案 (1)D (2)C
方向1 化简
【例3－1】 (1)化简：
tan 540°－αtan α－270tan α＋180tan α－180tan 810°＋αtan α－360；
(2)若a ＝
cos αsin 23π＋αtan 4π＋αtan
αcos 3
α
，求a 2＋a ＋1的值．
解 (1)
tan 540°－αtan α－270tan α＋180
tan α－180tan 810°＋αtan α－360
＝
tan αtan α－90
tan α
tan αtan 90°＋αtan
α
＝tan αcot αtan αtan αcot αtan α ＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1
(2)a ＝
cos α
sin 23π＋αtan 4π＋αtan αcos 3
α
＝
cos α
sin 2α
tan α·tan α
cos 3α
＝－cos α·sin 2α
sin α
cos α·sin α
cos αcos 3α ＝－cos 3αsin 2αsin 2αcos 3α＝1， ∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3. 方向2 证明
【例3－2】 tan 2π－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－αcos 6π－
α
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫α＋3π2＝－tan α.
证明 左边＝
tan
αsin α
cos α
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－α·cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－α
＝sin αsin
α
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝
sin 2α
－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－α
＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α
－cos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 方向3 化简并求值
【例3－3】 已知α是第三象限角，且f (α)＝ sin
αcos 5π－αtan 2π－α
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αtan α
.
(1)化简f (α);
(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;
(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 解 (1)f (α) ＝
sin αcos 5π－αtan 2π－
α
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αtan α
＝
sin αcos αtan α
sin α
tan
α
＝－cos α.
(2)因为tan(π－α)＝－2，
所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α， 所以(2cos α)2
＋cos 2
α＝1，即cos 2
α＝1
5
.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－5，所以f (α)＝5
.
(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－1
2，
所以f (α)＝－cos α＝1
2
.
规律方法 1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 2．三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则． 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．
课堂达标
1．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋ 3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3
D ．－1＋ 3
解析 tan 300°＋sin 450°
＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 答案 B
2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是( ) A ．α为锐角
B ．α为不等于π
2的任意角
C ．α为任意角
D ．α≠k π＋π
2
(k ∈Z )
解析 由正切函数的定义可知α≠k π＋π
2(k ∈Z )．
答案 D
3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝3，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4－α的值为________．
解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋α
＝－32.
答案 －
3 4．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π
5的值为________．
解析 原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5
＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π
5＝0.
答案 0
5．已知角α的终边经过点P (4，－3)， (1)求sin α，cos α，tan α的值;
(2)求
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αsin
α·tan αcos α
的值． 解 (1)因为r ＝42
3
2
＝5，
所以sin α＝y r ＝－3
5，
cos α＝x r ＝4
5，
tan α＝y x ＝－3
4
.
(2)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αsin
α
·
tan αcos α
＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35
＝－5
4
. 课堂小结
(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π
2±α中，
如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π
2±α所在的象限．
(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则． 特别提醒 应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义
.
基础过关
1．tan 31π
3的值为( )
A.33 B ．－3
3
C.
3
D ．－ 3
解析 tan 31π3＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫10π＋π3＝tan π3＝ 3.
答案 C
2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A ．－4
5
B ．－3
5
C ．±35
D ．±45
解析 ∵角α终边上有一点P (5n,4n )， ∴tan α＝4，tan(180°－α)＝－tan α＝－4
.
答案 A
3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是( ) A ．－k
B ．k
C.
k
1－k 2
D.
－k
1－k 2
解析 tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k . tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k . 答案 B
4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________． 解析 ∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5， ∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3. ∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1. 答案 －1
5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3＋α＝________.
解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－α
＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3－α＝－33.
答案 －3
3
6．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4
；
(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.
解 (1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4
＝
22cos 7π6tan π
4
＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22⎝ ⎛
⎭⎪⎫－cos π6
＝－22×32＝－6
4
.
(2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝
⎛
⎭⎪⎫－tan 37π4
＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫9π＋π4
＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π
4
＝－sin 60°－22
＝－3＋2
2
.
7．已知角α的终边与单位圆交于点⎝
⎛⎭⎪⎫3
2
，－12，
试求
sin 2π－αtan
αtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋αtan
α
tan
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αcos αtan 3π－α
的值．
解 原式＝
sin αtan αcot αtan α
cot αcos αtan α
＝－sin α·tan α
cos α＝－tan 2α.
∵角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
3
2
，－12，
∴tan α＝－33.∴原式＝－1
3
.
能力提升
8．已知tan(π－α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＋cos α2cos α－sin α
的值是( )
A.1
5 B.1
3 C.35
D ．1
解析 由tan(π－α)＝－12得tan α＝1
2
.
∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＋cos α
2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13
.
答案 B
9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析 原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β) ＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]
＝－1.
答案 B
10．已知tan(π－x )＝13
，则tan(x －3π)＝________. 解析 由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13
， 故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )
＝tan x ＝－13
. 答案 －13
11．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
解析 由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，
∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .
∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.
答案 －2
12．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．
解 方程5x 2
－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2， 由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45
，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α·tan 2
(π－α)
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π＋αsin α·cos α·tan 2α
＝cos αsin α
sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.
13．(选做题)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋8π＝a ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π7＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
α－13π7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π7－α－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋22π7的值．
解 原式＝sin ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7
＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α＋8π7－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋7－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋7
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋8π7＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋8π7＋1
＝a ＋
3
a ＋1.。