专题02 立方根-解析版

专题02 立方根
【思维导图】
◎考点题型1 立方根的概念
1、如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，
2、表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a。

例．（2022秋·七年级统考期末）关于平方根与立方根知识，下列说法正确的是（）
A．如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根
B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
C．平方根是它本身的数只有0，立方根是它本身的数也只有0
D．如果一个数有正负两个平方根，那么这个数也有正负两个立方根
【答案】A
【分析】根据平方根以及立方根的定义解决此题．
【详解】解：A根据平方根以及立方根的定义，一个数有平方根，则这个数非负数，这个数一定有立方根，那么A正确，故A符合题意．
B.根据平方根以及立方根的定义，一个数有立方根，则这个数可能是负数，但负数没有平方根，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据平方根以及立方根的定义，平方根等于本身的数是0，立方根等于本身的数有1或0或1-，那么C 错误，故C 不符合题意．
D.根据平方根以及立方根的定义，一个数有正负两个平方根，则这个数正数，但这个正数只有一个立方根，那么D 错误，故D 不符合题意．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查平方根以及立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义是解决本题的关键．变式1．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）下列说法；①任何数都有平方根；②4±是64的立方根；③2a 的算术平方根是a ；④()34-的立方根是4-；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可．
【详解】解：①只有非负数才有平方根，故①错误；
②4是64的立方根，故②错误；
③0a ³时，2a 的算术平方根是a ，a<0时，2a 时算术平方根是a -，故③错误；
④()34-的立方根是4-，故④正确；
⑤算术平方根总大于或等于0，即不可能为负数，故⑤正确，
∴有3个不正确
故选：B ．
【点睛】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键．变式2．（2023春·七年级课时练习）下列结论正确的是（ ）
A ．216的立方根是6±
B ．立方根是等于其本身的数为0
C ．18
-没有立方根D ．64的立方根是4
D 、3464=，所以64的立方根是4，故选项D 正确，符合题意，
故选：D ．
【点睛】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根的方法是解答本题的关键．
变式3．（2022秋·浙江·七年级期中）已知数a 的平方根与其立方根相同，数b 和其相反数相等，则a b +=（ ）
A ．1
-B ．0C ．1D ．2【答案】B
【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出a ，b 的值，进而得出答案．
【详解】解：∵数a 的平方根与其立方根相同，数b 和其相反数相等，
∴0a =，0b =，
则0a b +=，
故选：B ．
【点晴】本题主要考查了平方根以及立方根、相反数的定义，正确得出a ，b 的值是解题关键．◎考点题型2 求一个数的立方根1、立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０.
2、开立方概念：求一个数的立方根的运算。

3、开平方的表示： （a 取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【注意】:０的平方根和立方根都是０本身。

n 次方根(扩展)
1、概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。

当n 为奇数时，这个数叫做的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做的偶次方根。

2、性质：正数的偶次方根有两个：；0的偶次方根为0：；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

例．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）下列各式中正确的是（ ）
A 3
=±B x C x =-D x =-
变式1．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A ．3±是27的立方根
B 的立方根为3
C ．25的平方根为5
D ．负数没有平方根，但有立方根
变式2．（2023春·全国· ）
A ．8-
B ．8
C ．2
D ．2-
变式3．（2022秋·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）若实数x，y，z满足
()240
y-=，则xy的立方根是（）
A．8B．8-C．4D．4-
◎考点题型3 已知一个数的立方根求这个数
例．（2022春·山东德州·七年级校考期中）若a2＝16＝2，则a+b的值为（ ）A．12B．4C．12或﹣4D．12或4
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的意义求出a、b即可．
【详解】解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
变式1．（2019春·广西南宁·七年级统考期中）已知（2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（ ）
A．0或10B．0或﹣10C．±10D．0
A．4
5
B．
4
5
-C．
4
5
±D．
64
125
-
变式3．（2023春·七年级课时练习）若a2=162
=-，则a+b的值是()
A．12B．12或-4C．12或4D．-12或-4
◎考点题型4 立方根的实际应用
例．（2023春·七年级课时练习）一个长、宽，高分别为50cm、8cm、20cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（）
A．20cm B．200cm C．40cm D
变式1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）李老师想制作一个体积为3
900cm的正方体教具，它的棱长大约
是（结果精确到1cm）（）
A．30cm B．8cm C．9cm D．10cm
变式2．（2023春·七年级课时练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
变式3．（2021春·安徽阜阳·，则x 和y 的关系是( )．
A ．x ＝y ＝0
B ．x 和y 互为相反数
C ．x 和y 相等
D ．不能确定
◎考点题型5 算术平方根和立方根的综合应用
例．（2023春·全国·270-=，那么6()a b +的立方根是( )
A ．-1
B ．1
C ．3
D ．7
变式1．（2022秋·八年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．a2与（﹣a）2相等B
C D．|a|与|﹣a|互为相反数
变式2．（2023春·全国· 1.442
=等于（）
=0.6694
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
变式3．（2021秋·八年级单元测试）若A=m m+n+3的算术平方根，B=2
m n
-m+2n的立方根，则B-A的立方根是（）
A．1B．-1C．0D．无法确定
【答案】B。