河北省唐山市2022年高三上学期年末考试数学(理)试卷(word版)

河北省唐山市2022年高三上学期年末考试数学（理）
试卷（word 版） 数学（理）试题
说明：
一、本试卷分为第I 卷和第II 卷，第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选
考两部分，
二、答题前请认真阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改
动，用橡皮将原选涂答案擦洁净后，再选涂其他答案， 四、考试终止后，将本试卷与原答题卡一并交回． 参考公式：
样本数据n
x x x ,,,21 的标准差；
x x x x x x x n
s n 其中],)()()[(12
2221-+-+-=
为样本平均数；
柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高； 锥体体积公式：
h
S Sh V ,,3
1
为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：
,
3
4,432
R V R S ππ==其中R 为球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项符合题目要求． 1．复数
212i i
- =
A 2
B 2
C 2i
D 2i
2．下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是 A ．()ln f x x = B ．()|1|f x x =+ C ．3()f x x =
D ．()x f x e =
3．执行右边的程序框图，输出的结果为 A ． 15 B ． 16 C ． 64 D ． 65
4．椭圆2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以FA 为直径的圆通过椭圆的上顶点，则椭圆韵离心率为 A 51- B 31- C 2D 3 5．设x ，y 满足
4,21,21,x y x y z x y x +≤⎧⎪
-≤-=+⎨⎪≥⎩
则的最大值为
A ．3
B ．5
C ．163
D ．193
6．一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为 A ．13
B ．12
C ．23
D ．16
7．等比数列132423{},17,68,n a a a a a a a +=+=中则=
A ． 32
B ． 256
C ． 128
D ． 64
8．已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范畴是
A ．（—∞，-2]
B ．[2，+∞）
C ．（—∞，-2）
D ．（2，+∞）
9．△ABC 中，点P 满足
(),AP t AB AC BP AP CP AP =+⋅=⋅，则△ABC 一定是
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
10．函数
x x
e x y e x
+=-）的一段图象是
11．已如点M （1，0）及双曲线2
2
1
3
x y -=的右支上两动点A ，B ，当∠AMB 最大时，它
的余弦值为
A ．12
B ．—12
C ．13
D ．—13
12．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=236，则该球的表面积为 A ．14π B ．15π
C ．16π
D ．18π
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13．3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有
数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有 种． 14．已知
tan()2,cos 24
π
αα
+
=则= 。

15．曲线0,,2y y x y x ==
=-所围成的封闭图形的面积为 ．
16．数列
11
1{}2,,{}1n n n n n
a a a a a a ++==-满足则的前80项的和等于 。

三、解答题：本大题共70分，其中（17）一（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为
选考题，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,sin3cos2sin.
≥+=
a b A A B
（I）求角C的大小；
（II）求a b
+的最大值．
c
18．（本小题满分12分）
从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时刻（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估量该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X 表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C。

（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）求二面角B-AC-A1的余弦值．
20．（本小题满分12分）
设圆F以抛物线P：24
=的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．
y x
（I）求圆F的方程；
（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求通过A，B，C，D四点的圆E的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数2
=-
()ln.
f x ax x
（I ）讨论函数f （x ）单调性； （Ⅱ）当
1
,02
8
a t =-<<时，证明：曲线()y f x =与其在点(,())P t f t 处的切线至少有两个不同的公共点．
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AC 的中点，BD 交AC 于点E ．
（I ）求证：CD 2=DE 2=A E ×EC;
（II ）若CD 的长等于⊙O 的半径，求∠ACD 的大小． 23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点D 为极点，以x 轴正半轴为极
轴，曲线C l 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线C 2的参数方程为
cos ,
(sin x t t y t αα=⎧⎨
=⎩
为参数）。

（I ）当
4
πα=
时，求曲线C l 与C 2公共点的直角坐标；
（II ）若
2
πα≠
，当α变化时，设曲线C 1与C 2的公共点为A ，B ，试求AB 中点M 轨迹
的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设()||,.f x x a a =-∈R
（I ）当13,()3x f x -≤≤≤时，求a 的取值范畴；
（II ）若对任意x ∈R ，()()12f x a f x a a -++≥-恒成立，求实数a 的最小值．
参考答案
一、选择题：
A 卷：CCDAD ADCB
B CA B 卷：ACDB
C ADCAB DA
二、填空题： （13）18
（14）
4
5
（15）103
（16）－702
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (
A ＋
π
3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π 3)
＝sin B ．…3分
因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，
因此A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π
3，C ＝ π 3． …6分
（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得
a ＋
b
c ＝sin A ＋sin B sin C ＝2
3[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π 6)
．…10分
当A ＝ π 3时，a ＋b
c 取最大值2． …12分
（18）解：
（Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0.1＝280． 因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分
（Ⅱ）依题意，X ～B (3，1
10)
．
X 的可能值为0，1，2，3．
P (X ＝0)＝(910)3＝7291000，P (X ＝1)＝C 1
3×110×(910)
2＝243
1000，
P (X ＝2)＝C 2
3×(110)2×910＝271000，P (X ＝3)＝(110)
3＝11000．
…9分
X 的分布列为
…10分
数学期望E (X )＝3×110＝ 3
10（件）．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1．
又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，因此AB ⊥平面BB 1C 1C ，
又AB ⊂平面AA 1B 1B ，因此平面AA 1B 1B ⊥BB 1C 1C ．
…4分
（Ⅱ）由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连结CO ，则CO ⊥BB 1．
由（Ⅰ）知，CO ⊥平面AB 1B 1A ．建立如图所示的坐标系O -xyz ． 其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．
设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)．
AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)． …6分
设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →
＝0，n 1·AC →＝0， 即⎩⎨⎧－2x 1＝0，
－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．
…8分
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨
⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)． …10分
因此cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－7
7．
因此二面角B -AC -A 1的余弦值为－7
7． …12分
（20）解：
（Ⅰ）设圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2（r ＞0）．
将y 2＝4x 代入圆方程，得(x ＋1)2＝r 2，因此x ＝－1－r （舍去）
，或x ＝－1＋r ． 圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r ＝0，即r ＝1．
故所求圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1． …4分
（Ⅱ）设过点M (－1，0)与圆F 相切的斜率为正的一条切线的切点为T ． 连结TF ，则TF ⊥MT ，且TF ＝1，MF ＝2，因此∠TMF ＝30°． …6分 直线MT 的方程为x ＝3y －1，与y 2＝4x 联立，得y 2－43y ＋4＝0． 记直线与抛物线的两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝4，x 1＋x 2＝3(y 1＋y 2)－2＝10． …8分 从而AB 的垂直平分线的方程为y －23＝－3(x －5)．
令y ＝0得，x ＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7，0)．…10分 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝(1＋3)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝82．
又点E 到直线AB 的距离d ＝7－0＋1
2＝4，因此圆E 的半径R ＝(42)2＋42
＝43．
因此圆E 的方程为(x －7)2＋y 2＝48． …12分
（21）解：
（Ⅰ）f (x )的定义域为(0，＋∞)，f '(x )＝2ax －
1
x ．
（1）若a ≤0，则f '(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)是减函数； …2分
（2）若a ＞0，则当x ∈(0，2a 2a )时，f '(x )＜0，f (x )在(0，2a
2a )
是减函数；
当x ∈(2a 2a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )在(2a
2a ，＋∞)
是增函数．
…4分
（Ⅱ）曲线y ＝f (x )在P (t ，f (t ))处的切线方程为y ＝f '(t )(x －t )＋f (t )， 且P 为它们的一个公共点．
设g (x )＝f (x )－[f '(t )(x －t )＋f (t )]，则g '(x )＝f '(x )－f '(t )，有 g (t )＝0，且g '(t )＝0． …6分
设h (x )＝g '(x )＝－ 1 4x － 1 x －f '(t )，则当x ∈(0，2)时，h '(x )＝－ 1 4＋1
x 2＞0， 因此g '(x )在(0，2)是增函数，且g '(t )＝0，因此 当x ∈(0，t )时，g '(x )＜0，g (x )在(0，t )是减函数； 当x ∈(t ，2)时，g '(x )＞0，g (x )在(t ，2)是增函数．
故当x ∈(0，t )或x ∈(t ，2]时，g (x )＞g (t )＝0． …9分
若x ∈(2，＋∞)，则
g (x )＝－18x 2－ln x －[f '(t )(x －t )＋f (t )]＝－1
8x 2＋( 1 4t ＋ 1 t )
x － 1 8t 2－1－ln x t
＜－18x 2＋( 1 4t ＋ 1 t )x － 1 8t 2
－1＝－18x (x －2t － 8 t )
－ 1 8t 2－1．
当x ＞2t ＋
8
t 时，g (x )＜－ 1 8t 2－1＜0．
B
C
F
A D
M
x y
O T
因此在区间(
2，2t ＋
8
t )
至少存在一个实数x 0＞2，使g (x 0)＝0．
因此曲线y ＝f (x )与其在点P (t ，f (t ))处的切线至少有两个不同的公共点．…12分 （22）解：
（Ⅰ）∵∠ABD ＝∠CBD ，∠ABD ＝∠ECD ，∴∠CBD ＝∠ECD ，
又∠CDB ＝∠EDC ，∴△BCD ∽△CED ，∴DE DC ＝DC
DB ，∴CD 2＝DE ×DB ， ∵DE ×DB ＝DE ×(DE ＋BE )＝DE 2＋DE ×BE ，DE ×BE ＝AE ×EC ，
∴CD 2－DE 2＝AE ×EC ． …6分
（Ⅱ）连结OC ，OD ，由已知可知△ODC 为等边三角形，
∴∠COD ＝60︒．∴∠CBD ＝1
2∠COD ＝30︒， ∴∠ACD ＝∠CBD ＝30︒．
…10分
（23）解：
（Ⅰ）曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0．
① 当α＝ π
4时，曲线C 2的一般方程为y ＝x ．
② 由①，②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)． …4分 （Ⅱ）C 1是过极点的圆，C 2是过极点的直线．
设M (ρ，θ)，不妨取A (0，θ)，B (2ρ，θ)，则2ρ＝2cos θ．
…7分
故点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ（θ≠ π
2）．
它表示以( 1 2，0)
为圆心，以 1
2为半径的圆，去掉点(0，0)．
…10分
（24）解：
（Ⅰ）f (x )＝|x －a |≤3，即a －3≤x ≤a ＋3．
依题意，⎩⎨
⎧a －3≤－1，a ＋3≥3．
由此得a 的取值范畴是[0，2]．
…4分 （Ⅱ）f (x －a )＋f (x ＋a )＝|x －2a |＋|x |≥|(x －2a )－x |＝2|a |． …6分
当且仅当(x －2a )x ≤0时取等号．
解不等式2|a |≥1－2a ，得a ≥ 1
4．
故a 的最小值为 1
4． …10分
C。