宛城区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宛城区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
2． 函数f （x ﹣）=x 2+，则f （3）=（ ） A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
3． 对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心 4． 已知复数z 满足z •i=2﹣i ，i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．﹣1﹣2i
B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i 5． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
6． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．2
7． 已知集合M={x|x 2
＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）
A ．∅
B ．{x|x ＞0}
C ．{x|x ＜1}
D ．{x|0＜x ＜1}
可．
8． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2
,2x R x x ∃∈≤-
B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，2
0010x x ++<
C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数
D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
9． 设集合 A={ x|﹣3≤2x ﹣1≤3}，集合 B 为函数 y=lg （ x ﹣1）的定义域，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
10．将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）
43π （ B ） 83π （C ） 4
π （D ） 8
π 11．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（ ）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
二、填空题
13．设函数
，其中[x]表示不超过x 的最大整数．若方程
f （x ）=ax 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
14．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x
与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．
15．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表
示）
16．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．
17．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．
18．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单 位：小时）间的关系为0e
kt
P P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
三、解答题
19．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
20．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．
（Ⅰ）求曲线r的方程；
（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，
（ⅰ）求证：直线CD过定点；
（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．
阿啊阿
21．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B 两点．
（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长度．
22．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
23．设集合{}
{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
a=，判断集合A与B的关系；
5
=，求实数组成的集合C．
（2）若A B B
24．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x
（1
（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；附：设ωi＝x2i，有下列数据处理信息：ω＝11，y＝38，
（ωi－ω）（y i－y）＝－811，（ωi－ω）2＝374，
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）
宛城区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
2．【答案】C
【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．
故选C．
3．【答案】C
【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
4．【答案】A
【解析】解：由z•i=2﹣i得，，
故选A
5．【答案】D
【解析】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；
选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．
故选D
【解析】
试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A ．
考点：几何体的结构特征． 7． 【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x ＜1}， N={x|x ＞0}，则M ∩N={x|0＜x ＜1}， 故选D ．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，
8． 【答案】D
9． 【答案】D
【解析】解：由A 中不等式变形得：﹣2≤2x ≤4，即﹣1≤x ≤2， ∴A=[﹣1，2]，
由B 中y=lg （x ﹣1），得到x ﹣1＞0，即x ＞1， ∴B=（1，+∞）， 则A ∩B=（1，2]， 故选：D ．
10．【答案】B
【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数sin 2sin 284[()]()y x x ππϕϕ=++=++的图象，可得42ππϕ+=，求得ϕ的最小值为 4
π
，故选B ．
【解析】
考点：球与几何体
12．【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，
故选B．
二、填空题
13．【答案】（﹣1，﹣]∪[，）．
【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．
当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．
当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．
当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．
当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2．
当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3．
设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：
当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有2个不同的交点，
则OA的斜率k=，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，
故满足条件的斜率k的取值范围是或，
故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）
【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．
14．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．
15．【答案】（1，+∞）
【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，
当命题p是假命题时，
命题￢p：∀x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；
即△=4﹣4a＜0，
∴a＞1；
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．
16．【答案】 （ 1，±2
） ．
【解析】解：设点P 坐标为（a 2，a ）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a 2+2=，求得a=±2
∴点P 的坐标为（ 1，±2
） 故答案为：（ 1，±2）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
17．【答案】 2 ．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1），
故2m+n=1．
∴4m
+2n ≥2=2=2．
当且仅当4m =2n ，即2m=n ，
即n=，m=时取等号．
∴4m
+2n 的最小值为2．
故答案为：2
18．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k P P -=，所以5e 0.9k -=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt k --===，所以15t =小时.
三、解答题
19．【答案】（1）3B π=
；（2）[1,2). 【解析】
20．【答案】
【解析】满分（13分）．
解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，
∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）
∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．
由y=，得．
∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）
又PC过点C，y C=，
∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，
∴y C+1=，即．…（6分）
同理，
∴直线CD的方程为，…（7分）
∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，
得x1=1，直线CD的方程为．
设l：y+1=k（x﹣1），
与方程联立，求得x Q=．…（9分）
设A（x A，y A），B（x B，y B）．
联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得
x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得
x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）
∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，
∴+=|PQ|
=
=…（11分）
=
=，
∴+为定值，定值为2．…（13分）
【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）
表示直线y=x，
曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ
所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，
r=3所以弦长AB==．
∴弦AB的长度．
【点评】本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．
23．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C .
【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质.
24．【答案】
【解析】解：（1）
根据散点图可知，x 与y 是负相关． （2）根据提供的数据，先求数据（ω1，y 1），（ω2，y 2），（ω3，y 3），（ω4，y 4），（ω5，y 5）的回归直线
方程，y ＝cω＋d ，
＝－811374
≈－2.17， a ^＝y －c ^ω＝38－（－2.17）×11＝61.87. ∴数据（ωi ，y i ）（i ＝1，2，3，4，5）的回归直线方程为y ＝－2.17ω＋61.87， 又ωi ＝x 2i ，
∴y 关于x 的回归方程为y ＝－2.17x 2＋61.87.
（3）当y＝0时，x＝61.87
2.17＝6187
217
≈5.3.估计最多用5.3千克水．。