(江苏专版)高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(五)三角函数图象和性质

14 个填空题专项增强练 ( 五)
三角函数的图象和性质
A 组——题型分类练
题型一 三角函数的定义域和值域
．函数 y ＝ tan 2x － π 的定义域为 ________．
1 3
π
π
k π 5π
剖析：由 2x － 3 ≠k π＋ 2 ( k ∈ Z) ，得 x ≠ 2 ＋ 12 ( k ∈ Z) ，故所求 定义域为
k π 5π .
xx ≠ ＋ 12， k ∈ Z
2
k π 5π
答案： xx ≠ 2 ＋ 12 ， k ∈ Z
2．函数 y ＝ 2sin
π x π
(0 ≤ x ≤9) 的最大值与最小值之和为 ________．
6 －
3
π π π
7π
剖析：由于
0≤x ≤9，因此－ 3 ≤ 6
x －
3 ≤ 6 ，
π π
3
因此 sin
6
x －
3 ∈ － 2 ， 1 .
因此 y ∈ [ － 3， 2] ，因此 y max ＋ y min ＝ 2－ 3.
答案： 2－ 3
3．函数 y ＝ 2cos 2x ＋ 5sin x － 4 的值域为 ________． 剖析： y ＝ 2cos 2x ＋5sin x － 4 ＝ 2(1 － sin 2x ) ＋ 5sin x －4 ＝－ 2sin 2x ＋ 5sin x － 2
5 2
9
＝－ 2 sin x － 4 ＋ 8 .
故当 sin x ＝ 1 时， y max ＝ 1，
当 sin
x ＝－ 1 时， y min ＝－ 9，
故 y ＝2cos 2x ＋ 5sin x － 4 的值域为 [ － 9,1] ．
答案： [ － 9,1]
题型二
三角函数的图象
π
π
1．将函数 y ＝ sin 4x 的图象向左平移
12个单位长度， 获取 y ＝sin(4 x ＋φ)
0<φ< 2 的
图象，那么 φ＝ ________.
剖析：将函数
y ＝ sin 4 x 的图象向左平移 π
个单位长度，获取
y ＝ sin
4 π ＝
x ＋
12
12
π
π
sin 4x ＋ 3
，因此 φ＝ 3 . 答案：
π
3
2.
f ( x )
A sin( ωx φ)
π
函数 ＝ A >0，ω>0， | φ|<
的局部图象
＋
2
以以下图，那么函数
f ( x ) 的剖析式为 ____________________．
π π
剖析：由题图可知， A ＝ 1，函数 f ( x ) 的最小正周期
T ＝4 3 － 12 ＝π，
2π
∴ω ＝ T ＝ 2.
π
又当 x ＝ 12时， f ( x ) 获取最大值 1，
π
π
π
∴ 1＝ sin 2× 12＋ φ ，∴ 6 ＋ φ＝ 2k π＋ 2 ， k ∈ Z ，
∴ φ＝2k π＋ π， k ∈ Z. 又 | φ |< π ，∴ φ＝ π
，
3
2
3
π
那么函数 f ( x ) 的剖析式为 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 3 .
答案： f ( x ) ＝ sin
π
2 ＋
x 3
π
1
3．在同素来角坐标系中，函数y ＝ sin
x ＋ 3
( x ∈[0,2 π]) 的图象和直线
y ＝ 2的交点
的个数是 ____________．
剖析：由 sin x ＋ π ＝1 ，解得 x ＋ π ＝ 2k π＋ π 或 x ＋ π ＝
2k π＋ 5π ， ∈ ，即 x ＝ 3 2 3 6 3
k Z 6
π
π ， k ∈ Z ，又由于
x ∈[0,2 π] ，因此
x ＝
π 11π y ＝
2k π－
或 x ＝ 2k π＋ 2 2或
，因此函数 6
6
sin x ＋
π ( x ∈[0,2 π]) 的图象和直线 1
2.
3
y ＝
的交点的个数是
2
答案： 2
．将函数 ＝
π 的图象向左平移
π 个单位长度后，所得函数图象
y 5sin 2x ＋
φ0<φ <
4
4
2
关于 y 轴对称，那么 φ＝
______________.
剖析：将函数
π 的图象向左平移
π
个单位长度后，所得函数
y ＝ 5sin 2x ＋
φ 0<φ<
2
4
为 f ( x ) ＝ 5sin 2 x ＋φ
＋
π ，即 f ( x ) ＝5sin 2x ＋ 2φ＋
π
. 由于所得函数 f ( x ) 的图
4 4
象关于 y 轴对称，因此 2φ＋ π ＝ π ＋ k π， k ∈Z ，因此 φ＝ π ＋ k π
， k ∈Z ，由于 0＜φ ＜
4 2 8 2 π
π
2 ，因此 φ＝ 8 .
π 答案：
8
题型三 三角函数的性质
1．函数 y ＝ 2sin 3 x －
π
的最小正周期为 ________．
3
2π
2π
剖析：函数 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ ω ＝ 3 .
2π
答案： 3
2．函数 y ＝ 2sin 2x － π 与 y 轴近来的对称轴方程是
________．
6
π π
k π π 剖析：由 2x － 6 ＝k π＋ 2 ( k ∈ Z) ，得 x ＝ 2 ＋ 3 ( k ∈ Z) ，因此，当 k ＝－ 1 时，直线
π
x ＝－ 是与 y 轴近来的对称轴．
6
π
答案： x ＝－ 6
0< <
π
3．假设函数 f ( x ) ＝ 2sin(2
2 的图象过点 (0 ， 3) ，那么函数 f ( x ) 在 [0 ，π]
x ＋ φ)
φ 上的单调递减区间是 ____________ ．
剖析：由题意可得， 2sin(2 ×0＋
φ) ＝ 3，
3
∴ sin φ＝ 2 .
又 0<φ<
π
，∴ φ＝ π
， 2 3
π ∴ f ( x ) ＝ 2sin 2x ＋ 3 .
π
π
3π
由 2k π＋ 2 ≤2x ＋ 3 ≤2k π＋ 2 ， k ∈ Z ，
π 7π 得 k π＋ ≤ x ≤ k π＋
， k ∈ Z.
12
12
∵ 0≤ x ≤π，
π
7π
∴ k ＝0 时， 12≤ x ≤ 12 ，
∴函数 f ( x)在[0，π]上的单调递减区间是π7π12
，
12
.
π 7π
答案：12，
12
4．假设函数f ( x) ＝sin x＋φ
( φ∈ [0,2
π ]) 是偶函数，那
么φ＝________. 3
剖析：假设 f ( x)为偶函数，
那么 f (0)＝±1，
即 sin φ
＝± 1，因此
φ
＝π＋
π
(
k
∈Z) ．33k2
3π
因此φ＝3kπ＋2(k∈Z)．
3π由于φ∈[0,2π]，因此φ＝
3π
答案：2
2.
5．假设函数 f ( x)＝4cos
ωx sin
π
0，2上的最小值是________．剖析：由题意知， f ( x)＝4cos
π
ωx－6＋1(ω>0)的最小正周期是π，那么函数f ( x)在
π
ωx sinωx－6＋1
＝ 2 3sinωx cosωx－2cos2ωx＋1
π
＝3sin 2 ωx－ cos 2 ωx＝ 2sin 2ωx－6，由 f ( x)的最小正周期是π，且ω>0，
2π
可得2ω＝π，ω＝1，
π
那么 f ( x)＝2sin2x－6.
π
又 x∈0，2，
ππ 5π
因此 2x－6∈ －6，6，
π
故函数 f ( x)在0，2上的最小值是－1.
答案：－ 1
B组——高考加快练
1
1．函数y＝2sin x－1的定义域是________．
1
剖析：由 2sin x－1≠0得sin x≠2，
π5π
故 x≠6＋2kπ(k∈Z)且 x≠6＋2kπ(k∈Z)，
即 x≠(－1)k·π
＋kπ(k∈Z)．6
答案： x x≠－ 1k·π＋ kπ， k∈Z
6
2．函数y＝ sin x ＋
π
6的单调递加区间为 ________．
πππ
剖析：由 2kπ－2≤x＋6≤2kπ＋2( k∈Z)，2ππ
得－3＋ 2kπ≤x≤3＋2kπ(k∈Z) ，
2π
＋ 2kπ，π
＋ 2kπ( k∈Z)．
因此单调递加区间为－
33
答案：－2π
＋ 2kπ，
π
＋2kπ ( k∈Z) 33
．函数
y ＝
2sin
2x＋π－，∈ 0，π的值域为
________
．
331x3
πππ
剖析：∵ 0≤x≤3，∴3≤2x＋3≤π，
π
∴0≤sin 2x＋3≤1，
π
∴－ 1≤2sin2x＋3－1≤1，即值域为[ －1,1] ．
答案： [ － 1,1]
4.函数 y＝ A sin(ωx＋φ)( A，ω，φ为常数， A>0，ω>0)在闭区间 [ －π， 0] 上的图象以以下图，那么ω ＝________.
Tπ2ππ
剖析：由图象可知，2＝
－－
＝3，
3
－
3
2π2π2π
那么T＝
3. 由于T＝ω＝3，因此ω＝3.
答案： 3
．函数＝π的图象与轴的交点坐标是．y tan2x＋x______ 54
剖析：由2
x ＋
π
＝π( ∈Z) 得，＝
kπ
－
π
(
k
∈Z)．4k k x28
∴函数 y ＝ tan 2x ＋
π
的图象与 x 轴交点的坐标是
k π－
π
， 0 ， k ∈ Z.
4
2
8
答案：
k π π
－
， 0 ， k ∈Z
2
8
6．函数 f ( x ) ＝sin π
( ω>0) ，将函数 y ＝f ( x )
2π
ωx ＋
的图象向右平移
3 个单位长
3 度后，所得图象与原函数图象重合，那么
ω 的最小值等于 ________．
π
2π
剖析：将函数 f ( x ) ＝ sin ωx ＋ 3 ( ω>0) 的图象向右平移 3 个单位长度后，所得函数
为 y ＝ f x － 2π . 由于所得图象与原函数图象重合，因此 f ( x ) ＝ f x －
2π ，因此
＝ 2π ， 3 3 kT 3
*
2k π 2π
* *
k ∈ N ，即 ω ＝
3 ， k ∈ N ，因此 ω＝ 3k ， k ∈ N ，因此 ω 的最小值等于 3.
答案： 3
7．函数 f ( x ) ＝ 3sin 2 ωx － cos 2 ωx ( 其中 ω∈(0,1))
，假设 f ( x ) 的图象经过
点
π ，那么 f ( x ) 在区间 [0 ，π ] 上的单调递加区间为 ____________ ．
6 ， 0
剖析： f ( x ) ＝ 3sin 2 ωx － cos 2 ωx ＝ 2sin 2ωx －
π
6
，
π
∵ f ( x ) 的图象经过点
， 0 ，
6
2sin π
π
∴ 3 ω
－
6 ＝0，
π π
1
∴ 3 ω－ 6 ＝ k π， k ∈ Z ，解得 ω ＝3k ＋ 2， k ∈Z ，
∵ ω∈(0,1) ，∴ ω＝ 1
，
2
π
∴ f ( x ) ＝ 2sin x － 6 ，
π k
π π k π， k ∈ Z ，
由－ ＋2
π≤ － ≤ ＋2
2
2
6 π
2π
得－ 3 ＋ 2k π≤ x ≤ 3 ＋2k π， k ∈ Z ，
∴ f ( x ) 在区间 [0 ，π ] 上的单调递加区间为
0，
2π .
3
2π
答案： 0， 3
8．若是函数
y ＝ 3cos(2 x ＋ φ ) 的图象关于点 4π
， 0 中心对称，那么 | φ| 的最小值为
3
________．
3cos 2× 4π φ ＝ 3cos 2π
φ
＝ 0，
剖析：由题意得 3 ＋ 3 ＋ 因此 2π
＋ φ＝k π＋ π ，k ∈ Z ，
3
2
π
因此 φ＝ k π－ 6 ， k ∈ Z ，
取 k ＝0，得 | φ|
π
的最小值为.
6
π
答案： 6
9. 设函数
f ( x ) ＝ sin(
＋ ) ω >0，0<φ<
π
的局部图象以以下图，直线
x
π
＝ 是它
ωx φ
2
6
的一条对称轴，那么函数
f ( x ) 的剖析式为 ______________ ．
T 5π π π
2π
剖析：由题意可知，
4＝12－ 6＝4，因此 T ＝ ω ＝π，
因此 ω＝ 2，又由于 f π
π
6 ＝ 1，因此 sin 2× 6 ＋ φ ＝1，
π π π 因此 3 ＋ φ＝ 2k π＋
2 ( k ∈Z) ，而 φ∈ 0， 2 ，
π
π
因此 φ＝ 6 ，因此 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 6 .
2 ＋ π
答案： f ( x ) ＝ sin x
6
10．函数 f ( x ) ＝ 2sin( ωx ＋ φ) ω>0， | φ|<
π
的最小正周期为 π，且它的图象
2
π
，－
2 ，那么 φ 的值为 ________．
过点 －
12
2π
π
剖析：由题意可得函数 f ( x ) 的最小正周期
T ＝ ω ＝π，解得 ω ＝ 2. 又 f －12 ＝
2sin π ＋ φ
－
6
π
π
＝－ 2 | φ |< 2 ，得 φ＝－ 12.
答案：－
π
12
11. 函数 y ＝sin( π x ＋ φ)( φ>0) 的局部图象如图，设
P 是图象的最高
点，
A ，
B 是图象
与 x 轴的交点，那么∠ APB ＝ ________.
剖析：由题意知T＝2，作 PD⊥ x 轴，
1 3
垂足为 D，那么 PD＝1， AD＝2， BD＝2，
设
α＝∠，
β
＝∠
，那么
tan
α
＝
1
， tan
β
＝
3
，∠＝＋APD BPD22APB α
β，
1＋ 3
故 tan ∠＝22＝8.
APB13
1－2×2
答案： 8
π1 12．函数 f ( x)＝sin2x＋3 (0 ≤x<π) ，且f ( α) ＝f ( β) ＝2( α≠β) ，那么α＋β＝________.
剖析：由于 0≤
x <π，因此2
x
＋
π
∈
π
，7π，由
f
() ＝1，得 2
x
＋
π
＝5π或13π，333x2366
π11π1π 11π 7π
解得 x＝4或12，由于 f (α)＝ f (β)＝2(α≠β)，因此α＋β＝4＋
12＝6 .
答案：
7π
6
1
13．函数f ( x) ＝ sin x( x∈[0，π])和函数 g( x)＝2tan x 的图象交于A，B，C三点，那么
△的面积为 ________．
ABC
π1sin xππ
剖析：由题意知， x≠2，令sin x＝2tan x，可得sin x＝
2cos x，x∈
0，
∪
，π
，
22
可得 sin x＝0或cos x＝
1π
，不如设 A(0,0)，B(π，0)，Cπ ，3
，那么△ ABC的面
积为
1
×π×
3
，那么 x＝0或π或
322 232
3π
＝ 4
.
答案：3π4
14．函数f ( x) ＝ sin(2
π
x＋φ)，其中φ为实数，假设 f ( x)≤ f6对 x∈R恒成立，
π
且 f 2＞ f (π)，那么 f ( x)的单调递加区间是______________．
π
剖析：假设 f ( x)≤ f6对x∈ R恒成立，
那么f
π
6＝
sin
π3 ＋φ
＝ 1，
πππ
因此3＋φ＝kπ＋2，k∈Z，φ＝kπ＋6，k∈Z.
π
由 f 2>f (π)，
可知 sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，
即 sinφ<0，因此φ＝ 2π＋7π，∈ Z，
6
代入 f ( x)＝sin(2 x＋φ)，
得 f ( x)＝sin
7π
，2x＋
6
由 2 π－π
≤2 ＋
7π
≤2 π＋π，∈ Z，262
5ππ
得 kπ－6≤x≤ kπ－3， k∈Z.
5ππ
答案：kπ－ 6 ，kπ－3(k∈Z)。