苏教版九年级数学上册 期末试卷中考真题汇编[解析版]

苏教版九年级数学上册 期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．30°或150° D ．45°或135°
2．在平面直角坐标系中，
O 的直径为10，若圆心O 为坐标原点，则点()8,6P -与O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在O 上
B ．点P 在O 外
C ．点P 在O 内
D ．无法确定
3．下列是一元二次方程的是（ ）
A ．2x +1＝0
B ．x 2+2x +3＝0
C ．y 2+x ＝1
D ．1x
＝1 4．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点
D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）
A ．3.6
B ．4.8
C ．5
D ．5.2
5．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）
A ．18°
B ．24°
C ．30°
D ．26° 6．一元二次方程x 2－x ＝0的根是（ ）
A ．x ＝1
B ．x ＝0
C ．x 1＝0，x 2＝1
D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点． A ．三条边垂直平分线
B ．三条中线
C ．三条角平分线
D ．三条高 8．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1 9．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x =
10．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )
A ．在⊙O 的内部
B ．在⊙O 的外部
C ．在⊙O 上
D ．在⊙O 上或⊙O 内部
11．方程2210x x --=的两根之和是（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．12
D ．12
- 12．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +a ﹣1＝0没有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．a ＜﹣2 D ．a ＞﹣2
二、填空题
13．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.
14．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.
15．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
16．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________；
17．若线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为_____cm.（结果保留根号）
18．如图，已知正方ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为13+，则这个正方形的边长为_____________
19．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．
20．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．
21．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）
22．已知⊙O半径为4，点,A B在⊙O上，
213
90,sin
13
BAC B
∠=∠=，则线段OC
的最大值为_____．
23．数据1、2、3、2、4的众数是______．
24．若点 M（-1， y1），N（1， y2），P（7
2
, y3 ）都在抛物线 y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m
＞0）上，则y1、y2、y3大小关系为_____（用“＞”连接）．
三、解答题
25．如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB，某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为35︒，吊灯底端B的仰角为30，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B 的仰角为60︒．请根据以上数据求出吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，2≈1.41，3≈1.73）
26．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆
上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明．
(2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)
(3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．
27．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?
（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
28．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．
29．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
30．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为
2：1，点C 2的坐标是 ；
（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．
31．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.
（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.
（3）（问题拓展）如图3，,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =.连接交于点，连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.
32．计算：
（1）()2
8233+-- （2）()1
03127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA 和OB ，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB ＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA ，OB ，
则OA ＝OB ＝3，
∵AB ＝2，
∴OA 2+OB 2＝AB 2，
∴∠AOB ＝90°，
∴劣弧AB 的度数是90°，优弧AB 的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB 对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
求出P 点到圆心的距离，即OP 长，与半径长度5作比较即可作出判断.
【详解】
解：∵()8,6P -，
∴10= ，
∵O 的直径为10，
∴r=5,
∵OP>5,
∴点P 在O 外.
故选：B.
【点睛】
本题考查点和直线的位置关系，当d>r 时点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内,解题关键是根据点到圆心的距离和半径的关系判断. 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、方程2x+1＝0中未知数的最高次数不是2，是一元一次方程，故不是一元二次方程；
B 、方程x 2+2x+3＝0只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，故是一元二次方程；
C 、方程y 2+x ＝1含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；
D 、方程
1x
＝1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程. 故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．是否符合定义的条件是作出判断的关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：////AD BE CF ，
AB DE BC EF ∴=，即1 1.23EF
=， 3.6EF ∴＝，
3.6 1.2
4.8DF EF DE ∴++＝＝＝，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E 的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接CO,
∵CE ＝OB ＝CO=OD ，
∴∠E ＝∠1，∠2＝∠D
∴∠D=∠2＝∠E +∠1＝2∠E ．
∴∠3＝∠E +∠D ＝∠E +2∠E ＝3∠E ．
由∠3＝72°，得3∠E ＝72°．
解得∠E ＝24°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程即可解答.
【详解】
x 2－x ＝0
x(x-1)=0,
x=0或x-1=0,
∴x 1＝0，x 2＝1.
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟知用因式分解法解一元二次方程的方法是解决问题的关键.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】
解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
8．D
解析：D
【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，
∴()2
240m =-->，
解得：m ＜1．
故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【详解】
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r 的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..
【详解】
解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，
解得d≤1，
∵⊙O的半径为r=1,
∴d≤r
∴点P在圆内或在圆上.
故选：D.
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用两个根和的关系式解答即可.
【详解】
两个根的和=
11
22
b
a
，
故选：C.
【点睛】
此题考查一元二次方程根与系数的关系式， 1212,b c x x x x a a
+=-=. 12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意得根的判别式0<，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】
∵1a =，2b =-，1c a =-，
由题意可知：
()()2
2424110b ac a =-=--⨯⨯-<⊿，
∴a ＞2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式24b ac =-⊿：当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根． 二、填空题
13．9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9
解析：9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程223x x =+的一个根，
∴2a 2=a+3,
∴2a 2-a=3,
∴()
2263=32339a a a a --=⨯=.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键. 14．【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x ，则BD=8-
解析：【解析】
【分析】
设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 60︒=
()1 S 82x x =-. 【详解】
解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =
⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x
所以，()()21S 84224
x x x =-⨯=--+
∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
15．15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=1
2
×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
16．5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的
解析：5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴2222
6810
AB AC BC，
∴△ABC外接圆半径为5.
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.
17．或
【解析】
【分析】
根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm，C是黄金分割点，
当AC>BC时,
则有
解析：5或1555
【解析】
【分析】
计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为
较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm，C是黄金分割点，
当AC>BC时,
则有×10=5，
当AC<BC时,
-，
则有×10=5
∴AC=AB-BC=10-(5）=15-，
∴AC长为5 cm或1555 cm.
故答案为：55或1555
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
18．【解析】
【分析】
将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短
EA+EB+EC=GF+E
【解析】
【分析】
将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，根据旋转的性质可证△AEF 和△ABG 为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，表示Rt △GMC 的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长.
【详解】
解：如图，将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置，连接EF,GC,BG ，过点G 作BC 的垂线交CB 的延长线于点M.设正方形的边长为2m ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°，
∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ，
∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,
∴△AEF 和△ABG 为等边三角形，
∴AE=EF,∠ABG=60°，
∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，
∴GC=13
∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，
∴在Rt △BGM 中，GM=m ，3m ， Rt △GMC 中，勾股可得222GC GM CM =+，
即：222(32)(13)m m m ++=+，
解得：22
m =， ∴边长为22m =
2.
【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理.能根据旋转作图，得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.
19．【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【详解】
二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟
解析：2500(1)720x +=
【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2
500(1)720x +=.
【详解】
二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2500(1)720x +=.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 20．2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，计算方差即可．
【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴(9+10+12+x+8
解析：2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S 2＝1n
[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]，计算方差即可．
【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴1
5
(9+10+12+x+8)＝10，
解得：x＝11，
∴S2＝1
5
[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，
＝1
5
×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．【点睛】
本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1
n
[（x1﹣
x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21．60π
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧
解析：60π
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 22．【解析】
【分析】
过点A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE的最大值，则答案即可求出.
4138
3
【解析】
【分析】 过点
A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AE
B AO
C ∆∆，可得出23
OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
【详解】 解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,
∵OAE BAC AEO ABC
∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ , ∴ABC AEO ∆∆, ∴tan AC AO B AB AE ∠=
=, ∵13sin 13
B ∠=, ∴2213313cos 11313B ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭
, ∴213
sin 213tan cos 3
313B B n B ∠∠===∠, ∴23
AO AE =， 又∵4AO =,
∴6AE =,
∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴ =EAB OAC ∠∠，
又∵
AC AO AB AE
=， ∴AEB AOC ∆∆,
∴23
OC AC BE AB ==, ∴23
OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,
∵OE =
==，
∴4OE OB +=,
∴BE 的最大值为：4，
∴OC 的最大值为：
()
28433=. 【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 23．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
24．y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y
解析：y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝
4
2
2
m
m
-=
-
，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．三、解答题
25．吊灯AB的长度约为1.1米．
【解析】
【分析】
延长CD交AB的延长线于点E，构建直角三角形，分别在两个直角三角形△BDE和△AEC 中利用正弦和正切函数求出AE长和BE长，即可求解.
【详解】
解：延长CD交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，
∵∠BDE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DCB＝∠CBD，
∴BD＝CD＝6（米）
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BE BD
，
∴BE＝BD•sin∠BDE═6×sin60°＝3≈5.19（米），
DE＝1
2
BD＝3（米），
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝AE CE
，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝（6+3）×tan35°≈9×0.70＝6.30（米），
∴AB＝AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1（米），
∴吊灯AB的长度约为1.1米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是构建直角三角形，利用锐角三角函数进行解答.
26．(1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．
(3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【详解】
解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC
(2)证明：连接MD、ME
∵BD、CE是△ABC的高
∴BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC＝∠CEB＝90°∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝1
2
BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上∴∠ABC+CDE＝180°
∵∠ADE+∠CDE＝180°
∴∠ADE＝∠ABC
(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN
∵CE、AF是△ABC的高
∴∠BEG＝∠BFG＝90°
∴EN＝FN＝1
2
BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上
∴∠FBG＝∠FEG
∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上
∴∠FBG＝∠CED
∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG
∴点G是△DEF的内心
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系.
27．（1）
24
2
33
y x x
=--+，
1
3
x<-或
2
1
>
x；（2）P
35
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；（3）1234
(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)
--+-
Q Q Q Q
【解析】
【分析】
（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时y﹤0；
（2）设出P点坐标2
24
2
33
m m m
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO
S S S S
=+-，带入各个三角形面积算法可得出
PAC
S与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.【详解】
解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
0932
02
a b
a b
=-+
⎧
⎨
=++
⎩
解得：
2
3
4
3
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
∴二次函数解析式为
24
2
33
y x x
=--+.
由图像可知，当x3
<-或x1
>时y﹤0；
综上：二次函数解析式为
24
2
33
y x x
=--+，当x3
<-或x1
>时y﹤0；
（2）设点P坐标为2
24
2
33
m m m
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
，，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233
=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO S
S S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()22124113223232332
2m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<
∴函数23PAC S
m m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，
此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝
⎭； 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝
⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q
假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =
∵CM ∥x 轴，
∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，
∴M （﹣2,2），
∴CM=2.
由1Q A =22Q A CM ==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q ；
②若CM 不平行于x 轴，如下图，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，
易证△MGQ ≌△COA ，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2M y =-.
设M （x ，﹣2），则有242=233
--+-x x ，解得：x 17=- 又QG=3,∴327Q G x x =+= ∴34(27,0),(27,0)Q Q
综上所述，存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q 点坐标为：
1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q .
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析. 28．
173
cm 【解析】
【分析】 设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，由垂径定理可求出BD 的长，再根据最深地方的高度是3cm 得出OD 的长，根据勾股定理即可求出OB 的长．
【详解】
解：设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，
则AD ＝BD ＝
12AB ＝12
×10＝5cm ， ∵最深地方的高度是3cm ，
∴OD ＝r ﹣3，
在Rt △OBD 中，
OB 2＝BD 2+OD 2，即2r ＝52+（r ﹣3）2， 解得r ＝173
（cm ），
∴输水管的半径为
17
3
cm．
【点睛】
本题考查了垂径定理，构造圆中的直角三角形，灵活利用垂径定理是解题的关键. 29．（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q 坐标为：(﹣2，2)或(﹣515或(﹣155)或(2，﹣2)．
【解析】
【分析】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知
PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．
【详解】
（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得
420
2
a b c
c
a b c
-+=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪++=
⎩
，
解得：
1
1
2
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，
∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝1
2 MD•OA
＝1
2
×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m
＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，
∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，
即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣5x2＝﹣15
∴Q（﹣51515，5
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，
∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，
∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣515155（2，﹣2）．
【点睛】
本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键．
30．（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【解析】
试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．
故答案为10．
考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
31．（1）45；（2）25°；（351
【解析】
【分析】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用。