洪山区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

洪山区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．与圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（）
A．B．C．D．
3．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）
A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假
4．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）
A．B．C．
D．
5．已知f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f（log43），c=f（0.4﹣1.2）则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
7．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前10项和为（）A．89 B．76 C．77 D．35
9． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
10．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，BC=，则异面直线A 1C
与B 1C 1所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
11．A={x|x ＜1}，B={x|x ＜﹣2或x ＞0}，则A ∩B=（ ）
A ．（0，1）
B ．（﹣∞，﹣2）
C ．（﹣2，0）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）
12．阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）
A ．14
B ．20
C ．30
D ．55
二、填空题
13．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D 中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧
面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
14．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
15．函数f （x ）=
的定义域是 ．
16．已知A （1，0），P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则
+
的最大值为 ．
17．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+
，则这两个正方形的面积之和
的最小值为 ．
18．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为 ．
14．已知集合
，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知椭圆C ：
=1（a ＞2）上一点P 到它的两个焦点F 1（左），F 2 （右）的距离的和是6．
（1）求椭圆C 的离心率的值；
（2）若PF 2⊥x 轴，且p 在y 轴上的射影为点Q ，求点Q 的坐标．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：//AB EF ；
（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程是2=
ρ，曲线2C 的参数方程是
θππθθ],2,6[,0(21
sin 2,
1∈>⎪⎩
⎪
⎨⎧+==t t y x 是参数）． （Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．
22．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A
B
C
D
23．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
24．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割
，为出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE FH
裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.
（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；
（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.
洪山区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，
；；
∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
2．【答案】D
【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==
故选D
3．【答案】B
【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，
若“非p”为真，则p为假，
∴p假q真，
故选：B．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．
4．【答案】B
【解析】解：根据选项可知a≤0
a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|=16，b=4
故选B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．5．【答案】C
【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．
∵log43＜1，∴|log43|＜1；
2＞|ln|=|ln3|＞1；
∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2
∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．
又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
∴c＜a＜b．
故选C
6．【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，
故选A．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
7．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a 1+2d ）2
+4（a 1+2d ）+4=a 1（a 1+4d ）+4a 1+4d+3．
化简得：（2d+1）2
=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
8． 【答案】C
【解析】解：因为a 1=1，a 2=2，所以a 3=（1+cos 2
）a 1+sin
2
=a 1+1=2，a 4=（1+cos 2π）a 2+sin 2π=2a 2=4．
一般地，当n=2k ﹣1（k ∈N *
）时，
a 2k+1=[1+cos 2
]a 2k ﹣1+sin 2
=a 2k ﹣1+1，即a 2k+1﹣a 2k ﹣1=1．
所以数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k ﹣1=k ． 当n=2k （k ∈N *
）时，a 2k+2=（1+cos
2
）a 2k +sin
2
=2a 2k ．
所以数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k
．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选：C ．
9． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
10．【答案】C
【解析】解：因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角为就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．
直三棱柱ABC ﹣A
1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，BC=，BA 1=
，
CA 1=，
三角形BCA 1是正三角形，异面直线所成角为60°．
故选：C ．
11．【答案】D
【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），
∴A ∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），
故选：D ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
12．【答案】C
【解析】解：∵S 1=0，i 1=1； S 2=1，i 2=2； S 3=5，i 3=3； S 4=14，i 4=4； S 5=30，i=5＞4 退出循环， 故答案为C ．
【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】4
2⎡⎢⎣⎦， 【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
14．【答案】84．
【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．15．【答案】{x|x＞2且x≠3}．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
16．【答案】．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．【答案】．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．
则+x+y+=3+，
化为：x+y=3．
则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．
∴这两个正方形的面积之和的最小值为．
故答案为：．
18．【答案】6．
【解析】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，
f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，
令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．
故答案为6
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；
∴c=；
∴；
即椭圆的离心率是；
（2）；
∴x=带入椭圆方程得，y=；
所以Q（0，）．
20．【答案】
【解析】
∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=GB 是平面PAF 的一个法向量，
21．【答案】
【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程是22
2
=+y x ，
曲线2C 的普通方程是)2
1
221(1+≤≤+
=t y t x …………5分 （Ⅱ）对于曲线1:C 22
2=+y x ，令1x =，则有1y =±．
故当且仅当0011
12-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪
⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或时，1C ，2C 没有公共点， 解得1
2
t >．……10分
22．【答案】C
【解析】
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）的导数为f ′（x ）=，
由题意可得，f （）=，f ′（）=，
即
=
，且
=，
由m ∈N ，则m=1，t=8；
（2）设h （x ）=ax+﹣，x ≥．
h （）=﹣≥0，即a ≥，
h ′（x ）=a ﹣，当a ≥时，若x ＞
，h ′（x ）＞0，①
若≤x ≤
，设g （x ）=a ﹣
，
g ′（x ）=﹣
＜0，g （x ）在[，
]上递减，且g （）≥0，
则g （x ）≥0，即h ′（x ）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a ≥时，h ′（x ）＞0，h （x ）在[，+∞）上递增，h （x ）≥h （）=≥0，
则当a ≥时，不等式f （x ）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a ＜时，h （）＜0，不合题意．
综上可得a ≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
24．【答案】（1）()21sin cos S θθ=+，其中02
π
θ<<
.（2）6
π
θ=
时，max S =
【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关键是用θ表示上下底及高，先由图形得
AOE BOF θ∠=∠=，这样可得高2cos AB θ=，再根据等腰直角三角形性质得()1cos sin AD θθ=-+，()1cos sin BC θθ=++最后根据梯形面积公式得()2
AD BC AB
S +⋅=
()21sin cos θθ=+，交代定义域
02
π
θ<<
．（2）利用导数求函数最值：先求导数()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，再求导函数零点6
π
θ=
，
列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值
试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以
()2
AD BC AB S +⋅=
()21sin cos θθ=+，其中02
π
θ<<
．
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．。