2021年初中数学 六年级同步第6讲：分数的约分、通分和大小比较 -教师版

分数的约分、通分和大小比较
内容分析
本讲主要讲解利用分数的基本性质对分数进行约分和通分．本讲的重点在于通过约分化简分数并理解最简分数的概念，利用通分的方法将异分母的分数化为同分母的分数，从而进行大小比较，为分数加减法的学习做好准备．而分数的大小比较并不仅仅可以通过通分的方式进行，还有一些其他的方法和技巧，这也是本讲的难点所在．
知识结构
模块一：分数的约分
知识精讲
1、约分
把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．
2、最简分数
分子和分母互素的分数，叫做最简分数．
将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断的约分，直到分子、分母互素为止．
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【例1】 指出以下分数中，哪些是最简分数，把不是最简分数的分数化为最简分数：
56，410，1213，2133，2334，2191，5012，8118． 【难度】★
【答案】56，1213，2334是最简分数，422172135025819
10533119113126182=====，，，，．
【解析】分子、分母互素的分数是最简分数，故
56，1213，23
34
是最简分数； 非最简分数通过分子、分母同时约去最大公因数的方法约分． 【总结】本题考查了最简分数的概念及约分．
【例2】 将分数1624、105
180
约分，并化为最简分数． 【难度】★ 【答案】12
732，． 【解析】
16
24的分子分母同时除以它们的最大公因数是8，得：3
2；
105
180的分子分母同时除以它们的最大公因数是15，得：12
7． 【总结】本题考查了分数的约分．
【例3】 把以下分数化为最简分数： 3645，2255，2035，4270，3952，1995，2736．
【难度】★
【答案】4243313
5575454
，，，，，，．
【解析】非最简分数可以通过分子、分母同时约去最大公因数的方法约分，故答案是
4243313
5575454，，，，，，．
【总结】本题考查了约分．
例题解析
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【例4】 若
15
28
a b ，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a = 15，b = 28
B ．a = 28，b = 15
C ．a =15
28，b = 1
D ．无法确定
【难度】★★ 【答案】D 【解析】本题中
b
a 不一定是最简分数，所以可能是1528，也可能是通过约分化为15
28，
故无法确定，选择D ．
【总结】本题考查了对分数约分概念的理解．
【例5】 下列说法中，不正确的个数为（ ）
○
1分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数； ○
2分子和分母都是素数的分数，一定是最简分数； ○
3最简分数一定比1小； ○
4约分后的分数比原来的分数小； ○
5分子和分母除了1以外没有其他的公因数，这个分数是最简分数． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
【难度】★★ 【答案】B
【解析】○
1错误，反例915
；○
2正确，分子与分母互素的分数，是最简分数，两个素数 一定互素；○
3错误，反例92
；○4错误，约分不改变分数大小，故约分后的分数 与原来的分数相等；○
5正确，原因同○2；故选择B ． 【总结】本题考查了最简分数的概念．
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【例6】 一个分数，它的分母是72，化成最简分数是
3
4
，这个分数原来是______； 一个分数，它的分子是45，化成最简分数是
5
6
，这个分数原来是______． 【难度】★★
【答案】5472； 45
54
．
【解析】约分不改变分数的大小，故将
34的分子分母同时乘以18得到5472
； 将56的分子、分母同时乘以9得到45
54
． 【总结】本题考查了对约分概念的理解．
【例7】 一个分数，它的分子与分母的最大公因数是17，化成最简分数是2
3
，这个分数原 来是______．
【难度】★★
【答案】34
51
．
【解析】约分不改变分数的大小，故将
23的分子分母同时乘以17得到3451
． 【总结】本题考查了对约分概念的理解．
【例8】 用最简分数表示下列单位换算的结果： （1）36分钟是1小时的______；
（2）320克是1千克的______． 【难度】★★
【答案】35； 8
25
．
【解析】单位换算一定记得单位要统一！
（1）都化为分钟即：363605=； （2）都化为克即：3208
100025=
． 【总结】本题考查了单位换算及约分．
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人数 厘米
135 145 155 165
6
9 12 【例9】 一学校五月份用水150吨，比四月份节约了30吨，则五月份用水是四月份的
______（几分之几）． 【难度】★★
【答案】5
6
．
【解析】由已知得：四月份用水150+30=180（吨），故1505
1806
=． 【总结】本题考查了占比问题及约分．
【例10】 （1）把5克糖溶解在水中形成40克糖水，那么糖占糖水的几分之几？水占糖水
的几分之几？
（2）把5克糖溶解在40克水中形成糖水，那么糖占糖水的几分之几？水占糖水的几分之几？ 【难度】★★
【答案】（1）18；78； （2）19；89
．
【解析】在糖水中，糖是溶质，水是溶剂，糖水是溶液（糖和水的总和），所以算占比
时要分清楚用谁除以谁．故（1）5克糖，40克糖水，35克水；答案是18；7
8；
（2）5克糖，40克水，45克糖水，故答案是19；8
9
．
【总结】本题考查了溶液及占比问题；
【例11】 六年级（3）班全体男生的身高统计图如图所示．仔细观察后，回答下列问题：
（1）身高在135厘米~145厘米之间的男生人数是全体男生人数的几分之几？ （2）身高在155厘米~165厘米之间的男生人数是全体男生人数的几分之几？
【难度】★★
【答案】12
1(2)39
（）；．
【解析】 （1）
991
9126273
==++；
（2）662
9126279
==++．
【总结】本题考查了占比问题及识图能力．
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【例12】 某文具商店某天销售三种品牌的黑色水笔的价格和这一天的销售量如下表：
品牌 A B C 售价（元/支） 1 2 6 销售量（支）
10
20
5
B 中品牌的销售量占全天销售量的几分之几？
C 中品牌的销售额占全天销售额的几分之几？ 【难度】★★
【答案】47；3
8．
【解析】
2020410205357==++；56303
11022065808
⨯==⨯+⨯+⨯．
【总结】本题考查了占比问题及识图能力．
1、 公分母
两个异分母的分数
b a 、d
c
（a 、c 为常数，且a c ≠、0a ≠、0c ≠）要化成同分母的分数，分母必须是a 和c 的公倍数，这个分母叫做公分母．
其中a 和c 的最小公倍数，称为最小公分母． 2、 通分
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．
模块二：分数的通分
知识精讲
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【例13】 写出三个
23和3
4
的公分母______、______和______； 23和3
4的最小公分母是______． 【难度】★
【答案】12，24，36等； 12．
【解析】两个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；
所以23和3
4的公分母有无数个，写出三个即可，最小公分母是12．
【总结】本题考查了公分母的概念．
【例14】 将下列各组分数通分： （1）35和23； （2）57和710；
（3）
724和9
16
． 【难度】★
【答案】（1）9101515和； （2）50497070和； （3）14274848和． 【解析】（1）35和23的最小公分母是15，故通分后是：9101515
和；
（2）57和710的最小公分母是70，故通分后是：50497070和；
（3）724和916的最小公分母是48，故通分后是：1427
4848和．
【总结】本题考查了对异分母分数通分的理解．
【例15】 写出三个
34、25和1
6
的公分母______、______和______； 34、25和1
6的最简公分母是______． 【难度】★★
【答案】60，120，180等； 60；
【解析】几个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；
所以34、25和1
6的公分母有无数个，写出三个即可，最小公分母是60．
【总结】本题考查了公分母和最简公分母的概念．
例题解析
【例16】将下列各组分数通分：
（1）2
3
，
3
4
，
7
12
；（2）
1
4
，
3
5
，
5
12
；（3）
5
8
，
23
25
，
9
10
．
【难度】★★
【答案】（1）
897
121212
，，；（2）
153625
606060
，，；（3）
125184180
200200200
，，．
【解析】（1）2
3
，
3
4
，
7
12
的最小公分母是12，故通分后是：
897
121212
，，；
（2）1
4
，
3
5
，
5
12
的最小公分母是60，故通分后是：
153625
606060
，，；
（3）5
8
，
23
25
，
9
10
的最小公分母是200，故通分后是：
125184180
200200200
，，．
【例17】对于两个异分母的分数b
a
和
d
c
（a、c为常数，且a c
≠、0
a≠、0
c≠），
下说法正确的是（）
A．b
a
和
d
c
的最小公分母为ac
B．b
a
和
d
c
的公分母为ac
C．b
a
和
d
c
的公分母只有一个
D．b
a
和
d
c
的最小公分母只有一个
【难度】★★
【答案】D
【解析】两个分数的公分母不止一个，故B、C错，两个分数的最小公分母是它们分母的最小公倍数，只有一个，当a、c互素时，是ac；故A错误，D正确．
【总结】本题考查了分数的通分．
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1、 分母相同而分子不同的分数
分母相同的分数，分子大的分数较大． 2、 分子相同而分母不同的分数
分子相同的分数，分母小的分数较大． 3、 分母不同且分子也不同的分数
（1）利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小； （2）应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小．
【例18】 比较下列分数的大小：
79____89； 67____57； 135____1312； 56____57． 【难度】★
【答案】<，>，>，>．
【解析】分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大．
故答案是：79__<__89； 67__>__57； 135__>__1312； 56__>__5
7．
【总结】本题考查了分数比较大小．
【例19】 已知
7
1616
m >，试写出一个符合条件的整数m ，则m 可以是______； 已知
99
17n
>，试写出一个符合条件的整数n ，则n 可以是______． 【难度】★
【答案】8（比7大即可，不唯一）； 18（比17大即可，不唯一）． 【解析】分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大． 故答案是：8（比7大即可，不唯一）； 18（比17大即可，不唯一）． 【总结】本题考查了分数比较大小．
模块三：分数的大小比较
知识精讲
例题解析
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【例20】 把下列每组中的分数通分，并比较大小：
（1）514，716； （2）617，1651
；
（3）
34，420，5
8
； （4）
712，1318，19
24
． 【难度】★ 【答案】（1）54074957
14112161121416
==∴<，，； （2）61861617511751
=∴>，； （3）3304852545344020408402084===∴<<，，，； （4）
7421352195771319
127218722472121824
===∴<<
，，，． 【解析】略
【总结】本题考查了异分母分数比较大小．
【例21】 数轴上表示67的点在表示7
8
的点的______边（选填“左”或“右”）． 【难度】★ 【答案】左．
【解析】方法一：从分数定义看，67是分成七份，取六份，7
8
是分成八份，取七份， 所以
67
78
<，故数轴上表示67的点在表示78的点的左边；
方法二：通分648749756856==
，，所以67
78
<，故数轴上表示67的点在表示78的 点的左边．
【总结】本题考查了分数比较大小，其中定义法可以简化运算．
【例22】 写出所有分母为16且比3
4
小的最简分数． 【难度】★★
【答案】1357911
161616161616，，，，，．
【解析】通分，
312
416
=，所以符合提议的分数分子<12，且为最简分数，分子与16互 素，不能是偶数，所以答案是：
1357911161616161616
，，，，，． 【总结】本题考查了通分、分数比较大小及最简分数的概念．
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【例23】 比较分数
4123和5
213
的大小． 【难度】★★
【答案】45
123213>
． 【解析】方法一：通分，4123和5213
的最小公分母是341718733⨯⨯=， 得：
447128412387338733⨯==，554120421387338733⨯==，故：45
123213
>
； 方法二：把4123和5
213
转化为同分子的分数， 得：
420205202012312356152132134852====⨯⨯，，故：45
123213
>
． 【总结】本题两个分数分母较大，分子较小，利用通分比较大小数值过大，可以直接把 它们转化为同分子的分数比较比较简便；或者通分时不用计算出通分后的分母， 直接比较分子比较简便．
【例24】 （1）写出一个大于15且小于1
3
的分数；
（2）满足上述条件的分数只有一个吗？如果不止一个，请再写出两个满足条件的分数． 【难度】★★ 【答案】
4
1（答案不唯一），1011121314
4545454545，，，，等；（答案不唯一）
【解析】3和5的公倍数有：15，30，45，60…… 19115545345==，，大于15且小于13的分数有1011121314
4545454545，，，，等，同样的，
分母是15，30，60且满足条件的数也有很多，故这样的分数不止一个． 【总结】本题考查了分数的性质和分数比较大小．
【例25】 填空：()7724918
<<． 【难度】★★ 【答案】3．
【解析】方法一：通分得：72172824721872==
，，故在77
2418
和之间的分数有： 222324252627727272727272，，，，，，
化简得：11233251333672972368
，，，，，，故答案是3；
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方法二：由观察可得，分子都是7，故在77
2418
和之间的分数有
777771920212223，，，，，
化简得：77177192032223，，，，，且13
39
=，故答案是3． 【总结】本题考查了通分和分数的比较大小．
【例26】 在分数512、1219、1023、47、15
22
中，最大的分数是______． 【难度】★★ 【答案】
1522
． 【解析】比较一下，分子更容易转化，故转化分子后可得：60606060601449513810588
，，，，； 故最大的分数是
1522
． 【总结】本题考查了分数的大小比较．
【例27】 甲、乙两人加工同一批零件，甲9小时加工15个零件，乙12小时加工20个零件，
甲、乙两人谁的工作效率高？为什么？ 【难度】★★ 【答案】一样高． 【解析】甲的工作效率是：15593
=，乙的工作效率是：205
123=；
所以：
1520
912
=
，两人的工作效率一样高． 【总结】本题考查了分数大小比较的应用．
【例28】 若将分数15，3080和12
x 的分子都化为3后，得到的结果是：130
51280x <<，求x 的
取值． 【难度】★★★ 【答案】3或4．
13 /
21
【解析】将130580和分子都化为3后得：33158，；故在130
580
和之间的分数有：
33333314131211109，，，，，；化简得：3313311413411103，，，，，；且1314
412312
==，；
所以x 是3或4．
【总结】本题考查了分数的通分和大小比较．
【例29】 我们可以用下面的方法比较两个分数的大小（对角相乘法）：分别用每一个分数
的分子去乘另一个分数的分母，哪个分子乘得的积大，这个分数就大．比如：比较
2
13
和35的大小．因为25313⨯<⨯，所以23135<．用这种方法比较两个分数的大小：322____
433，348____5
49
． 【难度】★★★ 【答案】>，<．
【解析】（1）因为343334222233⨯>⨯>，所以
；
（2）因为35
3495484849
⨯<⨯<，所以． 【总结】本题是新定义题目，定义了对角相乘法，可以应用在分母较大分子较小的分数
比较大小中．
【例30】 观察下图：
思考并回答下列问题：
（1）把分数12、23、34、4
5按由小到大的顺序排列_______________________；
（2）比较大小：
20152016____2017
2018
； （3）如果一个分数
a
b
（a b <，且a 、b 为正整数）的分子和分母都加上1，所得的分数一定比原来的分数________（填“大”或“小”）；
（4）请你猜想，如果一个分数a
b
（a b
<，且a、b 为正整数）的分子和分母都加上相
同的自然数，所得的分数（）
A．一定比原来的分数大
B．一定比原来的分数小
C．一定与原来的分数相等
D．可能比原来的分数大，也有可能与原来的分数相等【难度】★★★
【答案】（1）1234
2345
<<<；（2）<；（3）大；（4）D．
【解析】（1）从图形进行分析：1
2
表示分两份，取一份；
2 3表示分三份，取两份；
3
4
表示分四份，取三份；
4 5表示分五份，取四份；故：
1234
2345
<<<；
（2）、（3）同理可得；
（4）自然数包括0和正整数，如果分子、分母同时加上不为零的数，则分数一定比原来的分数大，如果分子、分母同时加上零，则分数的大小不变；
【总结】本题考查了定义法比较分数大小，规律很常用，需要同学们记得．
【习题1】写出在1
9
和
8
9
之间且分母为9的所有最简分数_____________________．
【难度】★
【答案】2457 9999，，，．
【解析】略
【总结】本题考查了分母相同分数的大小比较和最简分数的概念．随堂检测
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【习题2】 以下说法正确的是（ ）
A ．分子、分母都是偶数的分数不一定是最简分数
B ．分母、分子中有一个是素数的分数一定是最简分数
C ．分子、分母只有1是公因数的分数一定是最简分数
D ．自然数都能写成最简分数 【难度】★★ 【答案】C
【解析】A ．分子、分母都是偶数的分数一定不是最简分数； B ．反例：6
3
； C ．是定义，故正确； D ．0不能写成最简分数； 【总结】本题主要考查最简分数的概念．
【习题3】 把下列结果用最简分数表示：
（1）24分钟是1.2小时的几分之几？ （2）750毫升是1升的几分之几？ （3）800克是1千克的几分之几？ （4）10小时是一昼夜的几分之几？ 【难度】★★
【答案】1345
34512
，，，．
【解析】（1）1．2小时=72分钟，241723=； （2）1升=1000毫升，7503
10004
=； （3）1千克=1000克，
800410005=； （4）1昼夜=24小时，105
2412
=
． 【总结】本题考查了占比和约分，注意单位一定要统一；
【习题4】 100克清水中加入15克糖，那么糖是糖水的______（几分之几）． 【难度】★★
【答案】3
23．
【解析】
153
1001523
=
+． 【总结】本题考查了溶液的概念和占比的算法．
【习题5】图书馆的存书情况如下：社会科学类占
1
12
，自然科学类占
1
8
，文学艺术类占
1
3
，
其他占11 24
．
（1）把这些分数按从小到大排列；
（2）哪一类书最少？
【难度】★★
【答案】（1）
11111
128324
<<<；（2）社会科学类最少．
【解析】通分得：
121318
1224824324
===
，，，故
11111
128324
<<<；社会科学类最少．
【总结】本题考查了分数的大小比较．
【习题6】在
9
13
、
36
48
、
45
50
、
45
70
中，最小的一个分数是______．
【难度】★★
【答案】45 70
．
【解析】通过观察：分子都是9的倍数，且能约分，故化简的：
9999 13121014
，，，；
故最小的分数是：45
70
．
【总结】本题考查了分数的转化和分数大小的比较；
【习题7】已知34
55
x
<<，则x可以是______，x的取值可以有______个．
【难度】★★
【答案】（1）
7
10
等（答案不唯一）；（2）无数个．
【解析】通分成分母是10的分数为3648
510510
==
，，则x可以是
7
10
；还可以通分成分
母是15，20，25……的分数，故答案有无数个，不唯一．【总结】本题考查了分数的通分和比较大小．
16/ 21
17 / 21
12
7
2 人数 分类 钢琴 绘画 吉他 【习题8】 写出所有介于34和10
11
之间的分母为44的最简分数． 【难度】★★
【答案】353739
444444，，．
【解析】通分得：
33310404441144==，，
故满足条件的最简分数有：353739
444444
，，． 【总结】本题考查了分数的转化和最简分数的概念．
【习题9】 六年级（1）班共有49名同学，其中参加艺术兴趣小组的人数如图所示：
（1）参加绘画兴趣小组的人数占全班人数的几分之几？
（2）如果将参加钢琴兴趣小组和吉他兴趣小组的同学看作是爱好音乐的，那么爱好音乐的同学人数占全班人数的几分之几？
（3【难度】★★★ 【答案】（1）17； （2）27
； （3）2
3．
【解析】（1）71
497
=；
（2）1222
497
+=；
（3）122142
1272213+==++．
【总结】本题考了识图能力和占比的算法，审题很关键．
【习题10】 a 、b 表示不大于20的自然数，如果21
12
b a =
，求a 和b 所表示的数． 【难度】★★★
【答案】631212a b a b ====，或，．
【解析】
3211212⨯=，（1）分子、分母同时乘以3得：36
3，所以3,6==b a ； （2）分子、分母同时乘以34⨯得：14412
，所以12,12==b a ；
（3）分子、分母同时乘以39⨯得：324
27
，所以)(18,27舍==b a ．
【总结】本题考查了分数的转化．
【作业1】分母分别是27、60和72的最简分数，它们的最小公分母是（）A．180 B．108 C．1080 D．18
【难度】★
【答案】C
【解析】27、60和72的最小公倍数是1080，故选C．
【总结】本题考查了最小公分母的求法．
【作业2】与分数36
48
大小相等，且分母小于48的分数有____个
【难度】★★【答案】11．
【解析】363
484
=，与
4
3
相等且分母小于48的分数有：
363033
484044
，，，，，
共11个．
【总结】本题考查了分数的转化．
【作业3】写出一个大于1
4
且小于
1
3
的分数：______．
【难度】★★
【答案】7
24
（答案不唯一）．
【解析】将两个分数转化为分母是24的分数，16
424
=，
18
324
=，则
7
24
满足题意；
也可以将两个分数转化为分母是36，48，60…的分数，答案不唯一．【总结】本题考查了分数的转化．
课后作业
18/ 21
19 / 21
【作业4】 在空格中填入适当的分数，完成对话：
小智说：“如果分数的分子和分母中一个是奇数，另一个是偶数，那么这个分数一定是最简分数！”
小方说：“你说得不对，比如，_________和________就不是最简分数”． 【难度】★★
【答案】615，9
12
（答案不唯一）．
【解析】最简分数的定义是：分子和分母互素的分数，叫做最简分数．奇数和偶数互素
的情况有很多，所以小智的说法是不对的，反例有：615，912，10
15等．
【总结】本题考查了最简分数的概念．
【作业5】 猴年的春节，小李收到的压岁钱一共600元，他计划今年去两次欢乐谷花费 360
元，而剩下的钱准备全部用来购买文具和书籍，那么她将用压岁钱的______购买文具和书籍（填几分之几）． 【难度】★★ 【答案】5
2
． 【解析】
6003602
6005
-=． 【总结】本题考查了占比和约分．
【作业6】 四个分数1017、1219、1523、20
33
哪个分数最大？哪个分数最小？ 【难度】★★ 【答案】
2315最大，17
10最小． 【解析】比较一下，分子更容易转化，故转化分子后可得：60606060
102959299
，，，； 故
2315最大，17
10最小． 【总结】本题考查了分数的大小比较．
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【作业7】 完成相同的数学作业，小明用了
47小时，小智用了45分钟，小方用了5
12
小时， 他们三人做作业的速度谁最快？谁最慢？ 【难度】★★
【答案】小方最快，小智最慢． 【解析】45分钟=4
3小时；通分得：448363535
7844841284===，，；
因为
354863
848484
<<
，故：小方最快，小智最慢． 【总结】本题考查了分数的大小比较．
【作业8】 a
b 是最简分数，且210a <<，819b <<．写出满足条件的最大和最小的分数．
【难度】★★ 【答案】最大分数：
109，最小分数：17
3． 【解析】最大分数的取法：分子取最大，分母取最小，得到：，9
9
不是最简，
退而求其次：10
998，，比较大小的；最大分数：10
9
； 最小分数的取法：分子取最小，分母取最大，得到：，18
3
不是最简，
退而求其次：184173，，比较大小的；最小分数：17
3
．
【总结】本题考查了最简分数的概念和分数的大小比较．
【作业9】 （1）运用通分的方法，比较
12、23、34、4
5
的大小，用“<”连接； （2）从上面的结果中，你发现什么规律？
（3）根据所发现的规律比较下面分数的大小，用“<”连接：67，1718，3233，23
24
． 【难度】★★★
【答案】（1）130240345448260360460560====；；；； 1234
2345∴<<<．
（2）当分母和分子的差值一定时，分子大的分数比较大； （3）67<1718<2324<3233
．
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【解析】（1）从图形进行分析：
表示分两份，取一份；2
1 表示分三份，取两份；32表示分四份，取三份；4
3 表示分五份，取四份；54故：12342345<<<； （2）当分母和分子的差值一定时，分子大的分数比较大；
（3）67<1718<2324<3233
． 【总结】本题总结了分母和分子的差值一定的几个分数的大小比较，方法比较常用，需 要同学们掌握．
【作业10】 小智家今年上半年用电的情况如下表所示：
月份
1 2 3 4 5 6 用电量（千瓦时） 217 205 1365 76 81 95
（1）用电最多的月份的用电量占第一季度用电量的几分之几？
（2）第二季度的用电量占上半年的用电总量的几分之几？
【难度】★★★
【答案】（1）7141845
，． 【解析】（1）
217217721720513655818==++； （2）7681952521421720513676819581045
++==+++++． 【总结】本题考查了占比问题和约分．。