欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学调研试卷 试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度江浦高级
中学2021届高三次调研试卷
数学试题 必做题
一、填空题： 1．假设复数()()2563i z m m m =-++-是纯虚数，那么实数m =
2、
{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，那么其公差d =
3、假设直线06
2=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，那么a 的值是
4．为理解一片大约一万株树木的生长情况，随机 测量了其中100株树木的底部周长〔单位：㎝〕 .根据所得数据画出的样本频率分布直方图〔如图〕， 那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株 树大约是
正整数m 的最大值为 7、一只蚂蚁在边长分别为大于1的地方的概率为 8、函数
d cx bx x x f +++=23)(在区间[—1，2]上是减函数，
那么b+c 的最大值是
M P
y
x
F 2
F 1
O
9、0,0x y
>>,且21
1x y
+=,假设222x y m m +>+恒成立,那么实数m 的取值范围是
10、抛物线)0(22
>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22
221x y a b
-=的右焦点，且两条曲线交点的连线过
点F ，那么该双曲线的离心率为。

11、数列a 1，a 2，…，a n 为n 项正项数列，记
n
为其前n 项的积，12
n n ∏∏∏为它的“叠加积〞．假
设有2021项的正项数列a 1，a 2，…，a 2021的“叠加积〞为22021
，那么2021项的数列2，a 1，a 2，…，a 2021的“叠加积〞为
12、如图，M 为椭圆
2
213
x
y +=上任意一点，P 为线段OM 的中点，12PF PF ⋅的最小值
13．假设函数式
()f n 表示2*1()n n N +∈的各位上的数字之和，如2141197,19717+=++=所
以
(14)17f =，记*1211()(),()[()],
,()[()],k k f n f n f n f f n f n f f n k N +===∈，那么
14、函数
cos cos sin 2
()cos 2
x x x x f x x +++=
+〔x ∈[-8π，8π]〕的最大值为M ，最小值为m ，那么M +m =
二、解答题〔本大题一一共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明,证明过程或者演算步骤,请把答
案写在答题纸的指定区域内.〕
15、(本小题总分值是14分)
在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 所对的边，周长为
12+，)sin ,sin (sin C B A +=，
)2,1(-=，且⊥
〔1〕求边c 的长；〔2〕求角C 的最大值。

16、(本小题总分值是14分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，N 是PB 中点，过A 、
D
A
B
C
P
M
N
C
O
N 、D 三点的平面交PC 于M ．
(1)求证：//DP ANC 平面； (2)求证：M 是PC 中点；
(3)求证：平面PBC ⊥平面ADMN 。

17、(本小题总分值是14分) 圆A ：2
2(1)
4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点，且2BD=DE ，
曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ+PD 的最大值。

18、(本小题总分值是16分)
某海滨城坐落在一个三角形海域的顶点O 处〔如图〕，一条海岸线AO 在城O 北偏)31
(tan =θ
θ向，位于城O 北偏3(cos )25
παα-=向15km 的公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城O 出发沿海岸线OA 到达C 处，再从海面直线航行，途经小岛P 到达海岸线OB 的D 处，然后返回城O.为了节开发本钱，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C 处地应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积。

19、
111(,)
P a b ，
222(,)P a b ---
，
(,)
n n n P a b 〔
+
∈N n 〕,都12
log y x =图象上，
⑴假设数列{}n b 是等差数列，求证{}n a 是等比数列； ⑵假设数列{}n a 的前n 项和为12n n S -=-，过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围三角形的面积为n C ，
求最小的实数t 使t C n
≤对所有+∈N n 恒成立；
⑶假设数列{}n b 为与⑵中{}n a 对应的数列，在k b 与1k b +之间插入1
3-k 个3，得一新数列{}n d ，问是否
存在这样的正整数m ，使得数列{}n d 的前m 项的和2008=m S ,假设存在，求出m 的值，假设不存在，
请说明理由。

20、设函数
x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．
〔1〕当2
1
>
b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； 〔2〕假设函数
()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点；
〔3〕求证对任意不小于3的正整数n ，不等式
n n n n 1ln )1ln(12
<
-+<都成立。

江浦高级中学2021届高三数学模拟试题
附加题
21、[选做题]
A ．选修4-1:几何证明选讲
如图，在Rt △ABC 中，C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．
（１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；
〔２〕假设26,62==AE AD ，求EC 的长．
B ．选修4-2：矩阵与变换
给定矩阵A=1214⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦，B=32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
〔Ⅰ〕求A 的特征值1λ，2λ及对应特征向量12,αα， 〔Ⅱ〕求
4A B ．
C ．选修4-4：坐标系与参数方程
求直线⎩⎨⎧--=+=t
y t x 3141〔为参数t 〕被曲线)4cos(
2π
θρ+=所截的弦长． D ．选修4-5：不等式选讲
设
p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的间隔，R 是ABC ∆
外接圆的半径，证明
≤
22、甲、乙两人进展射击训练，命中率分别为23与P ，且乙射击2次均未命中的概率为116
， 〔I 〕求乙射击的命中率;
〔II 〕假设甲射击2次，乙射击1次，两人一共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望 23、圆)1()
1(:222
>=+-r r y x C ，设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使它
的中点P 恰好落在y 轴上.
〔1〕当),1(+∞∈r 时，求点N 的轨迹E 的方程；
〔2〕假设)2,(1x A 、),(22y x B 、),(00y x C 是E 上不同的点，且BC AB ⊥，求y 0的取值范围。

江浦高级中学2021届高三数学模拟试题
必做题参考答案
一、填空题：〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分〕
1、2；
2、
12；3、0=a 或者23-=a ；4、7000；5、4；6、2021；7、118π
- 8、215-；9、42m -<<；10、21+；11、22021
；12、74
-；13、5；14、2.
15、解：〔I 〕由n m ⊥得：0sin 2sin sin =-+C B A ，……………………4分
由正弦定理可得：c b a 2=+，又12+=++c b a ，可解得1=c ……………7分 〔II 〕由〔I 〕2=
+b a ，那么：
01)
(212112)(2cos 2
22222=-+≥-=--+=-+=b a ab ab c b a ab c b a C ，故20π≤<C 。

…13分 ∴角C 的最大值是
2
π。

…………………………………………14分。

16.证明：〔1〕连结BD ，AC ，设O AC BD = ，连结NO
∵
ABCD 是的菱形∴O 是BD 中点，又N 是PB 中点
∴NO PD //
又ANC PD ANC NO 平面平面⊄⊂, ∴ANC PD 平面//…………………………4分 〔2〕依题意有//AD BC ∴//BC 平面ADMN 而平面PBC
平面ADMN MN =
∴//BC MN ∴//AD MN 〔或者证
AD ∥平面PBC 〕∴//MN BC
又N 是PB 中点∴M 是PC 中点………………8分 〔3〕取AD 中点E ，连结PE ,BE ,BD ,如右图
∵ABCD 为边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒ ∴ABD ∆为等边三角形，又E 为AD 的中点 ∴BE AD ⊥
又∵PE AD ⊥
∴AD ⊥面PBE ∴AD ⊥PB 又∵PA AB =
，N 为PB 的中点
∴AN PB ⊥
∴PB ⊥平面ADMN 而PB ⊂平面PBC
∴平面PBC
⊥平面ADMN …………………………14分
17、解：(1)()1,0, D ,B
⎛- ⎝⎭
椭圆方程为
2
23314
x y +=……………7分 〔2〕(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++
PA PD PB PD DB +=
-+≤+＝
所以P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，得到最大值为2+。

(14)
分
18、解：以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系.
据题意，直线OB 的倾斜角为
θπ
-2
，
从而直线OB 的方程为y=3x.………….2分 由α=∠POC ，|OP|=15，5
3
cos =
α
，得点P 的坐标为〔9，12〕. 设点C 的坐标为(t ，0)， 那么直线PC 的方程为：)9()(912
≠--=
t t x t
y ，…………6分 联立y=3x ，得5
12)3
(912-=
∴--=
t t
y t y
t y D ，∴t ＞5.…………8分 ∴5
651221||212
-=
-⋅=⋅=∆t t t t t y OC S D OCD
=
]105
25)5(2[6]10525)5[(65]5)5[(62+-⋅-⋅≥+-+-=-+-t t t t t t =120.
上式当且仅当05
25
5>-=
-t t ，即t=10时取等号.…………12分 而当9=t
时，1202
24327921>=⨯⨯=
∆OCD S ∴当t=10时，S △OCD 取最小值120.………………………………………………16分 19、解〔1〕证明：数列{}n b 是等差数列，设公差为d ，那么1
n n b b d +-=对*n N ∈恒成立，
依题意12
log n
n b a =，1
()2n
b n a =，
所以
1111
()()22
n n b b d n n a a +-+==是定值，从而数列{}n a 是等比数列．------------------4分 〔2〕解：当1n =时，1
12a =
，当2n ≥时，11()2
n
n n n a S S -=-=，1n =也适宜此式， 即数列{}n a 的通项公式是1
()2n n
a =．由12
log n n b a =， 数列{}n b 的通项公式是n
b n =，所以1(
,)2n n P n ，11
1
(,1)2n n P n +++． 过这两点的直线方程是：11211(1)22n
n n
x y n n n +--=
+--，……………………………………7分 可得与坐标轴的交点是12
(,0)2
n n n A ++和(0,2)n B n +．
2
2
1(2)22n n n n n c OA OB ++=⨯⨯=
，
由于22221233(2)(3)2(2)(3)222n n n n n n n n n c c +++++++-+-=-=23
21
02
n n n ++-=> 即数列{}n c 的各项依次单调递减，所以19
8
t
c ≥=
．……………………………………10分 〔3〕数列{}n d 中，k b 〔含k b 项〕前的所有项的和是121(12)(333)k k -++
++++
+
()13322k k k +-=+估算知，当7k =时，其和是73328112020082
-+
=<， 当8k =时，其和是833
36331520082
-+=>，………………………………………………………13分
又因为200811208882963-==⨯，是3的倍数， 故存在这样的m ，使得2008m S =，
此时2
57(1333)296667m =++++
++=……………………………………16分
20．设函数
x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．
〔1〕当2
1
>
b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；
〔2〕假设函数
()f x 的有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点；
〔3〕求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n 1
ln )1ln(12
<
-+<都成立
20、解：〔1〕由题意知，
()f x 的定义域为),0(+∞，
∴当2
1
>
b 时，()0f x '>，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增．…………4分 〔2〕①由〔Ⅰ〕得，当1
2
b >时，函数()f x 无极值点．
②12b =时，02)12()('2=-=
x x x f 有两个一样的解2
1
=x ， 0)(',),2
1
( ;0)(')21,0(>+∞∈>∈x f x x f x 时当时，但当时，
1
2
b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，
上无极值点．………………6分 ③当1
2
b
<
时，()0f x '=有两个不同解，221211b x --=22121 ,2b x -+=
0 )≤∴b i 时，，舍去),0(02
21211+∞∉≤--=
b
x ，),0(12
2121 2+∞∈≥-+=
b
x 而, 此时
()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：0≤b 时，
()f x 有惟一极小值点2
2121 ,b
x -+=
，
ii)当1
02
b <<
时，0<21x x <<1 此时，
()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：
102
b <<
时，
()
f x 有一个极大值
2
21211b x --=
和一个极小值点
2
21212b
x -+=
；
综上所述： 当且仅当2
1
<
b
时()f x 有极值点; 当0≤b 时，()f x 有惟一最小值点2
2121 ,b x -+=
；
当1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点22121b x --
=和一个极小值点
2
2121b
x -+=
………………………………………………………………………10分
〔3〕由(2)可知当1b =-时，函数
x x x f ln )1()(2--=，
此时
()f x 有惟一极小值点2
3
122121 +=-+=
b x 且为减函数在时，)2
3
1,0()( ,0)(')231,
0(+<+∈x f x f x 成立
时恒有当，即恒有恒有，时，当 1
ln )1ln( 3 )
11ln(10 )11(f(1) 23
134111 0 3 22n n n n n n
n f n n >-+≥∴+->+>∴+<≤+
<<≥ ………………………………13分
令函数 )0 ln )1()
(>--=x x x x h （x
x x
x h 111)(' -=-=则
………………………………16分
江浦高级中学2021届高三数学模拟试题
附加题参考答案
21、[选做题]
A ．选修4-1:几何证明选讲
〔1〕取BD 的中点O ，连接OE ．
∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ．又∵OB=OE ，∴∠OBE=∠BEO ，
∴∠CBE=∠BEO ，∴BC ∥OE ．…………………3分
∵∠C=90°，∴OE ⊥AC ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线．………5分
〔2〕设⊙O 的半径为r ，那么在△AOE 中， 222AE OE OA +=，即222)26()62(+=+r r ，解得62=r ,…………7分 ∴OA=2OE ，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=236232
132121=⨯⨯=⨯=r BE ．……………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换〕
解：〔I 〕设A 的一个特征值为λ，由题意知：
1
214λλ---=0
〔λ－2〕〔λ－3〕=0
λ1=2，λ2=3……2分
当λ1=2时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值2的特征向量α1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦
当λ2=3时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值3的特征向量α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
……6分
〔II 〕由于B =32⎡⎤⎢⎥⎣⎦=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=α1＋α2……7分
故4A B =412()A αα+=〔24
α1〕＋〔34α2〕
=16α1＋81α2=3216⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋8181⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11397⎡⎤⎢⎥⎣⎦
……10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程
解：把1413x t y t
=+⎧⎨=--⎩化为普通方程为4310x y +-=，……3分
把)4
πρ
θ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，……6分 ∴圆心到直线的间隔为110，……8分
∴弦长为75
=．……10分 D ．选修4-5：不等式选讲
证明：由柯西不等式得，
=111a b c ≤++分 记S 为ABC 的面积，那么
2242abc abc ax by cz S R R ++===……6分 故不等式成立．……10分
22、解：〔I 〕设“甲射击一次命中〞为事件A ，“乙射击一次命中〞为事件B 由题意得221(1())
(1)16P B P -=-=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 解得34P =
或者54
P =〔舍去〕， 故乙射击的命中率为34。

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 (II)由题意和〔I 〕知2131(),(),(),()3344P A P A P B P B ====。

ξ可能的取值为0，1，2，3，故
2111137(1)2()()()()()()233433436
P P A P A P B P A P A P B ξ==+=⨯⨯⨯+⨯⨯=.
22312(3)()()()33436
P P A P A P B ξ===⨯⨯=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分 故ξ的分布列为
由此得ξ的数学期望122501233636363612
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=┉┉┉10分 23、解：〔1〕由条件知：1),,(),,0(),0,1(-=+-r x y x N b P r
M 则设
所以x r y r y r 444,)11(2222=-==+--即 所以点N 的轨迹方程为：y 2=4x .…………………………………4分
〔2〕由〔1〕知A 〔1，2〕，200020222,2),,4
(),,4(y y y y y C y y B ≠≠，
那么),4(),2,44(202220222y y y y y y --=--=，
又因为0,=⋅⊥BC AB 所以
0))(2(444202222022=--+-⨯-y y y y y y ， 整理0216)2(02022=++++y y y y ，那么此方程有解，
所以20000(2)4(162)0,610y y y y ∆=+-⨯+≥≤-≥解得或，……………8分
当y 0=－6时，B 〔4，2〕，C 〔9，－6〕，故符合条件
当y 0=10时，B 〔9，－6〕，C 〔25，10〕，故符合条件 所以点C 的纵坐标y 0的取值范围是).,10[]6,(+∞⋃--∞…………………10分。