湖南省衡阳八中高二数学下学期期中考试试卷

高二数学（理科）
本试卷包括选择题、填空题、解答题共三部分，总分100分，时量120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、sin150cos750+ cos 150 sin 1050等于（ ）
A 、0
B 、
12
C D 、1
2、已知U={x ∈N|1≤x ≤8}，M={3,4,5,7}，N={2,4,5,6}，则C u （M ∪N ）=( ） A 、{1,8}
B 、{0,8}
C 、{1}
D 、{8}
3、已知()f x 的图象恒过点（1，1），则(4)f x -的图象恒过点（ ） A 、(-3，1)
B 、（5，1）
C 、（1，-3）
D 、（1，5）
4、设12
log 3a =，0.2
1()3b = ，1
32c =，则（ ）
A 、a ＜b ＜c
B 、c ＜b ＜a
C 、c ＜a ＜b
D 、b ＜a ＜c
5、设函数()f x 为奇函数，定义域为R ，(2)f =1，(2)()(2)f x f x f +=+，则(1)f =（ ）
A 、0
B 、1
C 、
1
2
D 、12
-
6、已知1
cos()3
πα+= (π＜α＜2π)，则sin 2α的值为（ ）
A 、
1
2
B 、
3
C 、
9
D 、
9
7、函数()f x =
1
x
x + (x ＞0)的值域为（ ） A 、（－∞，1）∪（1，+∞） B 、（0，+∞） C 、（1，+∞） D 、（0，1）
8、已知()f x 为R 上的减函数，则满足1
()f x
＞(1)f 的实数x 的取值范围是（ ）
A 、（－∞，1）
B 、（1，+∞）
C 、（-∞，0）∪（0，1）
D 、（－∞，0）∪（1，+∞）
9、在△ABC 中，
，AC=2，∠B=300。

则△ABC 的面积为（ ）
A 、
B
C 、
D
、
4
或2
10、已知2()2f x x x b =-+在区间（2，4）内有唯一零点，则实数b 的取值范围是（ ） A 、R
B 、（-∞，0）
C 、（-8，+∞）
D 、（-8，0）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11、函数ln(4)
3
x y x -=-的定义域是
12、若角α的终边经过点P （1，-2），则tan 2α的值为
13、函数()f x = ，若(1)()2f f a +=，则a =
14、设()x f x a b =+同时满足条件(0)2f =和对任意x R ∈都有(1)2()1f x f x +=-成
立，则函数()f x 的解析式为
15、函数()f x =3sin(2)3
x π
-的图象为C ，则下列结论中正确的是
（写出所有正确的序号）
①图象C 关于直线x=1112π对称 ②图象C 关于点（2
3π，0）对称
③函数()f x 在区间（－12π，512
π
）内是增函数
④由3sin 2y x =的图象向右平移3π
个单位长度可得到图象C
三、解答题：本大题共5小题，共40分。

解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本小题6分)
2sin()x π（－1＜x ＜0）
1x e - （x ≥0）
设集合A={x|x 2
＜4}，B={x|1＜4
x+3
} (1)求集合A ∩B
（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解为B ，求a 、b 的值。

17、（本小题8分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0
(1)求角A 的大小 （2）0sin(30)a C b c
--的值。

18、（本小题9分)
已知函数2()2sin()cos()()222f x x x x θθθ
=++++- （1）求()f x 的最小正周期
（2）若0≤θ≤π，求使函数()f x 为偶函数的θ的值
（3）在（2）的条件下，求满足()f x =1 (,)x ππ∈-的x 的集合。

19、（本小题8分)
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： ()R x = 其中x 是仪器的月产量
（1）将利润表示为月产量的函数
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ （总收益=总成本+利润） 20、（本小题9分)
若定义域为R 的函数12()22
x x b
f x +-+=+是奇函数，
214002
x x -（0≤x ≤400） 80000 （x ＞400）
（1）求b的值
（2）试讨论()
f x的单调性
（3）若对任意的t R
∈，不等式22
(2)(2)
f t t f t k
-+-＜0恒成立，求k的取值范围。

附加题：本大题共2小题，共20分。

理科必做。

21、（本小题10分)
已知
1
()|1|
f x
x
=-（x＞0）
（1）当0＜a＜b且()()
f a f b
=时，求证：11
2 a b
+=
（2）是否存在函数a、b（1≤a＜b）使得函数()
y f x
=的定义域、值域都是
[a、b]，若存在，则求出a、b的值，若不存在，请说明理由。

22、（本小题10分)
已知()a
f x x b
x
=++（x≠0），其中a、b∈R
（1）若曲线()
y f x
=在点P（2，(2)
f）处的切线方程为31
y x
=+，求()
f x解析式。

（2）讨论()
f x的单调性。

（3）若对任意的
1
[,2]
2
a∈，不等式()
f x≤10在[
1
4
，1]上恒成立，求b的取值
范围。

衡阳市八中2009年学业水平考试模拟试题答卷
高二数学 （理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20。

11、 {x │ｘ<4且x ≠3} ； 12、34 13、12
2
或-
14、12)(+=x
x f 15、 ① ② ③
三、解答题：本大题共5个小题，共40分。

16、（本小题6分）
解：}13{}3
4
1{};22{}4{2
<<-=+<=<<-=<=x x x x B x x x x A （1）　};122{<<-=⋂x x B A
（2）由题意知，-3，1是方程022
=++b ax x 的两根，由韦达定理知：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=⨯--=+-2132
13b
a ⎩⎨
⎧-==∴64b a 17、（本小题8分）
解：（1）2
1
2cos 0
2222
2
2
-=-+=∴=+-+bc a c b A bc a c b
又0<A<π,∴A=120°
(2)
C C C C
C C C B C A c b C a sin 2
3
cos 23)30sin(23
sin )60sin()30sin(23
sin sin )
30sin(sin )30sin(--=--=-=--
21)
30sin(3)
30sin(23
=--=C C
18、（本小题9分）
解：=)(x f sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+3
π
) (1) T=π;
(2)∵f(x)偶函数，∴f （0）= 2sin(θ+3π)=±2，即sin(θ+3
π)=±1；又0≤θ≤π，∴6πθ=
（3）由（2）可知：f （x ）= 2sin(2x+2
π
)=2cos2x ，由f （x ）=1得2cos2x=1，
即cos2x=
21，∵-π<x<π, ∴656ππ±=±=x x 或,∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--65,6,6
5,6ππππ 19、（本小题8分）
解，（1）设利润为)(x W 元，则根据题意得：
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(10060000)4000(20000
3002
1)(2
x x x x x x W
（2）当.25000)(,30025000)300(2
1
)(4000max 2==∴+--=≤≤x W x x x W x 时当；时，
当.200004001006000)(1006000)(400=⨯-<-=>x W x x W x 是单调减函数，时，函数
综上可知：当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元。

20、（本小题9分）
解：（1）∵f(x)在R 是奇函数，∴f （0）=0，即
04
1=+-b
，∴b=1 （2）由（1）可知2212)(1++-=+x x x f ，即)
12(21
2)(++-=x
x x f ，任取.21R x x ∈<则 .)
12)(12(22)12)(12(2)22(2)12(212)12(212)()(2
21
22212221121++-=++-=++--++-=-x x x x x x x x x x x x x f x f ∵21x x <,∴12
22
x x >， 即：02212>-x x
.0)()(21>-x f x f ).()(21x f x f >∴f （x ）在R 上是减函数。

（3）.)2()2(0)2()2(2222恒成立恒成立，即t k f t t f k t f t t f -<-<-+-
又由（2）知，f （x ）在R 上是减函数，.2222恒成立
t k t t ->-∴.232
恒成立t t k -<∴ 3131)31(32322-≤--=-t t t 。

3
1-<∴k
附加题：本大题共2小题，共20分。

理科必做。

21、（本小题10分） 解：（1）由)()(b f a f =，221
211211111b
b a a b a +-=+-∴-=-
b
a b a 221122-=-， ∵b a ≠。

∴
211=+b a （2）假设存在实数a ，b （1≤ a<b ）.使f （x ）的定义域，值域均为[a ，b] 则由上是增函数。

在b x a x
x f ≤≤-
=1
1)(
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-==-=b
b b f a a a f 11)(11)( ∴a ，b 是方程x x =-11的两实根。

由x x
=-
1
1即012=+-x x ，∵041<-=∆。

∴原方程x x
=-1
1无解，即不存在实数a ，b 。

使f （x ）定义域，值域为[a ，b]
22、（本小题10分） 解：（1）∵3)2(='f ∴a=-8
由切点p （2，f （2））在y=3x+1上，可得b=9 ∴f （x ）的解析式为98
)(+-=x
x x f （2）2
1)(x a
x f -
='; 当a ≤0时，0)(>'x f （x ≠0） ∴)(x f 在（-∞，0）和（0，+∞）上是增函数。

当a>0时，由a x 0)(±=='得x f ；当x 变化时，)(x f '变化情况是：
∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数。

在)0,(a -和),0(a 上是减函数。

（3）由（2）知，f （x ）在[
41，1]上的最大值为f （4
1
）与f （1）中的最大者，对任意的a ∈[21，2]，不等式在f （x ）≤10在[41，1]上恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧≤≤10)1(10)41(f f 即⎪⎩⎪
⎨⎧
-≤-≤a
b a b 944
39对任意的a ∈[21，2]成立，从而得b ≤47，所以满足条件的b 的取值范围是 ]4
7
,(-∞。