数学理三轮专项模拟试卷：解析几何

解析几何
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2013·济南模拟）若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点（)
A．(1,－2）B．(1，2）
C．(－1，2) D．（－1,－2)
【解析】依题意,k＋b＝－2，∴b＝－2－k，
∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，
∴直线y＝k(x－1)－2必过定点（1，－2）．
【答案】A
2．(2013·福建高考)已知集合A＝｛1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B"的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】∵A＝｛1,a}，B＝｛1,2，3}，A⊆B,∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．【答案】A
3．(2013·陕西高考）设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是( ）
A．若|z1－z2|＝0，则错误!1＝错误!2
B．若z1＝错误!2，则错误!1＝z2
C．若｜z1｜＝|z2|,则z1·z1＝z2·错误!2
D．若|z1|＝｜z2｜，则z错误!＝z错误!
【解析】A，|z1－z2｜＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒错误!1＝错误!2，真命题;
B，z1＝错误!2⇒错误!1＝错误!2＝z2，真命题；
C，｜z1｜＝|z2｜⇒｜z1｜2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；
D，当|z1|＝|z2｜时,可取z1＝1,z2＝i,显然z错误!＝1，z错误!＝－1，即z错误!≠z错误!，假命题．
【答案】D
4．(2013·北京高考)若双曲线x2
a2－错误!＝1的离心率为错误!,则其
渐近线方程为（)
A．y＝±2x B．y＝±错误!x
C．y＝±错误!x D．y＝±错误!x
【解析】∵e＝错误!，∴错误!＝错误!,即错误!＝3，
∴b2＝2a2，∴双曲线方程为错误!－错误!＝1，
∴渐近线方程为y＝±错误!x.
【答案】B
5．（2013·课标全国卷Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px(p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5。

若以MF为直径的圆过点（0，2)，则C的方程为( ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【解析】设M(x0,y0），A(0，2），MF的中点为N.
由y2＝2px，F错误!，
∴N点的坐标为错误!，错误!。

由抛物线的定义知，x0＋错误!＝5，
∴x0＝5－错误!.∴y0＝错误!。

∵|AN|＝错误!＝错误!，∴｜AN|2＝错误!.
∴错误!2＋错误!－22＝错误!。

即错误!＋错误!－22＝错误!.
∴错误!－2＝0.整理得p 2－10p ＋16＝0.
解得p ＝2或p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .
【答案】 C
6．若变量x ，y 满足约束条件错误!
则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为（ ）
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0
【解析】 作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0），B (2,0)，
∴z min ＝2，z max ＝4.
【答案】 B
7．(2013·北京高考）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）
A 。

43
B ．2
C 。

错误!
D 。

错误!
【解析】 由C ：x 2＝4y ,知焦点P （0，1）．
直线l的方程为y＝1.
所求面积S＝错误!－2错误!d x＝错误!错误!＝错误!.
【答案】C
8．(2013·杭州质检)已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1(m＞0),如果直线y＝错误!x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（)
A．2 B．2错误!
C．8 D．2错误!
【解析】根据已知条件c＝错误!，则点(错误!，错误!错误!）在椭圆错误!＋错误!＝1(m＞0)上，
∴错误!＋错误!＝1,可得m＝2错误!。

【答案】B
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分,共35分，把答案填在题中横线上)
9．若圆心在x轴上、半径为错误!的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切,则圆O的方程是________．
【解析】设圆心为(a，0）(a〈0），则r＝错误!＝错误!，解得a ＝－5，所以,所求圆的方程为：(x＋5)2＋y2＝5，故选D.
【答案】(x＋5)2＋y2＝5
10．已知点M（错误!，0）,椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k(x＋错误!）交于点A、B，则△ABM的周长为________．
【解析】因为直线过椭圆的左焦点(－错误!,0），所以△ABM的周长为｜AB|＋｜AM|＋|BM|＝4a＝8。

【答案】8
11．（2013·皖南八校联考)双曲线x2
m－错误!＝1（m＞0，n＞0)的
离心率为2,有一个焦点与抛物线y2＝4mx的焦点重合，则n的值为________．
【解析】抛物线焦点F(m，0）为双曲线的一个焦点，
∴m＋n＝m2。

又双曲线离心率为2，
∴1＋错误!＝4，即n＝3m。

所以4m＝m2，可得m＝4，n＝12.
【答案】12
12．l1，l2是分别经过A(1，1），B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时,直线l1的方程是________．
【解析】当AB⊥l1，且AB⊥l2时,l1与l2间的距离最大．
又k AB＝错误!＝2，
∴直线l1的斜率k＝－错误!，
则l1的方程是y－1＝－错误!(x－1），即x＋2y－3＝0.【答案】x＋2y－3＝0
13．(2013·福建高考改编）双曲线x2
4
－y2＝1的顶点到其渐近线
的距离等于________．
【解析】由错误!－y2＝1知顶点(2，0），渐近线x±2y＝0，
∴顶点到渐近线的距离d＝错误!＝错误!.
【答案】错误!
14．执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为4,则输出s 的值为________．
图1
【解析】i＝1,s＝1→s＝1,i＝2→s＝2，i＝3→s＝4，i＝4→s＝7,i＝5结束．
【答案】7
15．三角形ABC中，已知错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝－6，且角C为直角,则角C的对边c的长为__________．【解析】由错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝－6,
得错误!·(错误!＋错误!)＋错误!·错误!＝－6,
即错误!·错误!＋错误!·错误!＝－6,
∵C＝90°,∴－c2＝－6，c＝错误!。

【答案】错误!
三、解答题(本大题共6小题,共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0（m∈R)．
(1)试求m的值,使圆C的面积最小;
（2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．【解】圆C的方程:(x－m)2＋（y－1）2＝（m－2)2＋1。

（1）当m＝2时,圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．
（2）当m＝2时，圆的方程为（x－2)2＋（y－1)2＝1，
设所求的直线方程为y＋2＝k（x－1）,
即kx－y－k－2＝0，
由直线与圆相切，得错误!＝1，k＝错误!，
所以切线方程为y＋2＝错误!（x－1)，即4x－3y－10＝0，
又因为过点(1，－2）且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，
所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0.
17．(本小题满分12分)(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为错误!.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为错误!.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果错误!＝t错误!，求实数t的值．
【解】（1）设椭圆C的方程为：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)，则错误!解得a＝错误!，b＝1，
故椭圆C的方程为x2
2
＋y2＝1。

（2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m（－2＜x＜2,且m≠0)．
将x＝m代入椭圆方程得｜y｜＝错误!，
所以S△AOB＝|m｜错误!＝错误!.
解得m2＝错误!或m2＝错误!。

①
又错误!＝t错误!＝错误!t(错误!＋错误!)＝错误!t(2m，0)＝(mt,0),
又点P在椭圆上，所以mt2
2
＝1.②
由①②得t2＝4或t2＝错误!。

又因为t＞0，所以t＝2或t＝错误!.
18．（本小题满分12分）如图2，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝错误!。

图2
(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
【解】(1)证明法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝AA1＝错误!，
∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0），B（0,1，0)，C（－1，0，0),D(0,－1,0)，A1（0,0，1)．
由错误!＝错误!,易得B1(－1，1，1)．
∵错误!＝(－1，0,－1）,错误!＝(0,－2,0),错误!＝（－1，0，1),
∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，A1C⊄平面BB1D1D，
∴A1C⊥平面BB1D1D。

法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝错误!，且AC＝2，
∴AC2＝AA错误!＋A1C2，
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C。

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
(2）设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．
∵错误!＝(－1，0，0）,错误!＝(－1，1,1），
∴错误!
∴错误!
取n＝（0，1，－1），由（1)知，错误!＝(－1,0,－1)是平面BB1D1D 的法向量，
∴cos θ＝|cos〈n，错误!〉｜＝错误!＝错误!。

又∵0≤θ≤错误!,∴θ＝错误!。

19．（本小题满分13分）(2013·广东高考)设各项均为正数的数列｛a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a错误!－4n－1，n∈N＊，且a2，a5,a14构成等比数列．
（1）证明：a2＝错误!；
(2)求数列{a n｝的通项公式；
（3）证明:对一切正整数n,有错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!。

【解】（1）证明:由4S n＝a2，n＋1－4n－1，得4S1＝a错误!－4－1,
即4a1＝a22－4－1，所以a错误!＝4a1＋5.
因为a n>0，所以a2＝错误!.
(2）因为4S n＝a错误!－4n－1,①
所以当n≥2时，4S n－1＝a错误!－4(n－1)－1，②
由①－②得4a n＝a错误!－a错误!－4，
即a2n＋1＝a2n＋4a n＋4＝（a n＋2）2(n≥2）．
因为a n>0,所以a n＋1＝a n＋2,即a n＋1－a n＝2（n≥2)．因为a2，a5,a14成等比数列，所以a错误!＝a2a14，
即（a2＋3×2）2＝a2（a2＋12×2）,解得a2＝3.
又由（1)知a2＝错误!，
所以a1＝1，所以a2－a1＝2.
综上知a n＋1－a n＝2（n∈N＊)，
所以数列｛a n｝是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n＝1＋2（n－1）＝2n－1。

所以数列｛a n｝的通项公式为a n＝2n－1(n∈N＊）．(3）证明:由(2)知错误!＝错误!
＝错误!错误!，
所以1
a1a2＋错误!＋…＋错误!
＝错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!－错误!〈错误!。

20．（本小题满分13分)（2013·安徽高考）设椭圆E：错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上．
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程;
(2）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q。

证明：当a变化时，点P在某定直线上．
【解】(1)因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为1，所以2a2－1＝错误!，解得a2＝错误!.
故椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1.
(2)证明设P（x0，y0），F1(－c,0),F2(c，0)，其中c＝错误!。

由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率kF1P＝错误!，
直线F2P的斜率kF2P＝错误!.
故直线F2P的方程为y＝错误!（x－c)．
当x＝0时,y＝错误!,即点Q坐标为错误!。

因此,直线F1Q的斜率为kF1Q＝错误!。

由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝
y0
x0＋c·
y0
c－x0＝－1。

化简得y错误!＝x错误!－（2a2－1）．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P（x0，y0）在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2,即点P在定直线x＋y＝1上．
21．(本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C：x2＝2py(p〉0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,
过M，F，O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为3
.
4
(1)求抛物线C的方程；
（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在,求出点M的坐标;若不存在，说明理由．
【解】（1）依题意知F（0，错误!),圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝错误!上，
因为抛物线C的准线方程为y＝－错误!，
所以错误!＝错误!，即p＝1。

因此抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)假设存在点M(x0，错误!）(x0〉0）满足条件，抛物线C在点M 处的切线斜率为y′|x＝x0＝（错误!）′|x＝x0＝x0,
所以直线MQ的方程为y－错误!＝x0(x－x0)．
令y＝错误!得x Q＝错误!＋错误!,
所以Q（错误!＋错误!,错误!)．
又|QM|＝|OQ|,
故（错误!－错误!）2＋（错误!－错误!）2＝（错误!＋错误!）2＋错误!，因此（错误!－错误!)2＝错误!。

又x0〉0，所以x0＝错误!,此时M(错误!，1)．
故存在点M（2，1）,使得直线MQ与抛物线C相切于点M.。