高三上学期12月月考数学(文)试题 Word版含答案

文科数学
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.设函数()()
2lg 1f x x =-，集合A 为函数()f x 的定义域，集合(] 0B =-∞，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．[]1 0-，
B ．()1 0-，
C ．
()[) 10 1-∞-，
， D ．(]() 10 1-∞-，
，
2.下列说法正确的是（ ）
A ．“220x x +->”是“1x >”的充分不必要条件
B ．“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题
C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有2210x ->”
D ．命题“若4
x π
=
，则tan 1x =”的逆命题为真命题
3.若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22cos 162πα⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．13
B ．13
- C ．79 D ．7
9-
4.如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
A ．
243π+ B ．
243π+ C.43π+ D ．3
π4+ 5.在等差数列{}n a 中，16a =-，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当6n =时，n S 取得最小
值，则d 的取值范围为（ ）
A ．71 8⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
B ．()0 +∞， C.() 0-∞， D ．61 5⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
6.根据如图所示的框图，当输入x 为2017时，输出的y 等于（ ）
A ．28
B ．10 C.4 D ．2 7.已知平面向量 a b ，是非零微量，
()
2 2a a a b =⊥+，，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1 B ．1- C.2 D ．2- 8.函数()1sin ln 1x f x x -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
的图象大致为（ ）
A ．
B ． C. D ．
9.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ） A ．()2
212x y +-= B ．()()2
2
114x y -+-= C.()2
211x y -+= D ．()()2
2
115x y -++=
10.已知函数()()()()()
52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为（ ）
A ．2个
B ．3个 C.4个 D ．5个 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知抛物线()2
20y px p =>上一点()1 M m ，到其焦点的距离为5，双曲线2
2
1y x a
-=的
左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．
12.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒，以及75MAC ∠=︒，从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．
13.从圆224x y +=内任取一点P ，则P 到直线1x y +=
的概率是 ． 14.已知变量 x y ，满足约束条件2402
40x y y x y k -+≤⎧⎪
≥⎨⎪-+≥⎩
且目标函数3z x y =+的最小值为1-，则实数k = ．
15.设函数()()21 x x x
f x
g x x e
+==，，对任意()12 0 x x ∈+∞，，，不等式()()121g x f x k k ≤
+恒成立，则正数k 的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
已知函数()cos sin 6f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
（Ⅰ）作出()f x 在一个周期内的图象；
（Ⅱ） a b c ，，分别是ABC △中角 A B C ，，
的对边，若(
) 1a f A b ===，
，，求ABC △的面积.
17.（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
2
n n n S na a c =+-（c 是常数，*n N ∈），26a =.
（Ⅰ）求c 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
2
2n n n a b +-=
，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，AC CD ⊥，
E ，
F 分别是PC ，AC 的中点.
（1）证明：BF PCD ∥平面； （2）证明：AE PCD ⊥平面. 19.（本小题满分12分）
在创城活动中，海曲市园林公司设计如图所示的环状绿化景观带.
已知该景观带的内圈由两条平行线段（图中的 AB CD ，）和两个半圆构成，设计要求AB 长为()80x x ≥.
（Ⅰ）若内圈周长为400米，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？ （Ⅱ）若景观带的内圈所围成区域的面积为222500
m π
，则x 取何值时，内圈周长最小？
20.（本小题满分12分）
已知点()0 2A -，，椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>，F 是椭圆的右焦点，直
线AF O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于 P Q ，两点，当POQ △的面积最大时，求l 的方程. 21.（本小题满分10分） 已知函数()()()1
2ln 20f x a x ax a x
=-+
+≤. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 的单调性.
现代中学高三12月份检测
一、选择题 1.D 2.B 3.A
4.D 【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在的圆柱的底面半径1r =，高2h =，故其体积22111
1222
V r h πππ==⨯⨯=；四棱锥的底面ABCD 为边长为2
的正方形，PO ABCD ⊥底面，且1PO r ==，
故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形，故该几何体的体积124
3
V V V π=+=+.
5.D
6.C
7.B
8.B 【解析】由
1
01
x x ->+解得1x <-或1x >，所以函数()f x 的定义域为()() 1 1 -∞-+∞，，，故排除A ； 设()1ln
1x g x x -=+，则()()111
ln ln ln 111
x x x g x g x x x x --+--===-=--+-+， 所以()()()()()()()()sin sin sin f x g x g x g x f x -=-=-=-=-， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C ； 取3x =，()()311
3ln ln ln 2 1 0312
g -===-∈-+，，()()()()3sin 30f g g =<，所以排除D ，故选B.
9.D 【解析】抛物线223y x x =--的图象关于1x =对称，与坐标轴的交点为()1 0A -，，()3 0B ，，()0 3C -，，令圆心坐标为()1 M b ，，可得2
2
2MA MC r ==，
()2
22413b b r +=++=，∴ 1 b r =-=，，所以圆的轨迹方程为()()22
115x y -++=.
10.D 二、填空题 11.
14 12.150 13.24ππ
+ 15.1
21k e ≥- 14.答案9 【解析】由题意作出平面区域如图，结合图象可知，当过点() 2A x ，时，目标函数3z x y =+取得最小值1-，故321x +=-，解得，1x =-，故()1 2A -，，故1420k --⨯+=，故9k =.
三、解答题
16.解：（Ⅰ）()cos sin cos cos sin sin sin 666f x x x x x x πππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝
⎭
1sin sin 23x x x π⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭.……………………2分 利用“五点法”列表如下：
……………………………………………………4分 画出()f x 在5 3
3π
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象，如图所示：
又203B π<<
，∴6B π=，∴2
C π
=，∴11122S ab ===.
因此ABC △.…………………………12分 17.解：（Ⅰ）由已知12n n n S na a c =+-，所以当1n =时，1111
2
S a a c =+-，
解得12a c =，当2n =时，222S a a c =+-，即1222a a a a c +=+-，解得23a c =，所以36c =，解得2c =.…………………………4分
则14a =，数列{}n a 的公差212d a a =-=，所以()1122n a a n d n =+-=+. （Ⅱ）因为112222222
n n n n n a n n b ++-+-===，…………………………8分 所以231232222
n n n
T L =
++++，① 2341112322222
n n n
T L +=++++，② ①-②得2341111111111222222222
n n n n n n n
T L ++=+++++-=--，
所以222
n n n
T +=-
.…………………………………………12分 18.证明：（1）因为60ABC ∠=︒，AB BC =，所以ABC △为等边三角形，
又F 是AC 中点，所以BF AC ⊥，又CD AC ⊥，且 BF CD AC ，，都在平面ABCD 内，所以BF CD ∥，因为CD PCD ⊂平面，BF PCD ⊄平面，所以BF PCD ∥平面. （2）由（1）知，ABC △为等边三角形，且PA PB =，所以PA AC =， 又E 为PC 的中点，所以AE PC ⊥，因为PA ABCD ⊥底面，CD ABCD ⊂平面， 所以PA CD ⊥，又CD AC ⊥，PA
AC A =，所以CD PAC ⊥平面，
又AE PAC ⊂平面，所以CD AE ⊥，又PC
CD C =，所以AE PCD ⊥平面.
19.解（Ⅰ）设半圆的半径为r ，由题意得80200x ≤<，且22400x r π+=， 即200x r π+=，矩形ABCD 的面积为()2
2
220000
22x r S rx x r πππππ+⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当100x r π==时，矩形的面积取得最大值
220000
m π
；………………6分
（Ⅱ）设半圆的半径为r ，由题意可得222500
2r xr ππ
+=，可得22500
2x r r
ππ=
-， 即有内圈周长22500
22c x r r r
πππ=+=+，………………………………9分 由80x ≥，可得
22500
160r r
ππ-≥，解得090r π<≤， 设()22500f r r r ππ=+，()2222250022500'10f r r r ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，即有()f r 在900 π⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，上递减，即有90r π=，即80x m =时，周长c 取得最小值340m .…………………………13分
20.（Ⅰ）设() 0F c ，
，由条件知2c ，得c =，又c a =2a =， 2
2
1b a c 2
=-=，故E 的方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故可设:2l y kx =-，()11 P x y ，
，()22 P x y ，， 将:2l y kx =-代入2
214
x y +=中得()221416120k x kx +-+=，当()
216430k ∆=->时，
即234
k >，由韦达定理得12122
21612
1414k x x x x k k +==++，，
从而PQ =
=， 又点O 到直线PQ 的距离为
d =
，
所以POQ △
的面积12POQ
S d PQ =⋅=△，
t =，则0t >，24444OPQ t S t t t
=
=++△，因为4
4t t
+≥，当且仅当2t =，
即k =时等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ △的面积最大时，l
的方程为2y =-
或2y =-. 21.【解析】（Ⅰ）当0a =时，()1
2ln f x x x
=+
，定义域为()0 +∞，
， ()f x 的导函数()222121
'x f x x x x
-=-=. 当102x <<时，()'0f x <，()f x 在10 2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，上是减函数；
当12x >
时，()'0f x >，()f x 在1 2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数， ∴当12x =
时，()f x 取得极小值为122ln 22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值. （Ⅱ）当0a <时，()()1
2ln 2f x a x ax x
=-+
+的定义域为()0 +∞，
，()f x 的导函数为()()()()2222
22121121
'2ax a x x ax a f x a x x x x +---+-=-+==
， 由()'0f x =得1102x =>，21
0x a
=->，1211222a x x a a +⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，
（1）当20a -<<时，()f x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数，在1
1 2
a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是增函数，在
1 a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，上是减函数； （2）当2a =-时，()f x 在()0 +∞，
上是减函数； （3）当2a <-时，()f x 在10 a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是减函数，在11 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是增函数，在1 2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
，上是减函数. 综上所述，
当2a <-时，()f x 在10 a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是减函数，在1
1 2a
⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是增函数；
当2a =-时，()f x 在()0 +∞，
上是减函数； 当20a -<<时，()f x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1 a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上是减函数，在1
1 2
a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是增函数.。