clarke次微分

clarke次微分
Clarke次微分是一种将非光滑函数转化为光滑函数的方法。

它是由美
国数学家 Charles Clarke 在1983年提出的，用来解决非光滑函数导
数难以计算的问题。

Clarke 次微分在控制论、优化理论等领域中有着
广泛的应用。

简单地说，Clarke次微分就是将一个非光滑函数沿着其梯度的方向进
行线性化。

具体的，对于一个 Lipschitz 连续的非光滑函数 f(x)，在某个点 x∗上的 Clarke 次导数为一个包含梯度的集合，即 Clarke 次微分，可表示为：
Df(x∗) = {p∈R^n : lim inf x→x∗ f(y) – f(x∗) – (p, y – x∗) ≥ –ε||y –
x∗||, ∀ε > 0}
其中，p 是一个梯度向量，表示某个方向上的导数；lim 表示取极限；inf 表示取下确界。

然后，该集合叫做函数 f 在 x∗处的 Clarke 次微分，简称 Clarke 次导数。

Clarke次微分的优点在于它可以将非光滑函数转化为光滑函数，从而
使得该函数的导数可以通过求梯度来实现。

同时，Clarke 次导数的计
算相对简单，只需要将函数沿着梯度方向进行线性化即可。

这种方法
既可以应用于标量函数，也可以应用于向量函数。

除此之外，Clarke 次微分还可以用于优化问题、自动控制理论等领域中。

例如，在非线性最优化问题中，可以将 Clarke 次导数用于求解Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件。

又如，在自动控制领域，Clarke 次导数被用于建立模糊控制器模型，从而提高控制系统的鲁棒性和稳定性。

总之，Clarke 次微分是一种非常有用的数学工具。

它能够将非光滑函数转化为光滑函数，从而方便函数的导数计算。

这种方法不仅应用广泛，而且具有很强的实用性和可行性，为许多研究和应用领域带来了便利和好处。