2020-2021学年山东省枣庄市现代实验学校高一数学理月考试题含解析

2020-2021学年山东省枣庄市现代实验学校高一数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是（）
（A）任何事件的概率总是在（0，1）之间
（B）频率是客观存在的，与试验次数无关
（C）随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
（D）概率是随机的，在试验前不能确定
参考答案：
C
利用频率与概率的含义及两者的关系进行判断.概率是频率的稳定值，是常数，不会随试验次数的变化而变化.
2. 数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：
a2+b+1.例如把（3，－2）放入其中，就会得到32+(–2)+1=8.现将实数对(–2，3)放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是( )
A. 8
B. 55
C. 66
D. 无法确定
参考答案：
B
3. 已知，则最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
由得,可得且，分类讨论，分别将原不等式去掉绝对值符号，利用基本不等式求其最小值，综合两种情况可得结果. 【详解】由得,
计算得出且.
①当时，
,
当且仅当,即时取等号,此时的最小值.
②当时,,
，
，
当且仅当,
即,即,
计算得出或时(舍)取等号,此时最小值为,
综上，最小值为,故选C.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
4. 已知函数f(x)＝，若f＝4a，则实数a＝( )
A．4 B． C．2 D．3
参考答案：
C
略
5. 若，则的取值范围是（）
A B C D
参考答案：
C
6. 若函数是实数集上的减函数，则实数的取值范围是（）
参考答案：
C
略
7. 如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为（）
A． 2B． 3C． 2D． 3
参考答案：
C
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】观察图形知：， =，，由此能求出．
【解答】解：观察图形知：， =，，∴=（）+（）+（）
=．
故选C．
8. 已知函数f（x）=x2﹣kx﹣1在[5，+∞）上单调递增，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，10）B．（﹣∞，10] C．[10，+∞）D．（10，+∞）
参考答案：
B
【考点】集合的含义；二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质建立不等式关系即可．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣kx﹣1在[5，+∞）上为增函数，
∴对称轴x=﹣=≤5，解得k≤10，
即k的取值范围是{k|k≤10}，
故选：B．
9. 已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点()
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形
C．成直角三角形 D．在一条直线上
参考答案：
D
10. 集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1≤x＜3}，那么A∪B=（）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|2＜x＜3}
参考答案：
A
【考点】并集及其运算． 【专题】计算题；数形结合．
【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集． 【解答】解：把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示， 则A∪B={x|﹣2＜x ＜3} 故选A
【点评】此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ①已知，且，则。

②已知是第二象限角，
，则。

参考答案：
① ②
略
12. 函数f （θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M （cosθ0，sinθ0）关于坐标原点对称的点坐标是 ．
参考答案：
（
，
）
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由辅助角公式可得f （θ）=13sin （θ+φ），其中sinφ=，cosφ=
，由三角函数的最
值和诱导公式以及对称性可得．
【解答】解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（
cosθ+
sinθ）
=13sin （θ+φ），其中sinφ=，cosφ=
，
∴当θ+φ=
时，函数f （θ）取最小值﹣13，
此时θ=θ0=
﹣φ，故cosθ0=cos （
﹣φ）=﹣sinφ=﹣
，
sinθ0=sin （
﹣φ）=﹣cosφ=﹣
，即M （﹣，﹣
），
由对称性可得所求点的坐标为（
，
），
故答案为：（
，
）．
【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及辅助角公式和诱导公式，属中档题． 13. 已知
在
上是奇函数,且满足
,当
时,
,则
___________.
参考答案：
14. 已知
在R 上是奇函数，且，当时，
则
＝_______.
参考答案： -3 略
15. 已知向量
，且
，则x 的值为______
参考答案：
-7 【分析】
，利用列方程求解即可.
【详解】
，且，
，解得：
.
【点睛】考查向量加法、数量积的坐标运算.
16. 已知A（1，2）和B（3，2），若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，则x=_____;
参考答案：
－1
【分析】
首先求出向量，再由向量相等的定义可得关于的方程组，解方程即可。

【详解】，，
，
又向量与相等，
，解得：
【点睛】本题主要考查向量的表示以及向量相等的定义，属于基础题型。

17. 化简：lg4+lg25= ．
参考答案：
2
【考点】对数的运算性质．
【分析】由对数的运算法则把lg4+lg25等价转化为lg（4×25），再由对数的性质能够求出结果．【解答】解：lg4+lg25
=lg（4×25）
=lg100
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数的运算法则和对数的性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列{a n}，{b n}满足，数列{b n}前n项和为T n.
（1）若数列{a n}是首项为正数，公比为的等比数列.
①求证：数列{b n}为等比数列；②若对任意恒成立，求q的值；
（2）已知{a n}为递增数列，即.若对任意，数列{a n}中都存在一项使得，求证：数列{a n}为等差数列.
参考答案：
解：（1）①数列是公比为的等比数列及得，
为定值，所以数列为等比数列；
②对任意恒成立，
而，所以.
因为若，，则当时，
矛盾.
（2）因为数列中都存在一项使得即，而为递增数列，则，所以
，即，
所以数列为等差数列.
19. （14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得
成立．（1）函数是否属于集合？说明理由；
（2）若函数属于集合，试求实数和满足的约束条件；
（3）设函数属于集合，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）．
（2），．
（3）．
（1），若，则存在非零实数，使得
，即，
因为此方程无实数解，所以函数．
（2），由，存在实数，使得
，解得，
所以，实数和的取得范围是，．
（3）由题意，，．由得
存在实数，，
即，又＞，
化简得，
当时，，符合题意．……（10分）
当且时，由△得，化简得
，解得．
综上，实数的取值范围是．
20. （8分）已知集合A是函数f（x）=log（x﹣1）的定义域，集合B是函数g（x）=2x，x∈[﹣1，2]的值域，求集合A，B，A∪B．参考答案：
考点：函数的值域；并集及其运算；函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用；集合．
分析：首先根据对数函数的真数大于0求出函数的定义域，进一步利用指数函数的单调性求出函数的值域，最后利用集合的交并补运算求出结果．
解答：因为，所以x﹣1＞0，
解得：x＞1
即A=（1，+∞）
函数g（x）=2x，在x∈R是单调递增函数．
由于x∈[﹣1，2]
所以：函数g（x）的值域为：．
即：
所以：
点评：本题考查的知识要点：对数函数的定义域，指数函数的单调性的应用，集合的交并补运算．属于基础题型．
21. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；
（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=．
【解答】（Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，
∴MN∥BC，
又 ABCD是正方形，∵AD∥BC，
∴MN∥AD．
∵MN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，
∴∠PAD=45°．
∴PD=AD=2，
故四棱锥P﹣ABCD的体积V==．
22. （本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式：；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）当时
得，所以不等式的解集为．--------6分
（Ⅱ）的解集为
∴ ------------------- 10分
∴．------------------- 12分。