2019版数学大江苏专版：第五章 平面向量5

§5。

2平面向量基本定理及坐标表示
考情考向分析主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1,y1），b＝（x2，y2),则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2）,a－b＝（x1－x2，y1－y2)，
λa＝（λx1,λy1），|a|＝错误!.
（2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1），B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1），｜错误!｜＝
x2－x12＋y2－y12。

3．平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1,y1），b＝(x2，y2），其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0。

知识拓展
1．若a与b不共线,λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0.
2．设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2），如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔错误!＝错误!。

题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．（×)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2。

(√）（3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．（√)
(4)若a＝(x1,y1）,b＝（x2,y2）,则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!。

（×）
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)
(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√）
题组二 教材改编
2．［P79练习T6］已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B （3，－1），C (5，6)，则顶点D 的坐标为 ．
答案 （1，5)
解析 设D （x ，y )，则由AB →＝错误!，得(4,1)＝（5－x,6－y ），
即错误!解得错误!
3．［P81习题T17］已知向量a ＝(2,3），b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与
a －2
b 共线,则m n ＝ 。

答案 －错误!
解析 由向量a ＝（2,3),b ＝(－1，2），
得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n ）,a －2b ＝（4，－1）．
由m a ＋n b 与a －2b 共线，
得2m －n 4＝错误!，所以错误!＝－错误!.
题组三 易错自纠
4．设e 1，e 2是平面内一组基底,若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝ 。

答案 0
5．已知点A (0，1)，B (3，2），向量错误!＝（－4，－3），则向量错误!＝ 。

答案 (－7,－4)
解析 根据题意得错误!＝（3,1)，
∴BC
→＝错误!－错误!＝（－4，－3）－（3，1)＝(－7，－4)． 6．已知向量a ＝（m,4)，b ＝(3,－2),且a ∥b ，则m ＝ . 答案 －6
解析 因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6。

题型一 平面向量基本定理的应用
1。

如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，错误!＝2错误!,设错误!∥错误!，若错误!＝错误!错误!＋λ错误!(λ∈R )，则λ的值为 ．
答案 错误!
解析 因为错误!＝2错误!，BO 为AC 边上的中点，
所以G 为△ABC 的重心，
所以错误!＝错误!×错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!.
因为错误!∥错误!,所以设错误!＝m 错误!，
从而错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!错误!＋错误!错误!。

因为错误!＝错误!错误!＋λ错误!，所以错误!＝错误!，λ＝1＋错误!＝错误!。

2.如图，在△ABC 中，错误!＝错误!错误!，P 是BN 上的一点，若错误!＝
m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为．
答案错误!
解析∵错误!＝错误!错误!，∴错误!＝4错误!，
∵错误!＝m错误!＋错误!错误!＝m错误!＋错误!错误!，
又P，B,N三点共线,∴m＋错误!＝1，即m＝错误!。

思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决．
题型二平面向量的坐标运算
典例（1）已知a＝(5,－2），b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0,则c ＝ .
答案错误!
解析由已知3c＝－a＋2b
＝(－5,2）＋(－8，－6)＝（－13，－4）．
所以c＝错误!。

（2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则错误!＝ .
答案4
解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),
则A(1，－1)，B(6，2），C(5,－1），
∴a＝错误!＝（－1，1)，b＝错误!＝(6,2)，c＝错误!＝(－1，－3）．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1,－3)＝λ(－1,1)＋μ（6，2)，
即错误!
解得λ＝－2，μ＝－错误!，∴错误!＝4。

引申探究
在本例（2）中，试用a,c表示b.
解建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3）,设b＝x a＋y c,
则(6，2)＝x（－1,1)＋y(－1，－3)．
即错误!解得错误!
故b＝－4a－2c。

思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
跟踪训练（1)已知四边形ABCD的三个顶点A（0,2),B(－1，－2），C（3,1),且错误!＝2错误!，则顶点D的坐标为．
答案错误!
解析设D（x，y），错误!＝(x，y－2），错误!＝（4,3)，
又错误!＝2错误!，∴错误!∴错误!
（2）已知平面向量a＝（1，1）,b＝（1,－1），则向量错误!a－错误!b ＝ .
答案（－1，2）
解析错误!a＝错误!，错误!b＝错误!,
故错误!a－错误!b＝(－1,2）．
题型三向量共线的坐标表示
命题点1利用向量共线求向量或点的坐标
典例已知点A（4，0)，B(4,4)，C（2,6),则AC与OB的交点P的坐标为．
答案(3,3）
解析方法一由O，P，B三点共线，可设错误!＝λ错误!＝（4λ，4λ）,则错误!＝错误!－错误!＝（4λ－4，4λ）．
又错误!＝错误!－错误!＝（－2，6)，
由错误!与错误!共线，得(4λ－4）×6－4λ×(－2）＝0,
解得λ＝错误!，所以错误!＝错误!错误!＝(3，3），
所以点P的坐标为(3,3）．
方法二设点P(x，y)，则错误!＝（x，y)，因为错误!＝(4,4）,且错误!与错误!共线，所以错误!＝错误!,即x＝y.
又错误!＝(x－4，y),错误!＝(－2，6），且错误!与错误!共线，
所以（x－4）×6－y×（－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为（3,3)．
命题点2利用向量共线求参数
典例已知向量a＝（1－sin θ,1），b＝错误!，若a∥b，则锐角θ＝ .
答案45°
解析由a∥b，得(1－sin θ）（1＋sin θ)＝错误!，
∴cos2θ＝错误!，∴cos θ＝错误!或cos θ＝－错误!,
又θ为锐角，∴θ＝45°.
思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略（1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝（x1,y1），b＝（x2，y2）,则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知
向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．跟踪训练（1）已知向量a＝（1，1）,点A（3，0)，点B为直线y ＝2x上的一个动点．若错误!∥a，则点B的坐标为．
答案(－3，－6）
解析设B(x，2x)，则错误!＝（x－3,2x）．
∵错误!∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，
∴B(－3，－6)．
(2)若三点A(1，－5），B（a，－2），C(－2,－1)共线，则实数a的值为．
答案－错误!
解析错误!＝（a－1，3)，错误!＝(－3，4)，
根据题意错误!∥错误!，
∴4（a－1)－3×(－3）＝0,
即4a＝－5,∴a＝－错误!。

解析法（坐标法）在向量中的应用
典例（14分) 给定两个长度为1的平面向量错误!和错误!，它们的夹角为错误!。

如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动．若错误!＝x错误!
＋y 错误!,其中x ,y ∈R ，求x ＋y 的最大值．
思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化,将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．
规范解答
解 以O 为坐标原点，错误!所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示,
则A （1,0）,B 错误!。

[4分]
设∠AOC ＝α错误!，则C (cos α,sin α)，
由OC
→＝x 错误!＋y 错误!，得错误! 所以x ＝cos α＋错误!sin α，y ＝错误!sin α,［10分]
所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin 错误!，[12分]
又α∈错误!，
所以当α＝错误!时,x ＋y 取得最大值2。

［14分]
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是．（填序号)
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e1＋2e2；
③e1＋e2与e1－e2；
④e1－2e2与－e1＋2e2。

答案④
2．（2017·东海中学质检)已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，向量a＝2e1－e2，b＝m e1＋3e2，若a∥b，则实数m＝。

答案－6
解析∵a∥b,∴b＝λa。

又∵a＝2e1－e2，b＝m e1＋3e2，
∴m e1＋3e2＝2λe1－λe2，
即（m－2λ）e1＋（3＋λ）e2＝0。

又e1，e2是平面上两个不共线的向量,
∴m－2λ＝0，且3＋λ＝0，解得m＝－6。

3．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点,若错误!＝λ错误!＋μ错误!(λ，μ为实数），则λ2＋μ2＝。

答案错误!
解析 DE
→＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误! ＝错误!错误!＋错误!(错误!＋错误!）＝错误!错误!－错误!错误!,
所以λ＝错误!，μ＝－错误!，故λ2＋μ2＝错误!.
4．(2017·扬州中学质检）已知正三角形ABC 的边长为2错误!，平面ABC 内的动点P ，M 满足｜错误!|＝1，错误!＝错误!，则|错误!|2的最大值是 ．
答案 494
解析 以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A （0，0)，C (2错误!，0)，B （错误!，3）．
设P （x ，y )，
∵｜错误!｜＝1，∴x 2＋y 2＝1，
∵错误!＝错误!，∴M 为PC 的中点，
∴M 错误!，
∴｜错误!|2＝错误!2＋错误!2
＝错误!＋错误!－3y ＋9＝错误!－3y ＋9＝错误!－3y ，
又∵－1≤y ≤1，
∴当y ＝－1时，|错误!|2取得最大值，且最大值为错误!。

5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝（1，2)，b ＝(m ，3m －
2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ,μ为实数）,则实数m 的取值范围是 ．
答案 (－∞，2）∪(2，＋∞）
解析 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2。

6．已知｜错误!|＝1,|错误!|＝错误!，错误!·错误!＝0，点C 在∠AOB 内，且错误!与错误!的夹角为30°，设错误!＝m 错误!＋n 错误!(m ，n ∈R ），则错误!的值为 ．
答案 3
解析 ∵错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!,
以错误!所在直线为x 轴，错误!所在直线为y 轴建立平面直角坐标系（图略)，
错误!＝（1，0），错误!＝(0，错误!）,错误!＝m 错误!＋n 错误!＝（m ，错误!n ）． ∵tan 30°＝错误!＝错误!，∴m ＝3n ,即错误!＝3。

7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线,错误!＝（2,4），错误!＝（1，3），则向量错误!的坐标为 ．
答案 （－3,－5）
解析 ∵AB
→＋错误!＝错误!,∴错误!＝错误!－错误!＝（－1,－1), ∴错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝(－3,－5)．
8．已知向量a ＝(错误!,1）,b ＝(0，－1），c ＝（k ，错误!），若a －2b 与c 共线，则k ＝ .
答案1
解析∵a－2b＝（3，3)，且a－2b∥c，
∴错误!×错误!－3k＝0,解得k＝1。

9．已知A（1,0)，B(4，0）,C（3,4）,O为坐标原点，且错误!＝错误!（错误!＋错误!－错误!)，则｜错误!｜＝。

答案2错误!
解析由错误!＝错误!（错误!＋错误!－错误!)＝错误!（错误!＋错误!)知，点D是
线段AC的中点，故D(2,2），所以BD，→＝(－2,2),
故|错误!|＝错误!＝2错误!.
10．在平行四边形ABCD中，错误!＝e1，错误!＝e2，错误!＝错误!错误!,错误!＝
错误!错误!，则错误!＝ .(用e1，e2表示）
答案－错误!e1＋错误!e2
解析如图，错误!＝错误!－错误!＝错误!＋2错误!＝错误!＋错误!错误!
＝－错误!错误!＋错误!（错误!－错误!)
＝－错误!e2＋错误!(e2－e1)
＝－2
3e1＋错误!e2。

11．已知A(1,1）,B（3，－1)，C（a,b)．(1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式;
（2）若错误!＝2错误!,求点C的坐标．
解(1)由已知得错误!＝（2,－2），错误!＝(a－1，b－1），
∵A，B，C三点共线,∴错误!∥错误!.
∴2（b－1）＋2(a－1）＝0，即a＋b＝2.
（2)∵错误!＝2错误!,∴（a－1,b－1)＝2(2，－2)．
∴错误!解得错误!∴点C的坐标为(5，－3)．
12．已知A（－2,4），B（3，－1），C(－3，－4)．设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝3c，错误!＝－2b。

(1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝m b＋n c的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量错误!的坐标．
解（1）由已知得a＝（5,－5）,b＝（－6，－3），c＝（1,8)．∴3a＋b－3c＝3（5,－5）＋(－6,－3)－3（1，8）
＝（15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
（2)∵m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝（5，－5），
∴｛－6m＋n＝5，，－3m＋8n＝－5，解得错误!
(3）设O为坐标原点，∵错误!＝错误!－错误!＝3c，
∴错误!＝3c＋错误!＝(3,24）＋（－3，－4）＝(0，20），
∴M（0，20）．
又∵错误!＝错误!－错误!＝－2b，
∴错误!＝－2b＋错误!＝(12，6）＋（－3，－4）＝(9，2），
∴N（9,2），∴错误!＝(9，－18)．
13．(2017·江苏）如图，在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为1，1，错误!，错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7,错误!与错误!的夹角为45°.若错误!＝m错误!＋n错误!（m,n∈R）,则m＋n＝ .
答案3
解析方法一因为tan α＝7，
所以cos α＝错误!，sin α＝错误!。

过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D,
则错误!＝错误!＋错误!，∠OCD＝45°。

又因为错误!＝m错误!＋n错误!，
所以错误!＝m错误!，错误!＝n错误!,
所以|错误!｜＝m，|错误!|＝n.
在△COD中,
由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!，
因为sin∠ODC＝sin（180°－α－∠OCD）
＝sin(α＋∠OCD)＝错误!,
即错误!＝错误!＝错误!，所以n＝错误!，m＝错误!，所以m＋n＝3。

方法二由tan α＝7可得cos α＝错误!，sin α＝错误!,
则
1
52＝错误!＝错误!，
由cos∠BOC＝错误!可得
错误!＝错误!＝错误!，
cos∠AOB＝cos（α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!，
则错误!·错误!＝－错误!，
则m－错误!n＝错误!，－错误!m＋n＝1,
则2
5m＋
2
5n＝错误!，则m＋n＝3.
14．在矩形ABCD中，AB＝5,BC＝错误!，P为矩形内一点，且AP ＝错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!(λ,μ∈R)，则错误!λ＋错误!μ的最大值为．
答案错误!
解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y)，B(错误!，0），C（错误!，错误!)，D(0，错误!）．
∵AP＝
5
2，∴x
2＋y2＝
5
4。

点P满足的约束条件为
错误!
∵错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ∈R)，
∴（x，y）＝λ（错误!，0)＋μ（0，错误!)，
∴错误!∴x＋y＝错误!λ＋错误!μ。

∵x＋y≤错误!＝错误!＝错误!，
当且仅当x＝y时取等号，∴错误!λ＋错误!μ的最大值为错误!。

15。

如图所示,A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA 的延长线交于圆O外的一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是．
答案（－1,0)
解析由题意得,错误!＝k错误!（k＜0),
又｜k|＝错误!＜1，∴－1＜k＜0。

又∵B，A，D三点共线，∴错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!，
∴m错误!＋n错误!＝kλ错误!＋k(1－λ）错误!，
∴m＝kλ，n＝k（1－λ）,
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0)．
16.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上,且满足错误!＝m错误!＋n错误!(m，n均为正实数)，则错误!＋错误!的最小值为．
答案错误!
解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0,0），B（4,0），D(0，4）,C（1，4)．
又k BC＝－错误!，
故BC所在的直线方程为
y＝－错误!（x－4）．
又错误!＝m错误!＋n错误!,错误!＝(4，0）,错误!＝（0,4),
所以错误!＝（4m,4n）,故P(4m,4n)，
又点P在直线BC上,即3n＋4m＝4，
即4错误!＝（3n＋4m)·错误!
＝7＋错误!＋错误!≥7＋2错误!＝7＋4错误!，
所以错误!min＝错误!,当且仅当错误!
即m＝4－23，n＝错误!时取等号（因为m,n均为正实数）．
学必求其心得，业必贵于专精
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。