高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第22讲 正弦定理和余弦定理实战演练 理-人教版高三全

2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第22讲 正
弦定理和余弦定理实战演练 理
1．(2015·卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C
＝1. 解析：在△ABC 中，由余弦定理的推论可得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34
，由正弦定理可知 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos A c ＝2×4×346
＝1. 2．(2015·某某卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的
面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14
，则a 的值为8. 解析：因为cos A ＝－14，0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154.由315＝12
bc sin A 得bc ＝24.又因为b －c ＝2，所以b ＝6，c ＝4.由余弦定理得
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝36＋16＋12＝64，故a ＝8.
3．(2016·卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2
＋2ac .
(1)求B 的大小；
(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解析：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22
.又因为0<B <π，所以B ＝π4
. (2)由(1)知A ＋C ＝3π4
， 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 4．(2016·某某卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A
. (1)证明：a ＋b ＝2c ；
(2)求cos C 的最小值．
解析：(1)由题意知2⎝
⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B
＋ sin B cos A cos B
， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．从而sin A ＋sin B ＝2sin C ．由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12
，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12
.。