2014年《与名师对话》人教版数学(理)高考数学总复习4-6《正选定理和余弦定理》(48张PPT)

课前自主回顾 第21页，共48页。
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解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注 意用哪一个定理更方便、简捷．
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(2013 年太原质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别
【解】 (1)由余弦定理知：cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2. 将上式代入ccooss CB＝－2ab＋c得： a2＋2ca2c－b2·a2＋2ba2b－c2＝－2ab＋c，
课前自主回顾 第15页，共48页。
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为
a，b，c.已知cos
A－2cos cos B
C＝2c－ b a.
(1)求ssiinn CA的值；
(2)若 cos B＝14，b＝2，求△ABC 的面积 S. 【思路启迪】 (1)利用正弦定理把边化角；(2)利用余弦定
理求解 a.
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2．三角形的面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
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(对应学生用书 P91)
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解：(1)因为 m·n＝
3，所以 m·n＝2
B 3sin 2·
sin
B2＋π2＋ 23＝
3，即 2
3sin
B 2cos
B2＝ 23，
即 sin B＝12，所以 B＝π6或 B＝56π.
(2)因为 B 为锐角，所以 B＝π6.由 S＝12acsin B＝6 3，解得 c
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(对应学生用书 P91)
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
＝2R
a2＝b2＋c2－2bc·cosA b2＝c2＋a2－2ca·cosB
， ，
(R 为△ABC 外接圆半径)
c2＝ a2＋b2－2ab·cosC
A、B、C
的对边，且cos cos
B C
＝－2ab＋c.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． 【思路启迪】 由ccooss CB＝－2ab＋c，利用余弦定理转化为
边的关系求解．
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＝4 3.
由 b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋48－2×6×4 3× 23＝12， 得 b＝2 3.
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利用正、余弦定理解三角形问题，主要是在三角形中运用 正弦定理或余弦定理求解边、角或实现边角互化．另外，常常 与三角形的面积结合起来．通常结合图形，并合理选择定理和 结论求解．
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(1)当 A 为锐角时，如图，已知∠A，b， a，作出 AB 边上的垂线段 CD，则 CD＝bsin A，以 C 为圆心，以 a 为半径画弧，与射线 AD 有几个交点(B 的位置)，三角形就有几 个解．
(2)当 A 为直角或钝角时，aa≤ >bb，，一无解解锐，角.
课前自主回顾 第26页，共48页。
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(2011 年浙江)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c.已知 sin A＋sin C＝psin B(p∈R)，且 ac＝14b2.
(1)当 p＝54，b＝1 时，求 a，c 的值； (2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围．
课前自主回顾 第27页，共48页。
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解：(1)由题设并利用正弦定理，得aac＋＝c14＝，54，
解得ac＝＝141，
或a＝14， c＝1.
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(2013 年福州实验月考)已知在△ABC 中，a，b，c 分别为
角
A，B，C
所对的边，向量
m ＝ 2
3sin
B2，
3 2
，
n＝
sin
B2＋π2，1，且 m·n＝
3.
(1)求角 B 的大小；
(2)若角 B 为锐角，a＝6，S△ABC＝6 3，求 b 的值．
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－
正弦定理：在△ABC
中， a sin
＝b A sin
＝c B sin
C＝2R(R
为△ABC 外接圆半径)．在用正弦定理解三角形时，可将正弦定
理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关
系．熟记正弦定理同三角形外接圆半径之间的关系，同三角形
面积之间的关系等结论，对于我们解答相关问题是十分有益的．
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【解】 (1)由 acos C＋ 3asin C－b－c＝0 及正弦定理得
sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为 B＝π－A－C，所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
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定理
变形 形式
正弦定理
余弦定理
①a＝2RsinA ，b＝2RsinB ，
c＝ 2RsinC
；
a
b
②sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R
c
sin C＝ 2R ；
cos A＝ b2＋c2－a2；
，
2bc
c2＋a2－b2
化简可得 sin (A＋B)＝2sin (B＋C)．
又 A＋B＋C＝π，
所以 sin C＝2sin A．因此ssiinn CA＝2.
课前自主回顾 第24页，共48页。
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(2)由ssiinn CA＝2，得 c＝2a.
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 及 cos B＝14，b＝2，得 4
定理，a＋c＝ 2b 变形为 sin A＋sin C＝ 2sin B，即有 sin A＋sin
C＝cos C＋sin C＝ 2sin C＋π4＝ 2sin B，又 A，B，C 是△ABC
的内角，故 C＋π4＝B，
所以 A＋B＋C＝π2＋C＋C＋π4＋C＝π⇒C＝1π2.
课前自主回顾 第12页，共48页。
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(2012 年新课标全国)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C＋ 3asin C－b－c＝0.
(1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c. 【思路启迪】 (1)由边到角，自然应用正弦定理，再适当 变形，注意目标—求角 A；(2)运用面积公式和余弦定理，解方 程组．
解三角形问题常规思路有两种：边化角或角化边．根据需 要，灵活选择．
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△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A－C
＝90°，a＋c＝ 2b，求 C. 解：由 A－C＝90°，得 A 为钝角且 sin A＝cos C，利用正弦
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考纲要求
掌握正弦定 理、余弦定 理，并能解 决一些简单 的三角形度 量问题.
2014年高考 预测
考点
高考真题例举
2012
2011
2010
利用正弦定理 解三角形
湖南卷，7
∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.
∴S△ABC＝12acsin
B＝34
3 .
课前自主回顾 第17页，共48页。
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(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变 形是迅速解答本题的关键．
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、 方程思想在解题过程中的运用．
提示：充要条件．
因为 sin A>sin B⇔2aR>2bR⇔a>b⇔A>B. 问题探究 2：如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角 A 为例) 提示：∵cos A 与 b2＋c2－a2 同号， ∴当 b2＋c2－a2>0 时，角 A 为锐角； 当 b2＋c2－a2＝0 时，三角形为直角三角形； 当 b2＋c2－a2<0 时，三角形为钝角三角形．
cos B＝ 2ca ；
③a∶b∶c ＝ sinA∶sinB∶sinC
； cos
C＝
a2＋b2－c2 2ab
.
④ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A
课前自第4页主，共回48页顾。
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问题探究 1：在△ABC 中，sin A>sin B 是 A>B 的什么条件？
＝a2＋4a2－4a2×14，
解得 a＝1，从而 c＝2.
又因为 cos B＝14，且 0<B<π，所以 sin B＝
15 4.
因此 S＝12acsin B＝12×1×2×
415＝
15 4.
课前自主回顾 第25页，共48页。
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正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题 目合理选用，有时还需要交替使用．在解决三角形问题中，面 积公式 S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B 最常用，因为公式中既 有边也有角，和正弦定理、余弦定理联系密切．
整理得：a2＋c2－b2＝－ac. ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝－2aacc＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课前自主回顾 第16页，共48页。
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(2)将 b＝ 13，a＋c＝4，
B＝23π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
由于 sin C≠0，所以 sin A－π6＝12.
又 0<A<πபைடு நூலகம்故 A＝π3.
(2)△ABC 的面积 S＝12bcsin A＝ 3，故 bc＝4.
而 a2＝b2＋c2－2bccos A，故 b2＋c2＝8.解得 b＝c＝2.
课前自主回顾 第10页，共48页。
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福建卷， 14
山东卷， 15
利用余弦定理 解三角形
天津卷，6
陕西卷， 18
新课标 全国卷， 16
正、余弦定理 新课标
江西卷， 浙江卷，
的综合应用
全国卷，17 17
18
1.考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.
课前自第2页主，共回48页顾。
【解】 (1)由正弦定理，设sina A＝sinb B＝sinc C＝k，
则2c－b a＝2ksinkCsi－n Bksin
A＝2sin
C－sin sin B
A，
所以cos
A－2cos cos B
C＝2sin
C－sin sin B
A，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
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已知三边解三角形或已知两边及其夹角解三角形常考虑应 用余弦定理求解．
应用余弦定理时常用整体思想进行代换．
课前自主回顾 第13页，共48页。
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在△ABC
中，a、b、c
分别是角