江西省宜春市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

江西省宜春市2021届新高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2|sin |
2
()6
1x f x x
=-
+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42
f π
>排除D .故只能选A .
【详解】 因为22|sin()|
|sin |
2
2
()6
6
()1()
1x x f x f x x x
--===+-+ ,
所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;
因为
2
|sin |
2
4
2
()6
11
1
1f πππ
ππ==++
1110
11
22
<-
=-=+,故排除B , 因为2|sin |
2
2
()2()6
2
1()
2
f π
π
π
π
==
+4
2
616
4
ππ+
4
2616444
>-
+4
6662425=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
2．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，
O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）
A ．()2
23310,02
x y x y +=>> B ．
()2
23310,02
x y x y -=>> C ．()2
23310,02
x y x y -=>>
D ．()2
23310,02
x y x y +=>>
【答案】A 【解析】 【分析】
设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出
1OQ AB ⋅=，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.
【详解】
设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >
2BP PA = ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨
-=-⎩ 30230
x a b y ⎧
=
>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-
()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+= ()223
310,02
x y x y ∴+=>>
故选：A 【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 3．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆Q D ．Q ⊆R C P
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C
4．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，
角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
． C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1
cos 3A =-
，再由余弦定理得3bc =，又222
2a b c --=
，代入公式=S 求解. 【详解】
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3
A =-
， 由余弦定理2
2
2
2
2cos 23
a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．
1
2
B ．
14
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】
由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
6．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222
111()324
f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,3π⎛⎫π
⎪⎝⎭
D ．,6π⎛⎫π
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
求出导函数()f x '
，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数
性质可得结论． 【详解】
()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221
()4
f x x bx a c ac '∴=+++-.
若()f x 存在极值，则()
222
1404
b a
c ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<
又2221
cos ,cos 22
a c
b B B a
c +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π．
故选：C ． 【点睛】
本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．
7．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2
615C =种取法， 从5名女干部中选出1名女干部，有1
55C =种取法，
则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为
(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n
等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
【答案】C 【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
9．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥
P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．25π
B ．75π
C ．80π
D ．100π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥
P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设
球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】
设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形，
所以AM BC ⊥， 又因为PA BC ⊥，且PA
AM A =，
所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==
所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得22
6433
AO AM '=
=⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：
由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()2
2162R R =+-， 解得5R =，
所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】
本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面
DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）
A ．
203
π B ．
152
π
C ．6π
D ．5π
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】 如图，
取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，
分别取ABC 与DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，
由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 的边长为
33，则6OG 3
=， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+=， ∴球O 的表面积为2520π
4π(
)33
⨯=
． 故选A ． 【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 11．已知函数
有三个不同的零点
（其中
），则
的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 令
，构造
，要使函数有三个不同的零点（其中
），则方程需要有两个不同的根，则，解得或
，结合
的图象，并分
，
两个情况分类讨论，可求出
的值.
【详解】 令
，构造
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，
，可画出函数
的图象（见下图），要使函数
有三个不同的
零点（其中
），则方程需要有两个不同的根（其中），
则
，解得
或
，且
，
若，即，则，则，且，
故，
若
，即
，由于
，故
，故
不符合题意，
舍去. 故选A.
【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
12．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．2
3
-
B ．
23
C ．3
D ．-3
【答案】B 【解析】 【分析】
把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得2
3
m =. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______. 【答案】12
【解析】 【分析】
基本事件总数328n ==，三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=．由此能求出三人都收到礼物的概率． 【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同）， 基本事件总数328n ==，
三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=． 则三人都收到礼物的概率4182
m p n ===． 故答案为：12
． 【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=，圆22:(6C x y '++=．直线:3l y kx =+与
圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________
【解析】 【分析】
利用直线与圆相切求出斜率k ，得到直线的方程，几何法求出||AB 【详解】
解：直线:3l y kx =+与圆C 相切，C 圆心为(0,1)
由
211
k =+，得3k =
或3-，
当33y x =-+时，C '到直线的距离9
62
31
d =
=
>+，不成立， 当33y x =+时，l 与圆C '相交于A ，B 两点，C '到直线的距离3231
d ==
+，9
||26154
AB =-= 故答案为15． 【点睛】
考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题． 15．已知复数22i
z i
+=-（i 为虚数单位），则z 的模为____． 【答案】1 【解析】
345i z +=，所以22
34155z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 16．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果. 【详解】
由题：2
1
1,1,1log 0,211
S n S n ===+==+， 2
222
0log log ,3213
S n =+==+，
2
22232log log log 1,43314
S n =+==-=+，1S ≤-结束循环， 输出4n =. 故答案为：4 【点睛】
此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y
关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为
16，获得“二等奖”的概率为1
3
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．
参考公式：1
2
21
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-，71
364i i i x y ==∑，7
21
140i i x ==∑． 【答案】（1）ˆ23y x =+；（2）见解析
【解析】 试题分析：
（I ）由题意可得4x =，11y =，则ˆ2b
=，ˆ3a =，y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y x =+． （II ）由题意可知二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()104P X ==
，()13003P X ==，()560018P X ==，()1
90036
P X ==．据此可得分布列，计算相应的数学期望为400EX =元． 试题解析： （I ）依题意：()1
123456747
x =
++++++=，
()158810141517117y =++++++=，72
1140i i x ==∑，7
1
364i i i x y ==∑，
7
172217364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243ˆˆa y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y
x =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：
()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618
P X ==⨯+⨯⨯=，
()1119002369P X ==⨯⨯=，()111
12006636
P X ==⨯=．
所以，总金额X 的分布列如下表：
X
0 300 600 900 1200
P
14 13 518 19 136
总金额X 的数学期望为030060090012004004318936
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． 18．已知函数
（1）讨论的单调性； （2）当
时，
，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】 【分析】
（1）f′（x ）=（x+1）e x -ax-a=（x+1）（e x -a ）．对a 分类讨论，即可得出单调性． （2）由xe x -ax-a+1≥0，可得a （x+1）≤xe x +1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x ＞-1时，a
令g （x ）
=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】 解法一：（1）
①当
时，
-1
- 0 +
↘极小值↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
当时，，则在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增. 又因为，，
所以在上有唯一的解，记为，
- 0 +
↘
极小值 ↗
，满足题意.
当时，
，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．已知函数()()2x
f x x e ax =-+.
（Ⅰ）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()
0,0f 处的切线方程 （Ⅱ）讨论关于x 的方程()()ln f x a x a R =∈根的个数. 【答案】（Ⅰ）(
)
2
120e x y +-+=；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到()
()2ln x x e a h x x x
-==-，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，
利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可. 【详解】
（Ⅰ）因为()()2x
f x x e ax =-+，则()()'1x
f x x e a =-+，
因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()'20f =，即()2
120e a -+=，
所以2a e =，
因为()02f =，()2
'01f e =+，
则直线方程为(
)
2
21y e x -=+，即(
)
2
120e x y +-+=； （Ⅱ）因为()ln f x a x =，所以()2ln 0x
x e a x ax -+-=，
所以()()2ln x
x e a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()1
'10g x x x
=
->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数， 故()()110g x g <=-<，
所以()()2ln x
x e
a h x x x
-==
-，所以()()()
2
21ln 1'ln x x e x x x x h x x ⎛⎫
-+
-- ⎪⎝⎭=
-， 设()2ln 1m x x x x =+
--，则()()()222'11
121x x x x x x
m =--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数， 所以()()22ln 20m x m >=->，
所以当01x <<时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1是减函数， 当1x >时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞是增函数， 因为01x <<时，()0h x <，()1h e =-，()20h =， 所以当a e <-时，方程无实数根，
当e a -<<0时，方程有两个不相等实数根， 当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根. 【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题. 20．已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；
（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞. 【解析】 【分析】
（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.
（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围. 【详解】
（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧
--<⎪⎪
⎪
=-≤≤⎨⎪
+>⎪⎪⎩
，
所以不等式()10f x +>等价于12
210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410
x x ⎧≤≤⎪
⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.
所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.
（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧
---<-⎪⎪
⎪
=+--≤≤⎨⎪
++>⎪⎪⎩
，
根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a a f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
， 因为()32f x a +>恒成立，所以3322
a
a --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞. 【点睛】
本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.
21．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积记为S ，满足3
S AB CA =⋅. （1）求A ；
（2)2b c a +=，求222
a b c bc ac ab
++
的值.
【答案】（1）23A π=；（2）3 【解析】 【分析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得tan A ，进而求得A 的值； （2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中A 的值，即可将表达式化为B 的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得B 和C ，进而由正弦定理确定::a b c ，代入整式即可求解. 【详解】
（1S AB CA =⋅， 所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
()sin cos cos A bc A bc A π=-=-，
所以tan A =. 因为0A π<<， 所以23
A π=
.
（2)2b c a +=，
)sin sin 2sin B C A +==
由（1）23A π=
2sin sin 3B B π⎤⎛
⎫++= ⎪⎥⎝⎭⎦
1sin 2B B ⎫+
=⎪⎪⎭
根据辅助角公式化简可得sin 13B π⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
.
因为03
B π
<<
，所以6
B π
=
，所以6
C π
=
，
所以ABC ∆为等腰三角形，且::sin :sin :sin a b c A B C ==，
所以2223323
33333
a b c bc ac ab ++=++=+
. 【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
22．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案
()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前
54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽
取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]
2535354545555565657575858595，
，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为
13
，选择方案()b 的概率为2
3.若甲、乙、
丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 【答案】（1）0.4；（2）11
27
；（3）应选择方案()a ，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；
（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；
（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，
即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 【详解】
（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”. 根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05， ∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.
（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()012
34i
i =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()4
1
3
010144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为11
27
. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()1
1002,*Y X X N =+∈，
方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧
=⎨+->∈⎩
，，，，，
所以随机变量1Y 的分布列为
()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；
同理，随机变量2Y 的分布列为 ()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.
∵()()21E Y E Y >，
∴建议骑手应选择方案()a .
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.
23．中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．
（1）试用x ，y 表示L ；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
【答案】（1）228242()L x y x y =+++（2）164569+【解析】
试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15x -，竖直方向每根支条长为132
y -，因此所需木料的长度之和L 222(15)4(13)82x y y x +=-+-+=228242()x y x y +++（2）先确定范围由152,{132,2
x y -≥-≥可得1301311x ≤≤，再由面积为130 cm2，得1132xy =，转化为一元函数2
226026082()2()L x x x x =+++，令260t x x =+，则22822[520520L t t t =+--+在372[33,
]11
t ∈上为增函数，解得L 有最小值164569+ 试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为
261322y y n -==-cm
2
=cm ．从而，所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82y x =-+-+
=822()x y ++cm ． （2）由题意，1132xy =，即260y x =，又由152,{132,2
x y -≥-≥可得1301311x ≤≤
．所以260822()L x x =++． 令260
t x x =+，其导函数226010x -
<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈
．则26082()]L x x
=++
82]t =+
=82+．
因为函数y =
y =372[33,]11
t ∈
上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最
小值16+
16+长的条形木料． 考点：函数应用题。