陕西省西工大附中高三数学上学期第一次适应性训练试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练
高三数学（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{
{}
,2013A y y B x x m ===-<，若A B A =I ，则m 的取值
范围是（ ）
A ．[]2012,2013-
B ．()2012,2013-
C ．[]2013,2011-
D ．()2013,2011- 【答案】B
【
解
析
】
{{}{}
|01,2013A y y x x B x x m ===≤≤=-<
{}20132013x m x m =-+<<+，因为A B A =I ，所以A B ⊆，所以
20131
,-2012201320130
m m m +>⎧<<⎨
-+<⎩解得，因此选B 。

2．若1
tan 3,tan θθ
+=则sin 2θ=（ ） A ．
15 B ． 13 C ． 23 D ． 12
【答案】C
【解析】因为1
tan 3,tan θθ
+=，所以
22sin cos sin +cos 3,=3cos sin sin cos θθθθθθθθ+=即，1=3sin cos θθ所以
，2
sin 22sin cos 3
θθθ==即。

3．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2
2
1
2
a b +≥”的否命题是（ ） A ．若1a b +≠，则22
12a b +< B ． 若1a b +=，则22
12
a b +< C ．若22
12a b +<，则1a b +≠ D ． 若22
12
a b +≥，则1a b += 【答案】A
【解析】命题“若1a b +=，则22
12a b +≥
”的否命题是：若1a b +≠，则22
12
a b +<。

4．由曲线x x y 22
-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
32 B ．65 C ．31 D ．6
1 【答案】D
【解析】()()1
1
1
22
3200011123
26S x x x dx x x dx x x ⎛⎫=--+=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰。

5. 函数(
)f x =
）
A ．[]1,2
B ．[]0,2 C
．(
D
．⎡⎣
【答案】A 【解析】由40,451530
x x x -≥⎧≤≤⎨-≥⎩得，
所以设24sin 02x t t π⎛⎫-=≤≤ ⎪⎝⎭，则2
15-33cos x t =，所
以sin 2sin 3y t t t π⎛⎫
=
=+=+ ⎪⎝
⎭，因为02t π≤≤，所以
53
3
6t π
π
π≤+
≤
，所以12sin 23t π⎛⎫
≤+≤ ⎪⎝⎭
，所以函数(
)f x =[]1,2。

6. 设0.50.5
0.30.5,0.3,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ． a b c <<
C ． c b a <<
D ．b a c << 【答案】D
【解析】因为函数[)1
2
0+y x =∞在，上单调递增，所以0.5
0.510.5
0.30a b >=>=>，
0.30.3log 0.2log 0.31c =>=，所以b a c <<。

7．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为3
5
,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( ) A ．
36125 B ． 54125 C ． 81125 D ． 27125
【答案】C
【解析】此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为2
3
23
32381555125
C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n
a
b 为整数的正整数n 的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】D
【解析】因为()()
()()()()1212112121217214527192212213
12n n n n n n n n n a a n a a A n n b b b b B n n -----+-++=====-+-++，因为71912
711
n n n +=+
++，所以要使n n a b 为整数，需1,2,3,5,11n =，共5个。

9．已知函数()ln ,0
0,0
x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 【答案】C
【解析】由()()20f x f x -=得()()01f x f x ==或。

由()0f x =得x=0或1x =±；由
()1f x =得1
ln 1x x e x e
==±=±，解得或，所以方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为7.故选C 。

10．已知21,F F 分别为双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线左支上
任意一点，若|
|||12
2PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）
A.),1(+∞
B.]3,0(
C.]3,1(
D.]2,1( 【答案】C 【
解
析
】
设
21,=2()
PF m PF a m m c a =+≥-则，所以
(
)2
22
212||4448||a m PF a m a a a PF m m
+==++≥=，当且仅当2m a =时等号成立，
所以2c a a -≤≤≤，即c 3a,所以1<e 3，因此选C 。

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为m 的正方形, PD ⊥底面ABCD,且
m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是 .
【答案】
(1
22
m 【解析】设内切圆的圆心为O ，半径为R ，连接OA 、OB 、OC 、
C
OD 、OP ，易知
P ABCD O ABCD O PAD O PAB O PBC O PCD
V V V V V V ------=++++，
即
2222221111111111
3332323232
m m m r m r r r m r ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯
，解得(122r m =
，所以此球的最大半径是(1
22
m 。

12. 已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是 . 【答案】3或5
【解析】因为直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，当3k =，两条直线的斜率都不存在，显然成立；当直线的斜率存在即3k ≠时，要满足两直线平行，需()()()232340k k k -----=，解得5k =。

综上知k 的值是3或5。

13. 已知实数,x y 满足1
21y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数
m = .
【答案】5
【解析】画出约束条件的可行域，易知当目标函数过点D 时，z 有最小值，由
21121,33y x m m D x y m
=-⎧+-⎛⎫
⎨ ⎪+=⎝⎭⎩得，又因为目标函数z x y =-的最小值为-1，所以121
1,533
m m m +--=-=解得。

14. 已知()13n
x +的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为 .
【答案】111111153C x 和121212
153C x
【解析】由题意知：2
1121n n n n
n n C C C --++=，解得15n =。

设第x 项的系数最大，则这个系
数要大于（n-1）项的系数和大于（n+1）项的系数，所以可以列出方程
2211111515151533,33x x x x x x x x C C C C ------<>，由此可得展开式中系数最大的项为111111
153C x 和
121212153C x 。

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A ．（不等式选做题）不等式|21|1x x --<的解集是 ； 【答案】(0,2) 【解析】当1
2
x ≥
时，原不等式可化为211
x x --<，所以x<2，所以122x ≤<；当1
2
x <时，原不等式可化为1210x x x --<>，所以，所以1
02
x <<。

综上知：不等式|21|1x x --<的解集是(0,2)。

B ．(几何证明选做题) 如图，过点P 作圆O 的割线PAB 与切线PE ，E 为切点，连接,AE BE ，APE ∠的平分线与,AE BE 分别交于点,C D ，若030AEB ∠=，则PCE ∠= ； 【答案】0
75
【解析】如图，PE 是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC ，又∵AE 是∠APE 的平分线，∴∠EPC=∠APC ，根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC ；∠ECD=∠PAC+∠APC ，∴∠EDC=∠ECD ，∴△EDC 为等腰三角形，又∠AEB=30°，∴∠EDC=∠ECD=75°即∠PCE=75°，故答案为75． C.(极坐标系与参数方程选做题) 若,M N 分别是曲线2cos ρθ=和2sin()4
2
π
ρθ-=
上的动点，则,M N 两点间的距离的最小值是 ； 21
【解析】把曲线2cos ρθ=化为直角坐标方程为()2
2
11x y -+=，把2sin()4
2
π
ρθ-
=
化为直角坐标方程为10x y -+=，圆心（1,0）到直线10x y -+=的距离为：
101
22
d -+=
=,M N 21。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)
已知向量()
2sin 3a x x =r ，()sin ,2sin b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r
（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式]2
,0[)(π
∈≥x m x f 对都成立，求实数m 的最大值.
17．(本小题满分12分)．
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率． 18．（本小题满分12分）.
如图所示，等腰△ABC 的底边AB=66,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB.现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE.记BE x =,用()V x 表示四棱锥P-ACFE 的体积. （Ⅰ）求 ()V x 的表达式；
（Ⅱ）当x 为何值时,()V x 取得最大值？
(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 19．（本小题满分12分）
设函数2
()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点 （－1，f （－1））处的切线垂直于y 轴.
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )= ()x
f x e --的单调区间.
20．（本小题满分13分）
已知直线1y x =-+与椭圆122
22=+b
y a x ()0a b >>相交于A 、B 两点．
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求线段AB 的长； （2）若向量OA u u u r 与向量OB uuu r 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率]2
2
,21[∈e 时，求椭圆长轴长的最大值． 21．（本小题满分14分）
数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2
2n n n S a a =+．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） 设正数数列{}n c 满足()
)(,*1
1N n c a n n n ∈=++，求数列{}n c 中的最大项；
（Ⅲ） 求证：444412*********
n n T a a a a =
++++<L ．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练 高三数学（理科）参考答案
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. B 2． C 3． A 4． D 5. A 6. D 7． C 8． D 9． C 10． C 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11.
(122
m 12. 3或5 13. 5 14. 11111115
3C x 和121212
153C x 15.A ． (0,2) B ． 0
75
1
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)
（Ⅰ）2
()2sin cos f x x x x =
+1cos 2cos x x x =-+
2cos 21x x =-+2sin(2)16
x π
=-+
由222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤-
≤+
∈ ，
得).(3
6
Z k k x k ∈+
≤≤-
π
ππ
π
所以)(x f 的单调增区间是).](3,6
[Z k k k ∈+
-π
ππ
π （Ⅱ）因为.6
56
26
,2
0π
π
π
π
≤
-
≤-
≤
≤x x 所以 所以.1)6
2sin(21≤-≤-
π
x 所以()2sin(2)1[0,3].6
f x x π
=-
+∈ 所以0m ≤，m 的最大值为0.
17．(本小题满分12分)．
（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有2
9A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有1
1
34A A 种结果，则所求概率
11
3411
291341()6986
A A P P A ===⨯=或． （Ⅱ）第一次摸出红球的概率为1
2
19A A ，第二次摸出红球的概率为11722
9A A A ，第三次摸出红球的概率为21
72
3
9
A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为 11211
7272221239997
12
A A A A A P A A A =++=．或P=272762799898712+⨯+⨯⨯= .
18．（本小题满分12分） (Ⅰ
)11) (032V x x x =
⋅<<
即3
V x =
(0x <<; (Ⅱ
)22)V x x '==-,(0,6)x ∴∈时,0;V '>
x ∴∈时,0;V '<
6x ∴=时()V x 取得最大值.
(Ⅲ)以E 为空间坐标原点,直线EF 为x 轴,直线EB 为y 轴,直线EP 为z 轴建立空间直角坐标
系,
则
(0,6(3,6A C AC --=u u u r
;
(0,0,6),6)P F PF ∴=-u u u r
,设异面直线AC 与PF 夹角是θ
1cos 7
θ∴=
=
19．（本小题满分12分）(Ⅰ)因为2
(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以 又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）, 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而
又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-= 即-2a +b =0,因此b=2a .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得23
92(23)4(),44
bc a a a =+=+-
故当34a =-
时，bc 取得最小值-94. 此时有33
,.22b c =-=
从而233333
(),(),42222
f x x x f x x '=--+=--
2333
()()(),422x x g x f x c x x e --=-=+-
所以23
()(4).4
x g x x e -'=--
令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=
当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数； 当(2,2)()0,()(2,2).x g x g x x '∈->∈-时，故在上为增函数 当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）、（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. 20．（本小题满分13分） （1）（6分）33=
e Θ，2c=2，即3
3=a c ∴3=a 则22
2=-=c a b ∴椭圆的方程为12
322=+y x ， 将y =- x+1代入消去y 得：03652
=--x x
设),(),,(2211y x B y x A ∴AB
====
（2）（7分）设),(),,(2211y x B y x A
0=⋅∴⊥OB OA OB OA Θ，即02121=+y y x x
由11
22
22=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+x y b y a x ， 消去y 得：0)1(2)(2
2
2
2
2
2
=-+-+b a x a x b a 由0)1)((4)2(2
2
2
2
2
2>-+--=∆b b a a a ， 整理得：122>+b a
又222212b a a x x +=+，2
22221)1(b
a b a x x +-= 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y
由02121=+y y x x ，得：01)(22121=++-x x x x
012)1(22
22
2222=++-+-∴b
a a
b a b a ， 整理得：022222=-+b a b a
222222e a a c a b -=-=∴
代入上式得：221112e a -+
=，)111(212
2
e a -+=∴
4
3
121,2141,222122≤-≤∴≤≤∴≤≤e e e Θ
2367,311137,211342
2
2≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴
a e
e 条件适合12
2>+b a ，
由此得：
623
42,26642≤≤∴≤≤a a
故长轴长的最大值为6．
21. (本小题满分14分)
（1）由已知：对于*N n ∈，总有2
2n n n S a a =+ ①成立
∴)2(22
111≥+=---n a a S n n n ② ①②得2
112
2----+=n n n n n a a a a a
∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a ∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a )2(≥n
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n =1时，2
1112S a a =+， 解得1a =1. ∴n a n =.
（2）(解法一)由已知 2212
12=⇒==c c a ， 5
45
454
34
34323235
5,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a 易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想2≥n 时，{}n c 是递减数列.
令()()22ln 1ln 1
,ln x x
x x
x x x f x x x f -=-⋅='=则
∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，
∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数.
由()
11ln
ln 1
1++==++n n c c a n n n n 知.
∴2≥n 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.
又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为3
23=c .
(解法二) 猜测数列{}n c 中的最大项为323=c . 123c c c <<易直接验证; 以下用数学归纳法证明3≥n 时,1(1)n n n n +>+
(1)当3n =时,18164(1)n n n n +=>=+, 所以3n =时不等式成立;
(2)假设(3)n k k =≥时不等式成立,即1(1)k k k k +>+,即1
()k k k k +<,
当1n k =+时,12
22212
()()()()()()111111k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++=<<<++++++,
所以21(1)(2)k k k k +++>+,即1n k =+时不等式成立.
由(1)(2)知1(1)n n n n +>+对一切不小于3的正整数都成立.
(3)(解法一)当4n ≥时,可证:416(1)n n n >- 1
11111
1[]
1681163445(1)1
1111111()168116310
n T n n n <+
+++++⋅⋅-=+++-<L
(解法二) 2n ≥时,422221
1111
[](1)21(1)n n n n n n <=----
22222222222211
1
111111111()()[]
168173494521(1)1
1
1
111111
1[()()]168173445(1)11111
116816310
n T n n n n n <+++-+-++---<+++-+-+--<+++<L L。