2019-2020学年高中数学人教A版必修2练习：第二章 2.3 2.3.3 - 2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直

一、选择题
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．异面D．相交或平行
解析：∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．
答案：B
2．如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.
答案：A
3．(2012·佛山高一检测)如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
解析：∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α，β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.
答案：D
4．(2012·广州高一检测)在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠
PCA＝90°，△
ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为
( )
A．2 3 B．27
C．4 3 D．47
解析：连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小
值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×
3
2＝23，所
以PM的最小值为27.
答案：B
二、填空题
5．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________(只填序号即可)．
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
解析：①线面垂直的性质定理；②面面平行的性质定理；③平行公理．
答案：①②③
6．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠
BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD.则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
7．(2012·长春高一检测)线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图设AB中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知
AA1∥MM1∥BB1，
四边形AA1B1B为直角梯形，
AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
答案：4
8．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．
解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．
答案：②④
三、解答题
9．(2012·临沂高一检测)如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明：∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，且MN、DN⊂平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
10．(2012·天津高一检
测)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC.D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AD⊥侧面BB1C1C.
∴AD⊥CC1；
(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C.
∴ME∥AD.∴M，E，D，A共面．
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.
∵CC1∥AM，∴DE∥CC1.
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．
∴AM＝DE＝1
2CC1＝
1
2AA1，∴AM＝MA1.。