高中数学人教A版必修5第三章3.4 基本不等式课件-(共15张PPT)-
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思考1：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
a2 b2
Aa
D
1、正方形ABCD的
b
G
F
HE
面积S=＿＿a＿2 ＿＿b 2
C
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S__＞___S′
思考3：那么它们有相等的情况吗？
所以a2 b2≥2ab.
结论：一般地，对于任意实数
a、b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和 不小于它们积 的2倍.
2 新课讲解
问题1:如果当 a 0,用b 0 去替a换, b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
辨析题：下列结论正确的是（B ）
A.当x＞0且x≠1时，lg
x＋ 1 lg x
2
B.当x＞0时， x＋ 1 2
x
C.当x≠kπ时，k∈Z，则 y＝sin
D.当a>0,b<0时，则 b ＋ a
2 x＋
2
4 s in 2
x
的最小值是4
ab
4 课堂小结
1. 重要不等式： a2 b2 2ab （a,b∈R）
2. 基本不等式： ab a b （a 0,b 0） 2
3. 利用基本不等式求最值
“一正，二定，三相等”
一正：符合基本不等式 a b≥ ab成立的前提条件，a 0,b 0
二定：化不等式的一边为2定值 三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”成立。
以上三点缺一不可！！！
谢谢大家
(当且仅当a b时，取" "号)
我们把 a b 叫做正数a,b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a,b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
3 典型例题
x>0时，当x取什么值时，x 1 的值最小？最小值是多少？
a 0,b 0时,
ab 2
ab .
证明:要证
ab 2
ab
①
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④是成立的,当且仅当 a b 时
④中的等号成立.
2.基本不等式 均值不等式
如果a 0，b 0，那么 a b ab 2
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考4：你能给出不等式 a2 b2 2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0
变式训练
判断题
x＞2
，
x
1 x
的最小值为2.
解: ∵ x＞0, ∴ 1 ＞0.
x
∴ x 1 ≥2 x 1 =2,
x
x
若等号成立，a与b必 须能够相等
需检验是否满足
当且仅当 x= 1 , 即 x=1 时, 取“=”号. x
∴当 x=1 时, 函数 f(x) 的最小值是2.
∵x＞2，不符合题意
当堂训练
3.4基本不等式: ab a b
2
1:问题引入
2002年8月，第24届国际 数学家大会在北京召开， 这是我国首次承办这个大 会。该次大会的会标如图 所示，这是根据我国古代 数学家赵爽的弦图设计的， 图形旋转起来像个风车， 既反映中国人在数学研究 中的创新精神，又昭示着 中国人民的热情好客．
新课探究
1 x 文献分析法：
解:
∵ ∴
x＞0,
x 1
∴ 1 >0. x和
x
≥行2动研x究 法1 ： =2,
x
都为正数
x1 x
＝1
，乘积为定值
x
x
当且仅当 x= 1 , 即 x=1 时, 取“=”号. x
∴当 x=1 时, x设计1研究的法最：小值是2. x
若等号成立，a与b必 须能够相等
简言之：一正二 (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
( a)2 ( b)2≥2 a b
a b≥2 ab
a b≥ ab 2
(a>0,b>0)
小组合作 ab a b （a 0,b 0）
2
当且仅当a=b时，取“=”号
问题2：你能否用不等式的性质进行证明？
证明：（作差法）a b 2 ab
2
a
2
b -2
ab (
a
b)2
当a b时 ( a b )2 0
当a b时 ( a b )2 0
∴ ( a b)2 0
∴ ( a)2 ( b)2≥2 a b
即 a b≥2 ab 即
ab a b 2
（a 0,b 0）
分析法
证明:当
a2 b2
Aa
D
1、正方形ABCD的
b
G
F
HE
面积S=＿＿a＿2 ＿＿b 2
C
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S__＞___S′
思考3：那么它们有相等的情况吗？
所以a2 b2≥2ab.
结论：一般地，对于任意实数
a、b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和 不小于它们积 的2倍.
2 新课讲解
问题1:如果当 a 0,用b 0 去替a换, b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
辨析题：下列结论正确的是（B ）
A.当x＞0且x≠1时，lg
x＋ 1 lg x
2
B.当x＞0时， x＋ 1 2
x
C.当x≠kπ时，k∈Z，则 y＝sin
D.当a>0,b<0时，则 b ＋ a
2 x＋
2
4 s in 2
x
的最小值是4
ab
4 课堂小结
1. 重要不等式： a2 b2 2ab （a,b∈R）
2. 基本不等式： ab a b （a 0,b 0） 2
3. 利用基本不等式求最值
“一正，二定，三相等”
一正：符合基本不等式 a b≥ ab成立的前提条件，a 0,b 0
二定：化不等式的一边为2定值 三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”成立。
以上三点缺一不可！！！
谢谢大家
(当且仅当a b时，取" "号)
我们把 a b 叫做正数a,b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a,b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
3 典型例题
x>0时，当x取什么值时，x 1 的值最小？最小值是多少？
a 0,b 0时,
ab 2
ab .
证明:要证
ab 2
ab
①
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④是成立的,当且仅当 a b 时
④中的等号成立.
2.基本不等式 均值不等式
如果a 0，b 0，那么 a b ab 2
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考4：你能给出不等式 a2 b2 2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0
变式训练
判断题
x＞2
，
x
1 x
的最小值为2.
解: ∵ x＞0, ∴ 1 ＞0.
x
∴ x 1 ≥2 x 1 =2,
x
x
若等号成立，a与b必 须能够相等
需检验是否满足
当且仅当 x= 1 , 即 x=1 时, 取“=”号. x
∴当 x=1 时, 函数 f(x) 的最小值是2.
∵x＞2，不符合题意
当堂训练
3.4基本不等式: ab a b
2
1:问题引入
2002年8月，第24届国际 数学家大会在北京召开， 这是我国首次承办这个大 会。该次大会的会标如图 所示，这是根据我国古代 数学家赵爽的弦图设计的， 图形旋转起来像个风车， 既反映中国人在数学研究 中的创新精神，又昭示着 中国人民的热情好客．
新课探究
1 x 文献分析法：
解:
∵ ∴
x＞0,
x 1
∴ 1 >0. x和
x
≥行2动研x究 法1 ： =2,
x
都为正数
x1 x
＝1
，乘积为定值
x
x
当且仅当 x= 1 , 即 x=1 时, 取“=”号. x
∴当 x=1 时, x设计1研究的法最：小值是2. x
若等号成立，a与b必 须能够相等
简言之：一正二 (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
( a)2 ( b)2≥2 a b
a b≥2 ab
a b≥ ab 2
(a>0,b>0)
小组合作 ab a b （a 0,b 0）
2
当且仅当a=b时，取“=”号
问题2：你能否用不等式的性质进行证明？
证明：（作差法）a b 2 ab
2
a
2
b -2
ab (
a
b)2
当a b时 ( a b )2 0
当a b时 ( a b )2 0
∴ ( a b)2 0
∴ ( a)2 ( b)2≥2 a b
即 a b≥2 ab 即
ab a b 2
（a 0,b 0）
分析法
证明:当