高三第二次联考试题数学(理)Word版含答案

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2018届高三第二次联考
理科数学试题
命题学校：鄂南高中 命题人：陈佳敏 审题人：吕 骥
审题学校：襄阳四中 审定人：王启冲 张 婷
本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．设集合{|2,}x
A y y x R ==∈，{|}
B x y x R ==∈，则A
B =
A ．{}1
B ．(0,)+∞
C ．(0,1)
D ．(0,1]
2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=
A B ．2
C D ．3
3．在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与
ADP ∆的面积都不小于2的概率为
A ．
1
4
B ．13
C ．
47 D ．4
9
4．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为
A ．(2,4)
B ．(,2)(4,)-∞+∞
C ．(1,1)-
D ．(,1)
(1,)-∞-+∞
5．已知双曲线22
2
12x y a a -
=-的离心率为2，则a 的值为 A ．1 B ．2-
C ．1或2-
D ．-1
6．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则
A ．A
B
C += B ．2B AC = C ．
3A B C B +-=
D ．2
2
()A B A B C +=+
7．执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为
A ．1?m n -<
B ．0.5?m n -<
C ．0.2?m n -<
D ．0.1?m n -< 8．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
12
π
个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 A ．24
x π
=-
B ．4
x π
=
C ．524x π=
D ．12x π=
9．在2
3
9(1)(1)(1)x x x ++++
++的展开式中，含2x 项的系数是
A ．119
B ．120
C ．121
D ．720 10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤
无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为 A ．
1603 B ．160 C ．256
3 D ．64
11．已知椭圆22
:
143
x y C +=，直线:4l x =与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在直线l 上，则“BC //x 轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．下列命题为真命题的个数是
①ln 33ln 2<； ②ln e
π
π<
； ③15
2
15<； ④3ln 242e <
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面向量a 与b 的夹角为045，(1,1),1a b =-=，则2a b +=__________．
14．已知实数,x y 满足约束条件2001x y x y k x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪≤⎩
，且2z x y =+的最小值为3，则常
数k =__________．
15．考虑函数x
y e =与函数ln y x =的图像关系，计算：
2
1
ln e xdx =⎰__________．
16．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AD =，4CD =， ABC ∆为正三角
形，则BCD ∆面积的最大值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且2
2n n n S a a =+()n N *∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若0()n a n N *
>∈，令1
(+2)
n n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（12分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒．
（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（2）求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．
19．(12分)
某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[
)200,220，
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量
μ的值；
（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布()
2,N μσ
（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于240μ～度之间的概率；
（ⅰ）利用（ⅰ）的结论，从该市．．所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于240μ～ 度之间的户数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．
20．（12分）
如图，圆2
2
:4O x y +=，(2,0),(2,0)A B -，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2x =和2x =-于,E F 两点，连,AF BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线
C .
（1）记,AF BE 斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程； （2）设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ，与直线
2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆面积的比值
λ的最大值及取得最大值时m 的值．
21．(12分)
已知函数2
()(1+)1x
f x ax e =-．
（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
已知直线l 的参数方程为2
222
x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.
（1）分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 经过点(0,1)，求直线l 被曲线C 截得线段的长．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数()241,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()9f x ≤；
（2）若方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．
湖北省八校2018届高三第二次联考参考答案及评分说明
理科数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
A
D
B
C
D
B
A
B
A
A
C
13．10 14．2- 15．21e + 16．443+ 【提示】
11．若//BC x 轴；不妨设AC 与x 轴交于点G ，过A 作//AD x 交直线l 于点D 则：FD AG DE BC AC CD ==，EG CE AD CD =两次相除得：FG AD DE EG BC CE ⋅=
又由第二定义：AD AF DE BC BF CE ==1FG EG ∴=∴G 为EF 的中点
反之，直线AB 斜率为零，则BC 与x 轴重合 12．构造函数()F x x
=
求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数ln ()x
F x x =也可）
16．设,ADC ACD αβ∠=∠=，由余弦定理可知：22016cos AC α=-，
212cos 8AC AC β+=
又由正弦定理：2
2sin sin sin sin AC AC
αββα=⇒= 211312sin 312sin()2(sin cos )2()2322BCD
AC S BC CD BC BC AC παβββ∆+∴=⋅+=+=+4sin()433
π
α=-+ 所以最大值为443+
17．（1）1
(1)n n a -=-或n a n =；（2）323
42(1)(2)
n n T n n +=
-
++． 解析：（1）当1n =时，2
1112S a a =+，则11
a =
当2n ≥时，2211
122
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+
1(1)n n a -∴=-或n a n
= (6)
分
（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()
(2)22
n b n n n n =
=-++
1111111111323
[(1)()()][1]2324
222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-+
+-=+--=-+++ ………………
12分
18．（1）见解析；（2
解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，
∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FO
BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分
（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .
∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
………7分
设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,BD AC ==
∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =
∴)()()(,0,1,0,0,1,0,A
B D F -，
∴()()()
1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =--=-=-.
设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则30
30
AF n x AB n x y ⎧⋅=-=⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩， 取1x =，得()
1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，
………10分 则1sin co 5s ,AD n AD n AD n
θ⋅==
=
⋅.
…………………12分 注：用等体积法求线面角也可酌情给分 19．（1）0.0075,225.6x μ==；（2）（ⅰ）
15（ⅱ）分布列见解析，3
()5
E Y = 解析：（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得0.0075x =
………………2分
1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05225.6
μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………4分 （2）（ⅰ）()()11
225.62401224025P X P X ⎡⎤<<=
->=⎣⎦ ……………6分
（ⅱ）因为513,Y B ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
～，()33
1455i
i
i P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,3i =.
所以
的分布列为
所以13()355
E Y =⨯=.
…………………………12分 20．（1）12
14k k ⋅=-，221(0)4x y y +=≠；
（2）5
3
m =- ，取得最大值255． 解析：（1）设000(,)(0)D x y y ≠，
易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22
004x y +=
则
00
00
4242(2,
),(2,)x x E F y y -+-，
00
2200001222004242164414416164
x x y y x y k k y y -+--∴⋅=⋅===---…………3分 设(,)G x y ，由2
212111(0)42244
y y x k k y y x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=≠-+ 故曲线C 的方程为2
21(0)
4
x y y +=≠
…………………5分
（2）2222
5844044
y x m
x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨
+=⎩，
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2
1212844,55
m x x m x x -+=-⋅=， …………………7分
由22
=6420(44)0m m m ∆-->⇒<<0,2m m ≠≠±
……………8分
与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T
(2,2),(1,1)S m T m ∴+---
，令3+,(35,35)m t t =∈-+且1,3,5t ≠
则
……………10分
当
，即45,33
t m =
=-时，取得最大值
25
5.…………………12分 21．（1）见解析；（2）见解析. 解析：（1）
2'()(21)x f x ax ax e =++
……………1分
当0a =时，'()0x
f x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；
……………2分
当0a >时，2=44a a ∆-
①当01a <≤时，0∆≤，2210ax ax ++≥恒成立，'()0f x ∴≥，此时()f x 在R 单调递增；……3分
②当1a >时，令12'()011f x x x =⇒=-=-
即()f x 在(,1-∞-和
(1)
-+∞上单调递增；在(11--上单调递
减；
……5分
综上：当01a ≤≤时，()f x 在R 单调递增；
当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-+∞上单调递增；在
(11--上单调递减；
……
……………6分
（2）由（1）知，
当01a ≤≤时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当1a >
时，10-<
且10-<，()f x ∴在[0,1]单调递增；(0)=0f ，此时()
f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当0a <
时，令'()010f x x =⇒=-（负值舍去）
①当11-即1
03
a -
≤<时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
②当11-即13
a <-时
若(1)0f >即
11
13a e -<<-时，()f x
在[0,1-
单调递增，在[1-+单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
若(1)0f ≤即11a e ≤
-时，()f x
在[0,1-
单调递增，在[1-+单调递减，
(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =
和在区间[1-有一个零点共两个零点；
综上：当1
1a e ≤
-时，()f x 在区间[0,1]上有2个零点； 当1
1a e
>-时，()f x 在区间[0,1]上有1个零点.
…………………12分
22．（1）0x y a +-=，2
4y x =；（2）8.
解析：（1）显然y x a =-+⇒0x y a +-=
…………………2分
由可得，即
， …………………5分
（2）直线
2
2x t y a t ⎧=-
⎪⎪⎨
⎪=+⎪
⎩ 过(0,1)，则1a =
将直线的参数方程代入得
，121262
2
t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩ 由直线参数方程的几何意义可知，
第11页 共11页 .
…………………10分 注：直接用直角坐标方程联立计算也可 23．（1）
；（2）19[,7]4a ∈. 解析：（1）可化为
2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339
x x <-⎧⎨-+≤⎩； 或
或 不等式的解集为； …………………5分
（2）由题意：2()f x x a =-+25,[0,2]a x x x ⇔=-+∈
故方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[0,2]上有交点
当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈
19[,7]4a ∴∈ …………………10分。