求解伪单调广义变分不等式的次梯度外梯度算法

求解伪单调广义变分不等式的次梯度外梯度算法
一、引言
伪单调广义变分不等式（Pseudo-Monotone Generalized Variational Inequality, PMGVI）是一类重要的非线性问题，广泛应用于经济学、管理学、工程技术等领域。

PMGVI的求解是一个复杂的过程，需要采用高效的算法来实现。

本文将介绍一种常用的求解PMGVI问题的算法——次梯度外梯度算法。

二、问题描述
PMGVI是指以下形式的不等式：
$$\langle F(x),y-x\rangle\geq0,\forall y\in S(x)$$
其中，$x$表示未知变量，$F(x)$表示一个映射函数，$S(x)$表示一个集合函数。

PMGVI问题通常有以下两类：
1. 强P-单调广义变分不等式：对于任意$x,y\in R^n$，都有$\langle F(x)-F(y),x-y\rangle\geq c||x-y||^2$，其中$c>0$为常数。

2. P-单调广义变分不等式：对于任意$x,y\in R^n$，都有$\langle F(x)-F(y),x-y\rangle\geq0$
三、次梯度外梯度算法
次梯度外梯度算法（Subgradient-Extragradient Algorithm, SEA）是一种求解PMGVI问题的有效算法。

其基本思想是通过内部循环求解一个次梯度问题，然后通过外部循环来更新变量。

具体步骤如下：
1. 初始化$x^0\in R^n$和$t_0>0$。

2. 对于$k=0,1,2,...$，执行以下步骤：
(a) 计算次梯度问题：
$$F(x^k)+\alpha_k(x^{k+1}-x^k)\in\partial h(x^{k+1})$$
其中，$\partial h(x)$表示$h(x)$的次梯度集合，$\alpha_k>0$为步长参数。

(b) 更新变量：
$$x^{k+1}=\arg\min_{y\in S(x)}\{\langle
F(x^k)+\alpha_k(x^{k+1}-x^k),y\rangle+\frac{1}{2t_k}||y-
x^{k+1}||^2\}$$
(c) 更新步长：
$$t_{k+1}=\gamma t_k$$
其中，$\gamma>1$为步长缩放因子。

四、算法收敛性分析
SEA算法的收敛性主要取决于次梯度问题的求解和变量更新的策略。

在实际应用中，可以采用一些特定的技巧来提高算法的收敛速度和稳定性。

以下是一些常用的技巧：
1. 步长选择：可以采用线性或非线性的步长策略来控制算法的收敛速度和稳定性。

2. 次梯度计算：可以采用随机次梯度或批量次梯度等技术来加速次梯度问题的求解。

3. 变量更新：可以采用投影算子、迭代重构等技术来加速变量更新过程，提高算法的收敛速度和稳定性。

五、总结
本文介绍了一种常用的求解PMGVI问题的算法——次梯度外梯度算法。

该算法通过内部循环求解一个次梯度问题，然后通过外部循环来更新变量，具有较好的收敛性和稳定性。

在实际应用中，可以采用一些特定的技巧来提高算法的效率和精度。