【数学】重庆市巫溪中学2016-2017学年高一(下)期中试卷(理科)(解析版)

重庆市巫溪中学2016-2017学年高一（下）期中
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）
A．B． C．D．
2．（5分）向量=（5，2），=（﹣4，﹣3），=（x，y），若3﹣2+=，则=（）A．（23，12）B．（7，0）C．（﹣7，0）D．（﹣23，﹣12）
3．（5分）已知向量，不共线，=k+（k∈R），=+，如果∥，那么（）A．k=﹣1且与同向B．k=﹣1且与反向
C．k=1且与同向D．k=1且与反向
4．（5分）在等差数列{a n}中，a3=0，a7﹣2a4=﹣1，则公差d等于（）
A．﹣2 B．C．2 D．﹣
5．（5分）在△ABC中，已知sin2B﹣sin2C﹣sin2A=sin A sin C，则角B的大小为（）A．150°B．30°C．120°D．60°
6．（5分）若点M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是（）A．B．C．D．
7．（5分）在△ABC中，若b=a sin C，c=a cos B，则△ABC的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
8．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=（）A．B．C．D．2
9．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}有相同的首项，同时满足a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，则q2=（）
A．B．C．D．
10．（5分）设S n表示等差数列{a n}的前n项和，已知，那么等于（）A．B．C．D．
11．（5分）已知数列{a n}的通项a n=10n+5，n∈N *，其前n项和为S n，令，若对
一切正整数n，总有T n≤m成立，则实数m的最小值是（）
A．4 B．3 C．2 D．不存在
12．（5分）△ABC中，c是a与b的等差中项，sin A，sin B，sin C依次为一等比数列的前n 项，前2n项，前3n项的和，则cos C的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知点A（1，﹣2），若向量与=（2，3）同向，||=2，则点B的坐标为．
14．（5分）若，则
=．
15．（5分）数列{a n}的a1=，a n+1=，{a n}的通项公式是．
16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=﹣n2+13n﹣．当
a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时，n的值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）平面内给定三个向量=（1，3），=（﹣1，2），=（2，1）．
（1）求满足=m+n的实数m，n；
（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．
18．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=4a n+3，求数列{a n}的通项公式．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．
21．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{c n}为等比数列，c1=1，且c2S2=64，c3S3=960．
（1）求a n与c n；
（2）求++…+．
22．（12分）数列{a n}中，，且．
（1）求a3，a4；
（2）求数列{a n}的通项a n；
（3）若数列{b n}的前n项和，求数列{a n b n}的前n项和T n．
【参考答案】
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A
【解析】0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是a n=．
2．D
【解析】3﹣2+=0，则（15，6）﹣（﹣8，﹣6）+（x+y）=，
∴，解得：，
则=（x，y）=（﹣23，﹣12），
3．C
【解析】∵∥，∴存在实数λ使得k+=λ（+），
∵向量，不共线，∴k=λ，λ=1．
∴k=1且与同向．
4．D
【解析】∵a3=0，a7﹣2a4=﹣1，
∴a1+2d=0，a1+6d﹣2（a1+3d）=﹣1，
∴a1=1，d=﹣，
5．A
【解析】因为sin2B﹣sin2C﹣sin2A=sin A sin C，
所以b2﹣c2﹣a2=，即=cos B，
所以B=150°．
6．C
【解析】∵点M是△ABC的重心，
设D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，
∴=，
同理，
，
∴=，
∵零向量与任意的向量共线，
7．C
【解析】在△ABC中，∵b=a sin C，c=a cos B，
故由正弦定理可得sin B=sin A sin C，sin C=sin A sin B，
∴sin B=sin A sin A sin B，∴sin A=1，∴A=．
∴sin C=sin A sin B即sin C=sin B，
∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形，
8．B
【解析】△ABC中，∵A=60°，b=1，S△ABC==bc•sin A=•，∴c=4．再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bc•cos A=13，∴a=．
∴=2R===，R为△ABC外接圆的半径，
9．C
【解析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a1=b1，
由a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，得
①，
②，
又a1=b1，
解得：．
10．B
【解析】根据等差数列的前n项和公式得到
=∴a1=3d
==
11．C
【解析】数列{a n}的通项a n=10n+5，n∈N *，
其前n项和为S n==5n2+10n．
=，
T n+1﹣T n=﹣=，
可得：T1＜T2＞T3＞T4＞…．
可得T n的最大值为T2．
∵对一切正整数n，总有T n≤m成立，则实数m≥T2=2．
∴m的最小值是2．
12．C
【解析】c是a与b的等差中项，
可得a+b=2c，①
sin A，sin B，sin C依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和，由等比数列的和的性质，可得
sin A，sin B﹣sin A，sin C﹣sin B成等比数列，
可得sin A（sin C﹣sin B）=（sin B﹣sin A）2，
由正弦定理可得sin A=，sin B=，sin C=，
代入，化简可得a（c﹣b）=（b﹣a）2，②
由①②可得
a（a+b﹣2b）=2（b﹣a）2，
化简可得a=b或a=2b，
若a=b，则a=b=c，由等比数列各项均不为0，可得a≠b；
则a=2b，c=b，
即有cos C===．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5，4）
【解析】设A点坐标为（x A，y A），B点坐标为（x B，y B）．
∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）．
∴||==2，∴λ=2．
则=（x B﹣x A，y B﹣y A）=（4，6），
∴∵∴
∴B点坐标为（5，4）．
故答案为：（5，4）
14．4037
【解析】∵，
∴f（）+f（x）=+==2，
∴
=2018×2+f（1）
=4036+=4037．
故答案为：4037．
15．
【解析】由a n+1=，两边取倒数可得：=+，变形为：﹣1=（﹣1），
∴数列{﹣1}是等比数列，首项为，公比为．
∴﹣1=．
∴a n=．
故答案为：a n=．
16．9
【解析】∵a n=﹣n2+13n﹣=﹣（n﹣）2+9，
∴a n＞0，等价于＜n＜，
∴当从第4项至第9项为正数，其余项为负数，
∴当n＞11时，a n a n+1a n+2恒小于0，
又∵a9a10a11＞0＞a8a9a10，
∴a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时n=9，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）=m+n，∴（1，3）=m（﹣1，2）+n（2，1）．
∴，解得m=n=1．
（2）+k=（1+2k，3+k），2﹣=（﹣3，1），
∵（+k）∥（2﹣），∴﹣3（3+k）=1+2k，解得k=﹣2．
18．解：由题意a n+1=4a n+3可以得到a n+1+1=4a n+3+1=4（a n+1）
所以数列{a n+1}是以a1+1=3为首项，以4为公比的等比数列．
则有a n+1=3×4n﹣1，
所以a n=3×4n﹣1﹣1．
19．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，
整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，
即2cos C sin（π﹣（A+B））=sin C
2cos C sin C=sin C
∴cos C=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=ab sin C=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
20．解：（1）因为a n+1=2S n+1，…①
所以a n=2S n﹣1+1（n≥2），…②
所以①②两式相减得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2）
又因为a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1，
故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列
∴a n=3n﹣1．
（2）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，
又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，
解得d1=2，d2=﹣10
∵等差数列{b n}的各项为正，
∴d＞0，
∴d=2，
∴．
21．解：（1）设{a n}的公差为d，{c n}的公比为q，则d为正整数，
a n=3+（n﹣1）d，c n=q n﹣1，
依题意有，①
解得，或，（舍去）
故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，c n=8n﹣1，
数列a n=2n+1，c n=8n﹣1；
（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
==（﹣），
++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），
=（1﹣+﹣+…+﹣），
=（1+﹣﹣），
=﹣，
∴++…+=﹣．
22．解：（1）∵，且．∴a3==．
a4==37．
（2），且．
由．
可得：a n+2﹣a n+1=（a n+1﹣a n），a2﹣a1=．
∴数列{a n+1﹣a n}是等比数列，首项与公比都为．
∴a n+1﹣a n=，
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=+…++
=+=﹣．
（3）数列{b n}的前n项和，
∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1==．
n=1时，b1=S1=，上式也成立．
∴b n=．
a n
b n=×（2n﹣1）﹣（2n﹣1）×．
设{（2n﹣1）×}的前n项和为A n，
则A n=+5×+…+（2n﹣1）×．
=++…+（2n﹣3）×+（2n﹣1）×，∴=+2×+…+﹣（2n﹣1）×=+2×（2n﹣1）×，
可得A n=10﹣（6n+15）×．
∴数列{a n b n}的前n项和T n=﹣10+（6n+15）×
=﹣10+（6n+15）×．。