蒙阴县第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

蒙阴县第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（
）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．120
2． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．±2
C ．0
D ．2
3． 下列命题中正确的是（ ）（A ）若为真命题，则为真命题
p q ∨p q ∧（ B ） “，”是“
”的充分必要条件0a >0b >2b a
a b
+≥ （C ） 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠（D ） 命题，使得，则，使得:p 0R x ∃∈2
0010x x +-<:p ⌝R x ∀∈210
x x +-≥4． 方程表示的曲线是（
）
1x -=A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
5． 已知、、
的球面上，且，，球心到平面的距离为A B C AC BC ⊥30ABC ∠=o
O ABC 1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
M BC M
O A B ．
C
D ．34
π3π
6． 函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）
A ．
B ．
C ．π
D ．2π
7． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知集合A={0，m ，m 2﹣3m+2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
9． 459和357的最大公约数（
）
A ．3
B ．9
C ．17
D ．51
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A
D
O C
B
10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等
于（）
A．B．C．24D．48
11．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）
A．B．πC．D．
12．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向
点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
二、填空题
13．椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．14．已知数列
的前项和是
, 则数列的通项
__________
15．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
16．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ．17．已知是数列的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是n S 1{}2n n -n 1
|12
n n n S λ-+<+｜n N *
∈λ___________．
【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．18．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
三、解答题
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）S n=b﹣a n+1对一切n∈N*都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{S n}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4x sin C＋6≥0对一切实数x恒
成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
21．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=lna3n+1，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．
22．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？　
23．（本小题满分12分）
设曲线:在点处的切线与轴交与点，函数．C ln (0)y a x a =≠00(,ln )T x a x x 0((),0)A f x 2()1x
g x x
=+（1）求，并求函数在上的极值；
0()f x ()f x (0,)+∞（2）设在区间上，方程的实数解为，的实数解为，比较与的大小．
(0,1)()f x k =1x ()g x k =2x 1x 2x 24．（1）设不等式2x ﹣1＞m （x 2﹣1）对满足﹣2≤m ≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；（2）是否存在m 使得不等式2x ﹣1＞m （x 2﹣1）对满足﹣2≤x ≤2的实数x 的取值都成立．　
蒙阴县第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得；该班级数学成绩的平均分是=80×0.005×20+100×0.015×20+120×0.02×20+140×0.01×20=114．故选：B ．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．　
2． 【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0．故选：C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．　
3． 【答案】D
【解析】对选项A ，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，p q ∨,p q p q ∧故选项A 错误；对于选项B ，
的充分必要条件是同号，故选项B 错误；命题“若2b a
a b
+≥,a b ，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C 错误；
2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠故选D ．4． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程，两边平方得，即，所
1x -=2
2
1x -=2
2
(1)(1)1x y -++=以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.考点：曲线的方程.5． 【答案】B
【解析】∵，∴，
AC BC ⊥90ACB ∠=o
∴圆心在平面的射影为D 的中点，
O AB
∴
，∴．1
12
AB ==2AB =
∴，
cos30BC AC ==o
当线段为截面圆的直径时，面积最小，
BC
∴截面面积的最小值为．234
ππ⨯=6． 【答案】C
【解析】解：函数y=2sin 2x+sin2x=2×+sin2x=
sin （2x ﹣
）+1，
则函数的最小正周期为=π，
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin （ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin （ωx+φ）的周期为
，属于基础题．
7． 【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．　
8． 【答案】B
【解析】解：∵A={0，m ，m 2﹣3m+2}，且2∈A ，∴m=2或m 2﹣3m+2=2，解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立．当m=2时，集合A={0，0，2}不成立．当m=3时，集合A={0，3，2}成立．故m=3．故选：B ．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．　
9． 【答案】D
【解析】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，
∴459和357的最大公约数是51，
故选：D．
【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．
10．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
11．【答案】C
【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
12．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
可得c=2，2a==8，可得a=4，
b2=a2﹣c2=12，可得b=2，
椭圆的短轴长为：4．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
14．【答案】
【解析】
当时，
当时，，
两式相减得：
令得，所以
答案：
15．【答案】49
【解析】解：
==7a 4=49．故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．　
16．【答案】　m ≥2　．
【解析】解：集合A={x|x+m ≥0}={x|x ≥﹣m}，全集U=R ，所以C U A={x|x ＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x ＜4}，且（∁U A ）∩B=∅，所以有﹣m ≤﹣2，所以m ≥2．故答案为m ≥2．　
17．【答案】31
λ-<<【解析】由，…2211111123(1)2222n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅+L g 211112222
n S =⨯+⨯+，两式相减，得，所以，
111(1)22n n n n -+-⋅+⋅2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-L 12
42
n n n S -+=-于是由不等式对一切恒成立，得，解得．
12
|142
n λ-+<-｜N n *∈|12λ+<｜31λ-<<18．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
符合，跳出循环．
43>三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *都成立，由题意得当n=1时，（1﹣a ）b=b ﹣a 2，∴a 2=ab=aa 1，当n ≥2时，（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1，（1﹣a ）S n+1=b ﹣a n+1，两式作差，得：a n+2=a •a n+1，n ≥2，∴{a n }是首项为b ，公比为a 的等比数列，∴
．
（Ⅱ）当a=1时，S n =na 1=nb ，不合题意，
S 01627n
1
2
3
4
当a≠1时，，
若，即，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a，b，使得{S n}成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
20．【答案】
【解析】
21．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．
（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．
b n=lna3n+1=ln23n=3nln2．
∴数列{b n}的前n项和T n=3ln2×（1+2+…+n）
=ln2．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C 103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P （ξ=240）
=
，P （ξ=60）=
P （ξ=30）=
，P （ξ=0）=1﹣
∴变量的分布列是ξ
ξ
03060240
P
∴ E ξ=
=20
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B （4，
）∴D η=4×
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．
23．【答案】【解析】（1）∵，∴．ln y a x =a y x
'=
∴曲线在点处的切线斜率，C T 0
a k x =∴切线方程为．000()a y y x x x -=-令，得，
0y =000()x y a x x -=-∵，∴，∴．
00ln y a x =000ln ()x a x a x x -=-000ln x x x x =-∴．∴．．
0000()ln f x x x x =-()ln f x x x x =-()ln f x x '=-当时，，单调递增，当时，，单调递减，
01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ∴当时，取得极大值，无极小值．
1x =()f x (1)1f = （2）由题设知，，故，解得．1()f x k =2()g x k =2221x k x =+22k x k
=-
将代入上式得，1()f x k =121()2()
f x x f x =
-∴，111121111()(1)()22()2()f x x f x x x x x f x f x +--=-=--11111(1)2[(1ln )2()1x x x f x x +=---+ ∵，由（1）知，∴，
1(0,1)x ∈1()1f x <12()0f x -> ∵，∴．11(1)0x x +>111(1)02()x x f x +>- 令，则，2()(1ln ),(0,1)1h x x x x
=--∈+222121()0(1)(1)x h x x x x x --'=-+=<++∴在上单调递减，∴，即，()h x (0,1)()(1)0h x h >=11
2(1ln )01x x -->+∴，从而．
210x x ->21x x >选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
24．【答案】
【解析】解：（1）令f （m ）=2x ﹣1﹣m （x 2﹣1）=（1﹣x 2）m+2x ﹣1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切实数都有2x ﹣1＞m （x 2﹣1）成立．
所以，，即，即
所以，．
（2）令f （x ）=2x ﹣1﹣m （x 2﹣1）=﹣mx 2+2x+（m ﹣1），使|x|≤2的一切实数都有2x ﹣1＞m （x 2﹣1）成立．当m=0时，f （x ）=2x ﹣1在
时，f （x ）≥0．（不满足题意）当m ≠0时，f （x ）只需满足下式：或或或，
解之得结果为空集．
故没有m 满足题意．
【点评】本题以不等式为载体，恒成立问题，关键是构造函数，变换主元，考查解不等式的能力．属于中档题．。