湖南省岳阳县第一中学2018届高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

湖南省岳阳县一中2018届高三上学期第一次摸底考试
数学（文科）
分 值： 150分 时 量：120分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的)
1.已知集合{|3}A x N x =∈≤，{
}
2
6160B x x x =+-<，则A B ⋂=（ ） A. {}
82x x -<<
B. {}1
C. {}01，
D. {}01
2，， 【答案】C 【解析】
集合{}{}{}
{}2
|30,1,2,3,|6160|82,A x N x B x x x x x =∈≤==+-<=-<<
{}0,1A B =，故选C.
2.已知命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞lgx ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，则（ ） A. 命题p ∨q 是假命题 B. 命题p ∧q 是真命题 C. 命题p ∧（￢q ）是真命题 D. 命题p ∨（￢q ）是假命题 【答案】C 【解析】
试题分析：先判断出命题p 与q 的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论． 解：由于x=10时，x ﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p 为真命题，
令x=0，则x 2
=0，故命题q 为假命题，
依据复合命题真假性的判断法则，
得到命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，￢q 是真命题， 进而得到命题p ∧（￢q ）是真命题，命题p ∨（￢q ）是真命题．
故答案为C ．
考点：全称命题；复合命题的真假．
3.已知31
sin cos x x -+=
，()0x ，π∈，则tan x =（ ）
A. 3-
B.
33
C.
3 D. 3
【答案】D 【解析】
由题可知31sin cos ,2x x +=
()0,,x π∈则()243sin cos 4
x x -+=，因为22
sin cos 1,x x +=所以32s i n
c o s x x =，因为2222sin cos 2tan 3
sin cos tan 1x x x x x x ==++，可得tan 3x =D .
4.设向量()213x =-m ，，向量()11=-n ，
，若⊥m n ，则实数x 的值为（ ） A. 1- B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】
向量()21,3m x =-，向量()1,1,n =-，且,m n ⊥，2130m n x ∴⋅=--=，解得2x =，故选C .
5.（2013•浙江）已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈R ），则“f （x ）是奇函数”是“φ=”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
试题分析：依题意，若()f x 是奇函数，则()0cos 0f A ϕ==，得2,2
k k Z π
ϕπ=
+∈，反之，若2
ϕπ
=
，则()cos()cos()sin 2
f x A x A x A x π
ωϕωω=+=+
=-，由()(
)f x f x -=-，得函数()f x 为奇函数，故“()f x 是奇函数”是“2
ϕπ
=
”的必要不充分条件，故选B.
考点：1、充分条件与必要条件；2、三角函数性质.
6.若2log 0.5a =， 0.52b =, 205c =.，则a ， b ， c 三个数的大小关系是( )
A. a b c <<
B. b c a <<
C. 3(1)
()21
(12)3(2)
x f x x x x ≤-⎧⎪
=-+-<<⎨⎪->⎩
D. 12x -<< 【答案】C 【解析】
由对数函数及指数函数的性质可得，0.5
22log 0.50,21,00.51a b c ==<=<，所以a c b <<，故选C .
7.函数的单调递增区间为( ) A. (0，＋∞) B. (－∞，0)
C. (2，＋∞)
D. (－∞，－2)
【答案】D 【解析】
由240x ->得2x <-或2x >，∴已知函数的定义域为()(),22,-∞-⋃+∞，令24u x =-，则
1
2
l o g
y =u 在()
0,∞+上是减函数，又
24u x =-的对称轴为0x =，且 开口向上，24u x ∴=-在(),2-∞-上
是减函数，由复合函数的单调性，知()f x 在(),2-∞-上是增函数，故选D .
方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.
8.在湖心孤岛岸边，有一a 米高的观测塔AB ，观测员在塔顶A 望湖面上两小船,C D ，测得它们的俯角分别为
3045，︒︒，小船C 在塔的正西方向，小船D 在塔的南偏东30︒的方向上，则两船之间的距离是（ ）米.
A. 2a
B.
43a +
C.
)
1a
D.
43a -
【答案】B 【解析】
观测员在塔顶3()3f x -≤≤望湖面上两小船1x ≤-，测得它们的俯角分别为30,45︒︒ ，所以，在直角三角形ABC 中，60ABC ︒∠=，33BC AB a == ，，在直角三角形ABC 中，45ABD ︒∠=，BD AB a == ，又因为小船C 在塔的正西方向，小船D 在塔的南偏东30︒的方向上，所以120CBD ︒∠= ，由余弦定理可得，
43CD a ==+ ，故选B.
9.不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是 ( ) A. [－5,7]
B. [－4,6]
C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)
D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)
【答案】D 【解析】
方法一：当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，∴x ≤－4. 当－3<x <5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不合题意，∴无解． 当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，∴x ≥6. 综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.
方法二：由绝对值几何意义知，在数轴上－3、5两点距离为8，|x －5|＋|x ＋3|表示到－3、5距离和，当点取－4或6时到－3、5距离和均为10，两点之外都大于10，故x ≤－4或x ≥6， 解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
10.曲线2sin cos 44y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为123,,,p p p ，
则24p p 等于 （ ） A. π B. 2π
C. 3π
D. 4π
【答案】A 【解析】
2sin cos 2sin sin 44424y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 22x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭1sin 2x =+，周
期为22
T π
π==，2P 与4P 间的距离为一个周期，故选A .
11.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若
直线与函数
的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是
A.
B.
或
C.
或
D.
或
【答案】D 【解析】
解：由题意可知，函数的偶函数，且周期为2，当a=0时，作图显然符合，当a 不为零时，，则直线与抛物线相切时，联立方程组，判别式为0，得到a=1/4.
12.如下图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，C A 两边分别交于M ，N 两点，且x AM =AB ，
C y AN =A ，则2x y +的最小值为 （ ）
A. 2
B.
1
3
C.
322
+ D.
34
【答案】C 【解析】
因为
三点共线，所以，因为是重心，所以
，，所以，化简得
，解得题目所给图像可知.由基本不等式得
，即.当且仅当，即
时，等号成立，故最小值为.
【易错点晴】本题主要考查向量几何运算及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要
正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

)
13.以直角坐标系的原点为极点，C 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为6
C π
=
，它与曲线sin cos b A a B =（sin sin sin cos B A A B =为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.
【解析】
直线的极坐标方程为()4R π
θρ=
∈，化为普通方程
y x =，曲线12cos 22sin x y α
α=+⎧⎨=+⎩
（α为参数），化为普通方程为：()()2
2
124x y -+-=，其圆心为()1,2，半径2r =，则圆心到直线的
距离为
d =
=
AB =2221
24142
r d -=-=14
14.已知(),1a x =，()2,1b =-，向量a 在b 5x =________. 【答案】3 【解析】
设向量,a b 的夹角为θ ，21·
21?cos ,?cos 55x a b x a b a b
θθ-=-====，解得3x = ，故答案为3 .
15.若关于x 的不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是________________.
【答案】
【解析】
试题分析：不等式2
121()x x a
a x R ---≥++∈的
解集为空集，转化为12x x ---的最大值小于23A B C m m m ==.由绝对值的几何意义可知12x x ---的最大值为211-=.
解得01a a ><-或
考点：绝对值不等式的几何意义，等价转化思想的应用.
16.已知函数()()2,1
252,37
a log x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨
--≤≤⎪⎩(01)a a >≠且的图象上关于直线1x =对称的点有且仅有一对，则实数a 的取值范围为_________.
【答案】57⎧⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭
【解析】 【分析】
由题意得，函数y ＝log a x 与y ＝2|x ﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，解得实数a 的
取值范围即可．
【详解】∵函数f （x ）＝log (2),1
252,37a x x x x -⎧⎨--≤≤⎩
…（a ＞0，a≠1）的图象上关于直线x ＝1对称的点有且仅有一对，
∴函数y ＝log a x ，与y ＝2|x ﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点， 当对数函数的图象过（5，﹣2）点时，由log a 5＝﹣2，解得a 5
； 当对数函数的图象过（3，2）点时，由log a 3＝2，解得a 3； 当对数函数的图象过（7，2）点时，由log a 7＝2，解得a 7． 375
【点睛】本题考查知识点是分段函数的应用，注意运用转化思想，转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合思想，属于中档题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为
，圆
的参数方程为
（其中为参数）.
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.
【答案】（1）； （2）
【解析】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题． （Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆M 的普通方程为：x 2+（y+2）2
=4，求出圆心M （0，-2）到直线x+y-1=0的距离，即可得到圆M 上的点到
直线的距离的最小值．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1分
----------------2分
所以，该直线的直角坐标方程为：----------------3分 （Ⅱ）圆
的普通方程为：
----------------4分
圆心到直线的距离---------------5分
所以，圆上的点到直线的距离的最小值为----------------7分
18.不等式选讲
已知函数()21f x x x =--+． （Ⅰ）求证：3()3f x -≤≤； （Ⅱ）解不等式2
()2f x x x ≥-. 【答案】（1）见解析（2）[]1,1- 【解析】
试题分析：（1）通过讨论x 的范围得到相对应的()f x 的表达式，可得各段函数的范围，从而证明出结论；（2）利用
分段函数解析式，分三种情况讨论，分别解出不等式，再求并集即可确定不等式的解集. 试题解析：
解：（1）()()
3121
(12)3(2)
x f x x x x ⎧≤-⎪
=-+-<<⎨⎪->⎩
，又当时，
，
∴ （2）当时，；
当时，
；
当时，
； 综合所述，不等式的解集为：
.
19.已知函数2()2sin cos 233=-+f x x x x （Ⅰ）若()3f a =α为锐角，求cos2α；
（Ⅱ）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()f x m =有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1
cos 22
α=- （Ⅱ）)
3,2m ⎡∈⎣ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式得()2sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，解简单的三角方程可得3
π
α=
，从而可得结果；（Ⅱ）结合0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，利用y m =,与()y f x =图象有两个交点可得结果 . 试题解析：：（Ⅰ）
由，即，得
又为锐角，所以
，∴
∴
，所以
（Ⅱ）因为，所以
∵方程有两个不相等的实数根∴y m =与()y f x =的图象有两个交点
∴)
m ∈
【方法点睛】判断方程根个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：方程根的个数就是函数零点个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .本题（Ⅱ）的解答就利用了方法③.
20.已知222{|230}{|290}p x A x x x x R q x B x x mx m x R m R ∈=≤∈∈=+≤∈∈：﹣﹣，，：﹣﹣，，．
（1）若[13]
A B ⋂=， ，求实数m 的
值； （2）若p 是q ⌝ 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4m = ;（2） 64m m ＞，或＜﹣ . 【解析】
试题分析：(1)根据一元二次不等式的解法，对,A B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合,A B ，再根据
[]1,3A B ⋂，求出实数m 的值；(2 )由（1）解出的集合,A B ，因为p 是q ⌝的充分条件,根据子集的定义和补集的定
义，列出不等式进行求解.
试题解析：（1）化简{|13}{|33}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+﹣
，﹣， 由[]
13
4A B m ⋂==，，得到：； （2）若p q ⌝是的充分条件,即R A C B ，⊆易得：64m m ＞，或＜﹣ ． 试题解析：
由已知得：{|13}{|33}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+﹣
，﹣． （1）[]13A B ⋂=，
∴ ∴
， 4m ∴= ；
（2）
p 是q ⌝ 的充分条件，R A C B ∴⊆ ，
而{|33}R C B x x m
x m ＜﹣，或＞=+ 3331m m ∴+﹣＞，或＜﹣ ，
64m m ∴＞，或＜﹣ ．
21.在中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且满足22223sin sin sin sin sin A B C A B C =+-. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若sin cos b A a B =，且22b =ABC ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）6C π=
；（Ⅱ）31S ∆
【解析】 试题分析：（1）由正余弦定理化简可得3sin C 222
cos 2a b B c C ab
+-=，从而可得角C 的大小：（2）由sin cos b A a B
=，根据正弦定理，可得三角形时等腰直角三角形，结合22b =可求出c ，进而可求出ABC ∆的面积.
试题解析：（Ⅰ）∵22223sin sin sin sin sin sin A B C A B C =+- 由正弦定理得22223sin ab C a b c =+-
两边同除以2ab 222
3sin 2a b c C ab
+-= 3sin cos C C = ∴ ∵是三角形的内角 ∴
（Ⅱ）∵
由正弦定理可得
∴ ∴4B π
= ∵ ∴ 解得
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
22.已知函数4()log (41),()x f x kx k R =++∈为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
12
(2) a 的取值范围为{a|a>1或a ＝－2－2} 【解析】 试题分析：(1)法一：根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；法二：根据为偶函数，得到(1)(1)f f -=即4
45log log 54k k -=+，从中求解即可得到12k =-，检验此时是否满足()()f x f x -=即
可；(2)首
先将方程化
简:()f x =1244log (41)log 4
x x =+-44log (41)log 2x x =+-；由4()l o g (2)x f x a a =⋅-得
4log (41)
x +4log 2x +，进而可得41(2)2*{20x x x x a a a a +=⋅-⋅⋅->，令，则*变为关于t 的方程2(1)10a t at -++=只有一个正实数根，先考虑1a =的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一
正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证20x a a ⋅->即可，最后根据各种情况讨论的结果写出a 的取值范围的并集即可.
(1)法一：因为为偶函数，所以 即4log (41)x kx ++，∴
∴
，∴12k =-6分 法二：因为为偶函数，所以(1)(1)f f -=即4
45log log 54k k -=+，解得12k =-
此时41()log (41)2x
f x x =+-，44411411()lo
g (41)log log (14)2422x x x x f x x x x x -+-=++=+=+-+ 41log (14)()2x x f x =+-=，所以12
a =-.
(2)依题意知:()f x =1244log (41)log 4x x =+-44log (41)log 2x x =+-
∴由4()log (2)x f x a a =⋅-得4log (41)x +4log 2x +
41(2)2{20x x x x a a a a +=⋅-⋅⋯⋯⋯∴⋅->⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①②
8分 令
，则①变为2(1)10a t at -++=，只需关于t 的方程只有一个正根即可满足题意 (1)不合题意 9分
(2)①式有一正一负根，则经验证满足20x a a ⋅->，1a ∴>11分
(3)若①式有两相等正根，则204(1)022a a a ∆=⇒--=⇒=±，此时()21a t a =-
若1)a =-，则()
021a t a =<-，此时方程2(1)10a t at -++=无正根
故1)a =-舍去 13分
若1)a =-，则()021a t a =>-，且()()()22(1)102121x a a a a a a t a a a ⎡⎤-⋅-=-=-=>⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 因此222a =-- 15分
综上得:1a >或222a =--分.
考点：1.函数的奇偶性；2.对数函数的图像及其性质；3.二次方程根的分布问题.。