Park-Clark-变换公式及锁相的推导
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即：
Vd Vm * cos( t ) Vq Vm * sin( t )
也可直接由 Va,Vb,Vc 直接得 Vd,Vq.
2 1 3 1 3 Vd *Vm((cos * cos t ) ( * cos * sin ) *Vb ( * cos * sin ) *Vc ) 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 *Vm ((cos * cos t ) ( * cos * sin ) * ( * cos t * sin t ) 3 2 2 2 2 1 3 1 3 ( * cos * sin ) * ( * cos t * sin t )) 2 2 2 2 2 *Vm ((cos * cos t ) 3 1 3 3 3 ( * cos * cos t * cos * sin * sin * cos t * sin * sin t ) 4 4 4 4 1 3 3 3 ( * cos * cos t * cos * sin * sin * cos t * sin * sin t )) 4 4 4 4 2 1 3 *Vm ((cos * cos t * cos * cos t * sin * sin t )) 3 2 2 Vm * cos(t )
阵须为 n*n 阵列才可求，因此加入第 3 列（全为 1/2）得：
1 1 2 1 2 1 0 0 6 0 0 1 0 0
1 0 1 2 |1 0 0 3 1 2)*2 /(3)*2 | 0 1 0 ( 3 1 2 2 1 3 3 1 |0 0 1 2 2 1 1 0 1 0 2 |1 0 0 2 |1 0 3 3 3) ( 2) 3 |1 2 0 ( 3 |1 2 0 2 2 0 0 3 |2 2 3 |1 0 2 3 2 0 0 | 4 2 2 ( 2) 6 0 0 | 3 /( 3)* 3 3 6 3 3 |1 2 0 | 0 1 2 2 2 0 3 |2 2 3| 0 0 2 2 2 1 1 3 3 ( 3) 1 0 0 | 3 0 0 | 3 3 3 3 2 1 0 | 0 0 1 0 | 0 3 3 3| 0 0 1| 2 0 3 3 3 2 3 3 3 3 0
1 2 3 0
1 2 3 2
1 2 3 2 ，
V 因此： V
或：
1 2 3 0
1 2 3 2
1 Va 2 Vb 3 Vc 2
2 1 1 V (Va Vb Vb) 3 2 2 1 1 2 (Vm * cos t Vm * cos(t 120 ) Vm * cos(t 120 )) 3 2 2 1 2 (Vm * cos t * Vm * 2 * (cos t * cos120 )) 3 2 2 1 * (Vm * cos t Vm * cos t ) 3 2 Vm * cos t
V
2 3 3 ( *Vm * cos(t 120 ) Vm * cos(t 120 )) 3 2 2 2 3 * *Vm * 2 * sin t * sin 120 3 2 2 3 3 * *Vm * 2 * * sin t 3 2 2 Vm * sin t
Vq
2 1 3 1 3 ( sin *Va ( * sin * cos ) *Vb ( * sin * cos ) *Vc ) 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 *Vm ( sin * cos t ( * sin * cos ) * cos(t 120 ) ( * sin * cos ) * cos(t 120 )) 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 *Vm (( sin * cos t ) ( * sin * cos ) * ( * cos t * sin t ) 3 2 2 2 2 1 3 1 3 ( * sin * cos ) * ( * cos t * sin t )) 2 2 2 2 2 *Vm (( sin * cos t ) 3 1 3 3 3 ( sin * cos t sin * sin t cos * cos t * cos * sin ) 4 4 4 4 3 3 1 3 ( * sin * cos t * sin * sin t * cos * cos t * cos * sin t )) 4 4 4 4 2 1 3 *Vm (( sin * cos t ) * sin * cos t * cos * sin t )) 2 3 2 2 3 *Vm * (sin(t )) 3 2 Vm * sin(t )
三．Dq 锁相原理及推导 由 clark 变换可知及 dq 变换可知：
也可由 Vd,Vq 反推 Va,Vb,Vc
1 0 Va 1 3 V Vb 2 V Vc 2 1 3 2 2 0 1 1 3 cos sin Vd Vq 2 sin cos 2 1 3 2 2 cos sin Vd cos( 120 ) sin( 120 ) cos( 120 ) sin( 120 ) Vq
得此矩阵为
2 3 0 2 3
1 3 3 3 2 3
1 1 3 2 3 0 3 3 1 2 3 ，也即
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1 ，也可用 matlab 求解：
一．Clark 变换
Va Vm * cos t V 1 Vb Vm * cos(t 120 ) V * cos120 V * sin 120 V 2 1 Vc Vm * cos(t 120 ) V * cos120 V * sin 120 V 2 3 V 2 3 V 2
1 | 1 0 0 2 2) (1) /(3) (1) 1 | 0 2 0 ( 1 |0 0 2 0 1)*6 ( 3 ) 0 ( 2 4 2 2 (1) ( 2 ) ( 3) / 3 2 3 6 0 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3
>> a=[1 0 1/2;-0.5 1.732/2 0.5;-0.5 -1.732/2 0.5] a=
1.0000 -0.5000 -0.5000 >> inv(a) ans =
0 0.8660 -0.8660
0.5000 0.5000 0.5000
0.6667 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.5774 -0.5774 0.6667 0.6667 0.6667 因第 3 行是由于求逆矩阵加入第 3 列（1/2）而产生的解，因此取消第 3 行得，
sin V cos V 1 Va 2 Vb 3 Vc 2
1 1 sin 2 3 cos 0 2
Va 3 1 3 1 cos *1 sin * 0 * cos * sin * cos * sin 2 2 2 2 2 Vb 3 3 1 3 1 * cos * sin * cos * sin Vc sin *1 cos * 0 2 2 2 2 Va cos( 120 ) cos( 120 ) 2 cos Vb 3 sin sin( 120 ) sin( 120 ) Vc
V V
或：
1 2 3 0
1 2 3 2
1 Va 2 Vb 3 Vc 2
Vd cos sin V Vq sin cos V cos sin Vm * cos t sin cos Vm * sin t
即：
V Vm * cos t V Vm * sin t
二．pa换：
V cos( ) *Vd sin( ) *Vq (1) V sin( ) *Vd cos( ) *Vq (2)
Depark 变换
(1) * cos( ) (2) * sin( )，得 Vd cos( ) *V sin( ) *V (2) * sin( ) (1) * cos( )，得 Vq sin( ) *V cos( ) *V
即：
Vd cos Vq sin 2 cos 3 sin
0 Va 1 1 3 V Vb Vc 2 2 V 1 3 2 2
0 1 1 3 Va 2 2 1 V Vb 3 V 写成含 Vc 的表达式，即求 2 2 的逆矩阵。由求逆矩阵的公式可知，逆矩 把
Vd Vm * cos( t ) Vq Vm * sin( t )
也可直接由 Va,Vb,Vc 直接得 Vd,Vq.
2 1 3 1 3 Vd *Vm((cos * cos t ) ( * cos * sin ) *Vb ( * cos * sin ) *Vc ) 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 *Vm ((cos * cos t ) ( * cos * sin ) * ( * cos t * sin t ) 3 2 2 2 2 1 3 1 3 ( * cos * sin ) * ( * cos t * sin t )) 2 2 2 2 2 *Vm ((cos * cos t ) 3 1 3 3 3 ( * cos * cos t * cos * sin * sin * cos t * sin * sin t ) 4 4 4 4 1 3 3 3 ( * cos * cos t * cos * sin * sin * cos t * sin * sin t )) 4 4 4 4 2 1 3 *Vm ((cos * cos t * cos * cos t * sin * sin t )) 3 2 2 Vm * cos(t )
阵须为 n*n 阵列才可求，因此加入第 3 列（全为 1/2）得：
1 1 2 1 2 1 0 0 6 0 0 1 0 0
1 0 1 2 |1 0 0 3 1 2)*2 /(3)*2 | 0 1 0 ( 3 1 2 2 1 3 3 1 |0 0 1 2 2 1 1 0 1 0 2 |1 0 0 2 |1 0 3 3 3) ( 2) 3 |1 2 0 ( 3 |1 2 0 2 2 0 0 3 |2 2 3 |1 0 2 3 2 0 0 | 4 2 2 ( 2) 6 0 0 | 3 /( 3)* 3 3 6 3 3 |1 2 0 | 0 1 2 2 2 0 3 |2 2 3| 0 0 2 2 2 1 1 3 3 ( 3) 1 0 0 | 3 0 0 | 3 3 3 3 2 1 0 | 0 0 1 0 | 0 3 3 3| 0 0 1| 2 0 3 3 3 2 3 3 3 3 0
1 2 3 0
1 2 3 2
1 2 3 2 ，
V 因此： V
或：
1 2 3 0
1 2 3 2
1 Va 2 Vb 3 Vc 2
2 1 1 V (Va Vb Vb) 3 2 2 1 1 2 (Vm * cos t Vm * cos(t 120 ) Vm * cos(t 120 )) 3 2 2 1 2 (Vm * cos t * Vm * 2 * (cos t * cos120 )) 3 2 2 1 * (Vm * cos t Vm * cos t ) 3 2 Vm * cos t
V
2 3 3 ( *Vm * cos(t 120 ) Vm * cos(t 120 )) 3 2 2 2 3 * *Vm * 2 * sin t * sin 120 3 2 2 3 3 * *Vm * 2 * * sin t 3 2 2 Vm * sin t
Vq
2 1 3 1 3 ( sin *Va ( * sin * cos ) *Vb ( * sin * cos ) *Vc ) 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 *Vm ( sin * cos t ( * sin * cos ) * cos(t 120 ) ( * sin * cos ) * cos(t 120 )) 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 *Vm (( sin * cos t ) ( * sin * cos ) * ( * cos t * sin t ) 3 2 2 2 2 1 3 1 3 ( * sin * cos ) * ( * cos t * sin t )) 2 2 2 2 2 *Vm (( sin * cos t ) 3 1 3 3 3 ( sin * cos t sin * sin t cos * cos t * cos * sin ) 4 4 4 4 3 3 1 3 ( * sin * cos t * sin * sin t * cos * cos t * cos * sin t )) 4 4 4 4 2 1 3 *Vm (( sin * cos t ) * sin * cos t * cos * sin t )) 2 3 2 2 3 *Vm * (sin(t )) 3 2 Vm * sin(t )
三．Dq 锁相原理及推导 由 clark 变换可知及 dq 变换可知：
也可由 Vd,Vq 反推 Va,Vb,Vc
1 0 Va 1 3 V Vb 2 V Vc 2 1 3 2 2 0 1 1 3 cos sin Vd Vq 2 sin cos 2 1 3 2 2 cos sin Vd cos( 120 ) sin( 120 ) cos( 120 ) sin( 120 ) Vq
得此矩阵为
2 3 0 2 3
1 3 3 3 2 3
1 1 3 2 3 0 3 3 1 2 3 ，也即
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1 ，也可用 matlab 求解：
一．Clark 变换
Va Vm * cos t V 1 Vb Vm * cos(t 120 ) V * cos120 V * sin 120 V 2 1 Vc Vm * cos(t 120 ) V * cos120 V * sin 120 V 2 3 V 2 3 V 2
1 | 1 0 0 2 2) (1) /(3) (1) 1 | 0 2 0 ( 1 |0 0 2 0 1)*6 ( 3 ) 0 ( 2 4 2 2 (1) ( 2 ) ( 3) / 3 2 3 6 0 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3
>> a=[1 0 1/2;-0.5 1.732/2 0.5;-0.5 -1.732/2 0.5] a=
1.0000 -0.5000 -0.5000 >> inv(a) ans =
0 0.8660 -0.8660
0.5000 0.5000 0.5000
0.6667 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.5774 -0.5774 0.6667 0.6667 0.6667 因第 3 行是由于求逆矩阵加入第 3 列（1/2）而产生的解，因此取消第 3 行得，
sin V cos V 1 Va 2 Vb 3 Vc 2
1 1 sin 2 3 cos 0 2
Va 3 1 3 1 cos *1 sin * 0 * cos * sin * cos * sin 2 2 2 2 2 Vb 3 3 1 3 1 * cos * sin * cos * sin Vc sin *1 cos * 0 2 2 2 2 Va cos( 120 ) cos( 120 ) 2 cos Vb 3 sin sin( 120 ) sin( 120 ) Vc
V V
或：
1 2 3 0
1 2 3 2
1 Va 2 Vb 3 Vc 2
Vd cos sin V Vq sin cos V cos sin Vm * cos t sin cos Vm * sin t
即：
V Vm * cos t V Vm * sin t
二．pa换：
V cos( ) *Vd sin( ) *Vq (1) V sin( ) *Vd cos( ) *Vq (2)
Depark 变换
(1) * cos( ) (2) * sin( )，得 Vd cos( ) *V sin( ) *V (2) * sin( ) (1) * cos( )，得 Vq sin( ) *V cos( ) *V
即：
Vd cos Vq sin 2 cos 3 sin
0 Va 1 1 3 V Vb Vc 2 2 V 1 3 2 2
0 1 1 3 Va 2 2 1 V Vb 3 V 写成含 Vc 的表达式，即求 2 2 的逆矩阵。由求逆矩阵的公式可知，逆矩 把