四川省资阳市中考数学试卷有答案

数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）
绝密★启用前
四川省资阳市2016年高中阶段教育学校招生统一考试
数 学
本试卷满分120分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.2-的倒数是
( )
A .12
-
B .12
C .2-
D .2 2.下列运算正确的是
( ) A .426x x x += B .236x x x =
C .236()x x =
D .222()x y x y -=-
3.如图是一个正方形纸盒的外表面展开图,则这个正方形是
( )
A
B
C
D
4.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍,这种植物的果实像一个微小的无花果,质量只有0.000 000 076克,将数0.000 000 076用科学记数法表示为 ( ) A .-97.610⨯
B .-87.610⨯
C .97.610⨯
D .87.610⨯ 5
( ) A .2和3
B .3和4
C .4和5
D .5和6
6.资阳市某中学九年级(1)班开展“阳光体育运动”,决定自筹资金为班级购买体育器材,全班50名同学筹款情况如下表：
则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是
( ) A .11,20
B .
25,11
C .20,25
D .25,20
7.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应影阴部分的面积分别是m ,n ,则m n -=
( )
A .2
B .3
C .4
D .无法确定
8.如图,在Rt ABC △中,90ABC ∠=
,AC =,以点B 为圆心,BC 的长为半径作弧,交AB 于点D 若点D 为AB 中
点,则影阴部分的面积是 ( )
A .2π3
B .2
π3
C .4π3 D
.2
π3
9.如图,矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O 且
EG BC ∥,
将矩形折叠,使点C 与点O 重合,折痕MN 恰好
过点G .
若AB 2EF =,120H ∠=
,则DN 的长为
( )
A
B C
D .10.已知二次函数2y x bx c =++与x 轴只有一个交点,且图象过1()A x m ,,1(,)B x n m +两点,则,m n 的关系为
( ) A .12
m n =
B .1
4
m n =
C .2
12
m n =
D .214
m n =
第Ⅱ
卷
(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 11.,则x 的取值范围 .
12.如图,AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线,则
ABC ∠= .
毕业学校_____________ 姓名__________
__
_
_
__ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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13.已知关于x 的方程34mx +=的解为1x =,则直线(2)3y m x =--一定不经过第 象限.
14.如图,在33⨯的方格中,,,,,,A B C D E F 分别位于格点上,从
,,,C D E F 四点中任取一点,与点,A B 为顶点作三角形,则所
作三角形为等腰三角形的概率是 .
15.设一列数中相邻的三个数依次为,,m n p ,且满足2p m n =-,若这列数为1,3,2,,7,,a b ---…,则b = . 16.如图,在等腰直角ABC △中,90ABC ∠=,CO AB ⊥于点
O ,点,D E 分别在边,AC BC 上,且AD CE =,连接DE 交
CO 于点P .给出以下结论：
①DOE △是等腰直角三角形； ②CDE COE ∠=∠；
③若1AC =,则四边形CEOD 的面积为1
4
；
④22222AD BE OP DP PE +-=.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分)
化简：2
1(1)121
a
a a a +÷--+.
18.(本小题满分8分)
近几年来,国家对购买新能源汽车实行补助政策,2016年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”实行每辆3万元的补助,小刘对该省2016年“纯电动乘用车”和“插电式混合动力汽车”的销售计划进行了研究,绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)补全条形统计图；
(2)求出“D ”所在扇形的圆心角的度数；
(3)为进一步落实该政策,该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品,请你预测,该省2016年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？
注：R 为纯电动续航行驶里程,图中A 表示“纯电动乘用车”(100km 150km)R ≤＜
,B 表示
“纯电动乘用车”(150km 250km)R ≤＜,C 表示“纯电动乘用车”(250km)R ≥,D 为“插电式混合动力汽车”.
19.(本小题满分8分)
某大型企业为了保护环境,准备购买,A B 两种型号的污水处理设备共8台,用于同时治理不同成分的污水,若购买A 型2台、B 型3台需54万,购买A 型4台、B 型2台需68万元.
(1)求出A 型、B 型污水处理设备的单价； (2)经核实：一台A 型设备一个月可处理污水220吨,一台B 型设备一个月可处理190吨,如果该企业每月的污水处理不低于1 565吨.请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.
20.(本小题满分8分)
如图,在O 中,点C 是直径AB 延长线上一点,过点C 作O 的切线,切点为D ,连接
BD .
(1)求证：A BDC ∠=∠；
(2)若CM 平分ACD ∠,且分别交AD BD ，于点,M N ,当1DM =时,求MN 的长.
21.(本小题满分9分)
如图,在平行四边形ABCD 中,点,,A B C 的坐标分别是(1,0),(3,1),(3,3,双曲线
(0,0)
k
y k x x
=≠＞过点D . (1)求双曲线的解析式；
(2)作直线AC 交y 轴于点E ,连接DE ,求CDE △的面积
.
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22.(本小题满分9分)
如图,“中国海监50”正在南海海域A 出巡逻,岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上,岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30方向上,已经点C 在点B 的北偏西60方向上,且,B C 两地相距120海里. (1)求出此时A 到岛礁C 的距离；
(2)若“中国海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 使去,当达到点A '时,测得点B 在A '的南偏东75的方向上,求此时“中国海监50”的航行距离. (注：结果保留根号)
23.(本小题满分11分)
在Rt ABC △中,90C ∠=,Rt ABC △绕点A 顺时针旋转到Rt ADE △的位置,点E 在斜边AB 上,连接BD ,过点D 作DF AC ⊥于点F . (1)如图1,若点F 与点A 重合,求证：AC BC =； (2)若DAF DBA ∠=∠,
①如图2,当点F 在线段CA 的延长线上时,判断线段AF 与线段BE 的数量关系,并说明理由；
②当点F 在线段CA 上时,设BE x =,请用含x 的代数式表示线段AF .
24.(本小题满分12分)
已知抛物线与x 轴交于5
(6,0),(
,0)4
A B -两点,与y 轴交于点C ,过抛物线上点(1,3)M 作MN x ⊥轴于点N ,连接OM .
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1,将OMN △沿x 轴向右平移t 个单位(05)t ≤≤到O M N '''△的位置,M N '',
M O ''与直线AC 分别交于点,E F .
①当点F 为M O ''的中点时,求t 的值；
②如图2,若直线M N ''与抛物线相交于点G ,过点G 作GH M O ''∥交AC 于点H ,试确定线段EH 是否存在最大值？若存在,求出它的最大值及此时t 值；若不存在,请说明理由.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
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四川省资阳市2016年高中阶段教育学校招生统一考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】A
【解析】2-的倒数是12-．故选A ．非零实数a 的倒数为1
a
．
【提示】根据倒数的定义即可求解． 【考点】倒数的概念．
2.【答案】C
【解析】42x x +不能进行合并，故A 错误；235x x x =，故B 错误；236
()x x =，故C 正确；
22()()x y x y x y =+--，故D 错误，故选C ．
【提示】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和公式法进行因式分解对各个选项进行判断即可． 【考点】整式的运算． 3.【答案】C
【解析】由展开图判断两个圆圈为对面，黑点与圆圈为邻面，A 图中三对对面中都不含圆圈故错误；B 图中两对对面中都不含圆圈故错误；D 图中两个圆圈为邻面故错误，故选C ．
【提示】根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论． 【考点】正方体的侧面展开图． 4.【答案】B
【解析】80.0000000767.610-=⨯，故选：B ．
【提示】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n
a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【考点】科学记数法表示较小的数． 5.【答案】D
【解析】因为252736＜＜
，即56，故选D ． 【提示】无理数大小的估算，要借助于完全平方数的大小来进行估算． 【考点】完全平方数估算无理数的大小．
6.【答案】D
【解析】本组数据中筹款数25元出现了13次为最多，所以众数为25，从小到大排列位于中间的两个数均为20元，故中位数为20，故中位数为20，故选D ．
【提示】找中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间的一个个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以是多个；平均数为所有数据的和除以数据的个数． 【考点】众数，中位数． 7.【答案】B
【解析】设空白出图形的面积为x ，根据题意得：9m x +=，6n x +=，则963
m n -=-=．故选B ． 【提示】设空白出的面积为x ，根据题意列出关系式，相减即可求出m n -的值． 【考点】整体思想求不规则图形面积的计算．
8.【答案】A
【解析】因为D 为AB 的中点，90ACB ∠=
，AC =22AB BD BC ==，所
以30A ∠=，60
B ∠=，所以2B
C =．
∴2160π22
2π23603
ABC CBD S S S ⨯-=⨯-==△阴影扇形，故选A ．
【提示】根据点D 为AB 的中点可知1
2BC BD AB ==，故可得出30A ∠=，60B ∠=，
再由锐角三角函数的定义求出BC 的长，根据ABC
CBD S S S -=阴影扇形即可得出结论．
【考点】不规则图形面积的计算．
9.【答案】C
【解析】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ．如图所示，
则12CP DP CD ==GCP △为直角三角形，∵四边形EFGH 是菱形，120EHG ∠=，∴2GH EF ==，
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60OHG ∠=，EG FH ⊥，
∴sin602OG GH ===，由折叠的性质
得CG OG =，OM CM =，MOG MCG ∠=∠，
∴PG ==，∵OG CM ∥，∴180MOG OMC ∠+∠=，∴180MCG OMC ∠+∠=，∴OM CG ∥，∴
四边形OGCM 为平行四边形，∵OM CM =，∴四边形OGCM 为菱形，
∴CM OG ==，根据题意得PG 是梯形MCDN 的中位线，
∴2DN CM PG +==
∴DN =故选C ．
【提示】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ，则GCP △为直角三角形，证明四边形OGCM
为菱形，则可证OC OM CM OG ===GP 的值，再由梯形的中位线定理
2CM DN GP +=，即可得出答案．
【考点】矩形的性质，菱形的判定及性质，三角函数的应用． 10.【答案】D
【解析】抛物线2
y x bx c =++与x 轴只有一个交点，∴当2
b x =-时，0y =且240b
c -=，即24b c =．又∵图象过点1,()A x m ，1(,)B x n m +，∴点A 、B 关于直线2
b
x =-对称，∴
(,)22b n A m --，(,)22B b n
m -+，将A 点坐标代入抛物线解析式，得
2()()2222b n b n m b c =--+--+，即22
44
n b m c =-+，∵24b c =，∴214m n =，故选D ．
【提示】由“抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个交点”推知2b
x =-时，0y =．且
240b c -=，即24b c =，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A 、B 关于对称轴对称，
故(,)22b n A m --，(,)22
B b n
m -+；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结
论．
【考点】二次函数与一元二次方程的关系．
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】2x ≥
20x -≥，解得2x ≥．
0a ≥得到20x -≥，然后解不等式即可． 【考点】二次根式的意义． 12.【答案】36
【解析】正五边形的外角为360572÷=内角为108，即108ABC ∠=．解法一：因为
AB BC =，所以(180108)23A C B ∠=-÷
=．解法二：因为AB BC =，所以1
72362
A C
B ∠=
⨯=． 【提示】由正五边形的性质得出108B ∠=，AB CB =，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【考点】正多边形的性质． 13.【答案】一
【解析】因为方程34mx +=的解为1x =，所以34m +=，解得1m =，所以
(2)33y m x x =--=--，因为直线3y x =--经过第二、三、四、象限，所以直线
(2)3y m x =--一定不经过第一象限．
【提示】关于x 的方程34mx +=的解为1x =，于是得到34m +=，求得1m =，得到直线3y x =--，于是得到结论． 【考点】方程的解，一次函数的性质． 14.【答案】
3
4
【解析】从C 、D 、E 、F 四个点中任取一点，与A 、B 为顶点作三角形，可构成ABC △，
ABD △，ABE △，ABF △四个三角形，这四个三角形中为等腰三角形的是ABC △，
ABD △，ABF △所以所作三角形为等腰三角形的概率是3
4
．
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【提示】根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【考点】等腰三角形的判定，概率的计算． 15.【答案】128
【解析】由题意知23(2)11a =-=-，则2
11712()8b -==-．
【提示】根据题意求出a ，再代入关系式即可得出b 的值． 【考点】数列的意义． 16.【答案】①②③④
【解析】∵90ACB ∠=，AC BC =，CO AB ⊥，∴AO OB OC ==，
45A B ACO BCO ∠=∠=∠=∠=，∵OA OC =，A ECO ∠=∠，AD CE =，∴
A D O C E O △≌△，∴D
O O E =，AOD COE ∠=∠，
∴90DOE AOC ∠=∠=，∴DOE △是等腰直角三角形，故①正确；∵180DCE DOE ∠+∠=，∴D ，C ，E ，O 四点共圆，
∴CDE COE ∠=∠，故②正确；∵1AC BC ==，∴11
1122
ABC S =⨯⨯=△，
1124
DOC CEO CDO ADO AOC ABC DCEO S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形，
故③正确；∵D ，C ，E
，
O
四
点
共
圆
，
∴
OP PC DP PE =，∴
2222222()2OP DP PE OP OP PC OP OP PC OP OC
+=+=+=，∵
45OEP DCO OCE ∠=∠=∠=，POE COE ∠=∠，
∴OPE OEC △∽△，∴OP OE
OE OC =，∴2OP OC OE =，∴22222222OP DP PE OE DE CD CE +===+，∵CD BE =，
CE AD =，∴22222AD BE OP DP PE ++=，∴22222AD BE OP DP PE +=-，故④正
确，所以①②③④正确．
【提示】①正确．由ADO CEO △≌△，推出DO OE =，AOD COE ∠=∠，由此即可判
断．②正确．由D 、C 、E 、O 四点共圆，即可证明．③正确．由11
1122
ABC S =⨯⨯=△，
1
2
DOC CEO CDO ADO AOC ABC DCEO S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形即可解决问题．④正确．由
D 、C 、
E 、O 四点共圆，得OP PC DP PE =，所以
2222222()2OP DP PE OP OP PC OP OP PC OP OC +=+=+=，由OPE OEC △∽△，
得到OP OE
OE OC =，即可得到22222222OP DP PE OE DE CD CE +===+，由此即可证明． 【考点】等腰三角形的的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关性质． 三、解答题
17.【答案】解：21()1a a
a a a =
÷
--原式
2(1)11a a a a a -==--． 【解析】解：21()1
a a
a a a =÷
--原式
2(1)11a a a a a
-==--． 【提示】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可． 【考点】分式的混合运算．
18.【答案】解：（1）补贴总金额为420%20÷=（千万元），
则D 类产品补贴金额为204 4.5 5.56---=（千万元），补全条形图如图：
（2）6
360108
20
⨯
=， 答：“D ”所在扇形的圆心角的度数为108．
数学试卷 第13页（共22页） 数学试卷 第14页（共22页）
（3）根据题意，2016年补贴D 类“插电式混合动力汽车”金额为6
6 4.57.3520
+⨯=（千万元），
∴735032450÷=（辆）．
答：预测该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”2450辆． 【解析】（1）（2）由条形统计图与扇形统计图中的数据综合完成； （3）先计算出2016年的总补助金额．
【提示】（1）首先由A 的数目和其所占的百分比可求出总数，进而可求出D 的数目，问题得解；
（2）由D 的数目先求出它所占的百分比，再用百分比乘以360，即可解答； （3）计算出补贴D 类产品的总金额，再除以每辆车的补助可得车的数量． 【考点】统计图表的应用．
19.【答案】解：（1）设A 型污水处理设备的单价为x 万元，B 型污水处理设备的单价为y 万元，
根据题意可得2354,4268,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：12,
10.x y =⎧⎨
=⎩
答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元． （2）设购进a 台A 型污水处理器，根据题意可得220190(8)1565a a +-≥， 解得 1.5a ≥，
∵A 型污水处理设备单价比B 型污水处理设备单价高， ∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，
∴当购进2台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备时最省钱．
【解析】（1）设A 型污水处理设备的单价为x 万元，B 型污水处理设备的单价为y 万元， 根据题意可得2354,4268,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：12,
10.x y =⎧⎨
=⎩ 答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元． （2）设购进a 台A 型污水处理器，根据题意可得220190(8)1565a a +-≥， 解得 1.5a ≥，
∵A 型污水处理设备单价比B 型污水处理设备单价高，
∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，
∴当购进2台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备时最省钱．
【提示】（1）根据题意结合购买A 型2台、B 型3台需54万，购买A 型4台、B 型2台需68万元分别得出等式求出答案；
（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案． 【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． 20.【答案】解：（1）如图，连接OD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴90ADB ∠=，即90A ABD ∠+∠=， 又∵CD 与⊙O 相切于点D ， ∴90CDB ODB ∠+∠=， ∵OD OB =， ∴ABD ODB ∠=∠， ∴A BDC ∠=∠． （2）∵CM 平分ACD ∠， ∴DCM ACM ∠=∠， 又∵A BDC ∠=∠，
∴A ACM BDC DCM ∠+∠=∠+∠，即DMN DNM ∠=∠， ∵90ADB ∠=，1DM =， ∴1DN DM ==，
∴MN == 【解析】解：（1）如图，连接OD ，
数学试卷 第15页（共22页） 数学试卷 第16页（共22页）
∵AB 为⊙O 的直径，
∴90ADB ∠=，即90A ABD ∠+∠=， 又∵CD 与⊙O 相切于点D ， ∴90CDB ODB ∠+∠=， ∵OD OB =， ∴ABD ODB ∠=∠， ∴A BDC ∠=∠； （2）∵CM 平分ACD ∠， ∴DCM ACM ∠=∠， 又∵A BDC ∠=∠，
∴A ACM BDC DCM ∠+∠=∠+∠，即DMN DNM ∠=∠， ∵90ADB ∠=，1DM =， ∴1DN DM ==，
∴MN =
【提示】（1）由圆周角推论可得90A ABD ∠+∠=，由切线性质可得90CDB ODB ∠+∠=，而ABD ODB ∠=∠，可得答案；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得A ACM BDC DCM ∠+∠=∠+∠，即D MN D N M
∠=∠，根据勾股定理可求得MN 的长． 【考点】圆的切线的判定，三角形外角的性质，勾股定理．
21.【答案】解：（1）在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1,0)，(3,1)，
(3,3)，
∴点D 的坐标是(1,2)，
∵双曲线(0,0)k
y k x x
=≠＞过点D ，
∴21
k
=
，得2k =， 即双曲线的解析式是：2y x
=
． （2）∵直线AC 交y 轴于点E ，
∴(20)1(20)(31)
12322CDE EDA ADC S S S -⨯-⨯-=+=
+=+=△△△， 即CDE △的面积是3．
【解析】解：（1）由平行四边形的性质计算点D 的坐标，从而由待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）根据ADC CDE EDA S S S =+△△计算，由于A ，D 的横坐标相同，所以1
||2
A EDA S x AD =
△． 【提示】（1）根据在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1,0)、(3,1)、(3,3)，可以求得点D 的坐标，又因为双曲线(0,0)k
y k x x =≠＞过点D ，从而可以求得k 的值，
从而可以求得双曲线的解析式；
（2）由图可知三角形CDE 的面积等于三角形EDA 与三角形ADC 的面积之和，从而可以解答本题．
【考点】平行四边形与反比例函数的综合应用．
22.【答案】解：（1）如图，延长BA ，过点C 作CD BA ⊥延长线于点D ， 由题意可得30CBD ∠=，120BC =海里，则60DC =海里，
故60cos30DC AC AC =
==
，
解得AC =，
答：点A 到岛礁C
的距离为
（2）如图，过点A ′作A N BC '⊥于点N ，作A E AD '⊥于点E ， 可得130∠=，75BA E ∠'=，45BA A ∠'=，
数学试卷 第17页（共22页） 数学试卷 第18页（共22页）
则907515ABA '∠=-=，则215∠=，即A ′B 平分CBA ∠，A N A E '='， 设AA x '=，则3
cos302
A E AA x ''=
=，
故22CA A N '
='==，
x += ∴解得1)x
=，
答：此时“中国海监50”的航行距离为1)海里．
【解析】（1）作CD BA ⊥交BA 延长线于点D ，由特殊角的三角函数计算AC 的长； （2）作A N B C
'⊥于点N ，A E AD '⊥于点E ，
根据角平分线的性质用A A '表示A E '，AC '，从而根据AC AA A C ''=+．
【提示】（1）根据题意得出：30CBD ∠=，120BC =海里，再利用cos30DC
AC
=，进而求出答案；
（2）根据题意结合已知得出当点B 在A ′的南偏东75的方向上，则A ′B 平分CBA ∠，进而得出等式求出答案．
【考点】解直角三角形的应用，构造直角三角形，三角函数． 23.【答案】解：（1）证明：由旋转得BAC BAD ∠=∠， ∵DF AC ⊥， ∴90CAD ∠=， ∴45BAC BAD ∠=∠=， ∵90ACB ∠=， ∴45ABC BAC ∠=∠=， ∴AC CB =．
（2）①由旋转得AD AB =， ∴ABD ADB ∠=∠， ∵DAF ABD ∠=∠， ∴DAF ADB ∠=∠， ∴AF DB ∥，
∴BAC ABD ∠=∠，
∵ABD FAD ∠=∠，由旋转得，BAC BAD ∠=∠，
∴1
180603FAD BAC BAD ∠=∠=∠=⨯=，
由旋转得AB AD =， ∴ABD △是等边三角形， ∴AD BD =，
在AFD △和BED △中，
90
F BED FAD BED AD BD ⎧
∠=∠=⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AFD BED △≌△， ∴AF BE =， ②如图，
由旋转得BAC BAD ∠=∠，
∵2ABD FAD BAC BAD BAD ∠=∠=∠+∠=∠， 由旋转得AD AB =，
∴2ABD ADB BAD ∠=∠=∠， ∵180BAD ABD ADB ∠+∠+∠=， ∴22180BAD BAD BAD ∠+∠+∠=， ∴36BAD ∠=，
设BD y =，作BG 平分ABD ∠，
∴36BAD GBD ∠=∠=
∴AG BG BD y ===，
数学试卷 第19页（共22页） 数学试卷 第20页（共22页）
∴DG AD AG AD BG AD BD =-=-=-， ∵BDG ADB ∠=∠，
∴BDG ADB △∽△， ∴BD DG
AD DB
=， ∴BD AD BD AD BD -=
，解得AD =
∴AD BD =， ∵FAD EBD ∠=∠，AFD BED ∠=∠， ∴AFD BED △∽△， ∴AD AF
BD BE
=，
∴AD AF BE BD =⨯=．
【解析】解：（1）由垂直的定义得到；
（2）①先证明ABD △是等边三角形，再证明AFD BED △≌△；②先证明ABD △为顶角为36度的等腰三角形，由BDG ADB △∽△根据相似比得到关于AD ，BD 的一元二次方程，解得:AD BD 的值，再根据AFD BED △∽△的相似比用BE 表示AF ． ∴BD DG
AD DB
=． ∴BD AD BD
AD
-=， ∴AD BD =， ∵FAD EBD ∠=∠，AFD BED ∠=∠， ∴AFD BED △∽△， ∴AD
AF
BD BE
=， ∴AD AF BE BD =⨯=．
【提示】（1）由旋转得到BAC BAD ∠=∠，而DF AC ⊥，从而得出45ABC ∠=，最后判断出ABC △是等腰直角三角形；
（2）①由旋转得到BAC BAD ∠=∠，再根据D A F D B A ∠=∠，从而求出
60FAD BAC BAD ∠=∠=∠=，最后判定AFD BED △≌△，即可；
②根据题意画出图形，先求出角度，得到
ABD △是顶角为36的等腰三角形，再用相似求出，
AD BD =
AFD BED △∽△，代入即可． 【考点】旋转的性质，全等三角形的判定及性质，一元二次方程的解法．
24.【答案】解：（1）设抛物线解析式为5(6)()4y a x x =-+，把点(1,3)M 代入得4
15
a =-，
∴抛物线解析式为44
(6)()155
y x x =--+，
∴249
21515y x x =-++．
（2）①如图1中，AC 与OM 交于点I ．连接EO ′．
∵6AO =，2OC =，3MN =，1ON =，
∴
3AO MN
OC ON ==， ∴AO OC
MN ON =，∵90AOC MNO ∠=∠=， ∴AOC MNO △∽△， ∴OAC NMO ∠=∠， ∵90NMO MON ∠+∠=， ∴90MON OAC ∠+∠=， ∴90AIO ∠=， ∴OM AC ⊥，
∵M N O '''△是由MNO △平移所得， ∴O M OM ''
∥， ∴O M AC ''⊥，
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∵M F FO '='， ∴EM EO '='， ∵EN CO '∥， ∴EN AN CO AO ''
=， ∴526
EN t
'-=， ∴1
(5)3
EN t '=-，
在Rt EO M ''△中，∵1O N ''=，1(5)3EN t '=-，41
33
EO EM t '='=+，
∴22()14151
()3333
t t +-=+，
∴1t =． ②如图2中，
∵GH O M ''∥，O M AC ''⊥， ∴GH AC ⊥， ∴90GHE ∠=，
∵90EGH HEG ∠+∠=，90AEN OAC ∠'+∠=，HEG AEN ∠=∠'， ∴OAC HGE ∠=∠，∵90GHE AOC ∠=∠=， ∴GHE AOC △∽△，
∴
EG AC
HE CO == ∴EG 最大时，EH 最大，
∵EG GN EN ='-'
24191
(1)(1)2(5)15153
t t t =-++++-- 2416415153t t =-
++ 2412(2)155
t =--+． ∴2t =时，EG 最大值为12
5
，
∴EH
．
∴即2t =时，EH
．
【解析】解：（1）由两根式借助于待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先证明OM AC ⊥，再由垂直平分线的性质，故t 表示Rt EO N ''△的边EN '，EO '，再由勾股定理求得t 值；②由GHE AOC △∽△，根据相似比一定知EG 最大时，EH 最大，根据二次函数及一次函数的解析式表示GE 的长，通过顶点式求得EG 的最大值，再推导出EH 的最大值．
【提示】（1）设抛物线解析式为5
(6)()4
y a x x =-+，把点(1,3)M 代入即可求出a ，进而
解决问题．
（2）①如图1中，AC 与OM 交于点G ．连接EO ′，首先证明AOC MNO △∽△，推出
OM AC ⊥，在Rt EO M ''△中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
②由GHE AOC △∽△
得
EG AC
HE CO
=EG 最大时，EH 最大，构建二次函数求出EG 的最大值即可解决问题．
【考点】抛物线，三角形相似，平移，平行线性质．。