难点突破02 解三角形必备的三个意识-重难点题型突破(全国通用)
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解三角形问题的关键是能够先从已知中抽象出可以利用正、余弦定理的条件,然后应用三角恒等变换和相关定理求解.在解题过程中,要注意三个必备的意识，同时注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法.本文探究例1 (2022年全国乙卷)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
[解析] （1）由正弦定理及切化弦可得 ，又 , , ，整理得 ，又 ，则 .
（2）因为 ， ，所以 ，可得 ，又由余弦定理得 ，解得 或 （舍去），则 ，
可得 或 又 ，显然当 或 时， 的值相同，不妨设 ，则 .由正弦定理得 ，可得 ，又 ，可得 .
[解析] （1） ， ，即 .由正弦定理得 . ， .
， ，又 , ， .（2） 为 边的中点， ， , ， ， ,又 ， ，当且仅当 时取等号.由余弦定理得 ， ，即 .故 的最小值为 ，此时 .
3.(2022·江苏模拟)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .
[解析] （1）由 ， ，得 ，由正弦定理得 ，即 .（2）由（1）可得 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 或 （舍去）.因为 ，所以 ,所以 ，所以 的面积 .
2.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 为 边的中点，且 ，求 的最小值.
[解析] （1）选①，因为 ， 因为 ，所以 ,所以 ,所以 ，解得 .选 ②，由 结合正弦定理可知， ，因为 ，所以 ,所以 ，所以有 .因为 ，所以 .
选③，因为 ，所以 ，所以有 .因为 ，所以 .（2）由题可得， ，所以 ，由基本不等式可知 ，解得 ，所以其面积 .当且仅当 时， 的面积取得最大值，最大值为 .
意识2 向量工具
例2 (2022·浙江押题卷)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .其面积为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）设 边上的中点为 ，且 ，求 面积的最大值.
（2）设 ， ， ，由 及三角形的面积公式可得， ，整理得 .在 中，由余弦定理 ，由 ，得 或 （舍去）.则 .
提分秘籍 已知条件中涉及角平分线问题，常常利用三角形的面积公式进行转化，结合正弦定理、余弦定理、三角恒等变换来解决问题.
◎难点精练
1.(2022·南开质检)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 边上一点， ， .（1）证明： .（2）若 , ，求 的面积．
（1）若 ，求 ；（2）证明： .
[解析] （1）由 ， ，可得 ，而 ，所以 ，即有 ，而 ， ，显然 ，所以 ，而 ， ，所以 ．（2）由 ，可得 ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得 ，所以原等式成立．
提分秘籍
（1）求解解三角形问题的关键：准确把握正、余弦定理的内容,根据已知条件灵活地选用公式.运用正、余弦定理可实现边角互化.（2）在解三角形的过程中,观察角的变换尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及利用三角形内角和定理的变换.
提分秘籍 已知条件涉及中线或分点问题时可以考虑用向量进行转化求解.
意识3 面积公式
例3 (2022·江苏三模)在 中，已知 ， ， .
（1）求 的值；
（2）若 是 的平分线，求 的长．
[解析] （1）在 中，由余弦定理知 ，整理得 ，解得 或 （舍去），因为 ，所以 ，所以 .由正弦定理得 ，故 .
（1）求角 ；
（2）角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
[解析] （1）由正弦定理及切化弦可得 ，又 , , ，整理得 ，又 ，则 .
（2）因为 ， ，所以 ，可得 ，又由余弦定理得 ，解得 或 （舍去），则 ，
可得 或 又 ，显然当 或 时， 的值相同，不妨设 ，则 .由正弦定理得 ，可得 ，又 ，可得 .
[解析] （1） ， ，即 .由正弦定理得 . ， .
， ，又 , ， .（2） 为 边的中点， ， , ， ， ,又 ， ，当且仅当 时取等号.由余弦定理得 ， ，即 .故 的最小值为 ，此时 .
3.(2022·江苏模拟)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .
[解析] （1）由 ， ，得 ，由正弦定理得 ，即 .（2）由（1）可得 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 或 （舍去）.因为 ，所以 ,所以 ，所以 的面积 .
2.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 为 边的中点，且 ，求 的最小值.
[解析] （1）选①，因为 ， 因为 ，所以 ,所以 ,所以 ，解得 .选 ②，由 结合正弦定理可知， ，因为 ，所以 ,所以 ，所以有 .因为 ，所以 .
选③，因为 ，所以 ，所以有 .因为 ，所以 .（2）由题可得， ，所以 ，由基本不等式可知 ，解得 ，所以其面积 .当且仅当 时， 的面积取得最大值，最大值为 .
意识2 向量工具
例2 (2022·浙江押题卷)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .其面积为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）设 边上的中点为 ，且 ，求 面积的最大值.
（2）设 ， ， ，由 及三角形的面积公式可得， ，整理得 .在 中，由余弦定理 ，由 ，得 或 （舍去）.则 .
提分秘籍 已知条件中涉及角平分线问题，常常利用三角形的面积公式进行转化，结合正弦定理、余弦定理、三角恒等变换来解决问题.
◎难点精练
1.(2022·南开质检)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 边上一点， ， .（1）证明： .（2）若 , ，求 的面积．
（1）若 ，求 ；（2）证明： .
[解析] （1）由 ， ，可得 ，而 ，所以 ，即有 ，而 ， ，显然 ，所以 ，而 ， ，所以 ．（2）由 ，可得 ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得 ，所以原等式成立．
提分秘籍
（1）求解解三角形问题的关键：准确把握正、余弦定理的内容,根据已知条件灵活地选用公式.运用正、余弦定理可实现边角互化.（2）在解三角形的过程中,观察角的变换尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及利用三角形内角和定理的变换.
提分秘籍 已知条件涉及中线或分点问题时可以考虑用向量进行转化求解.
意识3 面积公式
例3 (2022·江苏三模)在 中，已知 ， ， .
（1）求 的值；
（2）若 是 的平分线，求 的长．
[解析] （1）在 中，由余弦定理知 ，整理得 ，解得 或 （舍去），因为 ，所以 ，所以 .由正弦定理得 ，故 .