谷知威 132411118 电多极矩法的物理意义--正文2

毕业论文
题目：电多极矩法的物理意义学院：数理学院
专业：应用物理学（光伏工程方向）姓名：谷知威
学号：132411118
指导老师：王文芳
完成时间：
河南城建学院本科毕业设计（论文）摘要
电多极矩法的物理意义
摘要
电多极矩法是处理静电场问题的一种简单而实用的方法。

本文从电多极矩法的物理图像、电多极矩法的数学证明、简单电荷体系电偶极拒和电四极拒的计算、电四极矩张量的无迹化处理、如何运用电多极矩法计算电荷体系在远处的电势等方面进行了研究和探讨。

关键词：电多极矩法，物理应用，物理意义
Abstract
Electric multipole moment method is a simple and practical method of solving problems in electrostatic field. The electric multipole moment method of physical images of electric multipole moment method of mathematical proof, simple charge system of electric dipole refused and electric quadrupole refused the calculation, electric quadrupole moment tensor unscented processing, how to use electric multipole moment method to calculate the charge system in the distance of the potential of research and discussion.
Keywords: electric multipole moment method, the application of physics, physical meaning
目录
摘要 (1)
Abstract (2)
第一章绪论 (1)
1.1 研究的目的 (1)
1.2 研究的意义 (1)
1.3 国内外研究现状 (1)
1.3.1 国内研究现状 (1)
1.3.2 国外研究现状 (1)
第二章电多极拒 (2)
2.1电偶极子的移动 (2)
2.2连续分布电荷体系 (3)
2.3电多极矩 (4)
2.3.1电矩 (4)
2.3.2 电四极矩 (5)
第三章电多极矩法的物理图像 (6)
第四章电多极矩法的数学推导 (8)
第五章各级电多极矩及其势的简单讨论 (11)
5.1电偶极矩 (11)
5.2电四极矩 (14)
5.3电四极矩的无迹化处理 (16)
参考文献 (17)
致谢 (18)
第一章绪论
1.1 研究的目的
我们经常会遇到这样的问题，在求解连续区域电荷体系在空间所形成的势时，体系内各体元距离场点的距离总会不相等，从而求解电势时难度就会很大，如果我们能将各体元电荷原有位置变换到我们所需要的位置，这样我们就将复杂的空间问题简便化，但这样就改变了原连续区域电荷体系的电势分布，那么如果我们将力系“简化补偿”的思想应用到这里，运用补偿等价将电荷的移动等效为某些简单的模型，这样问题就解决了，这便是电多极矩的研究目的，使得在研究某个体系形成的电势时变得简单。

1.2 研究的意义
极大的方便了电荷体系关于势的运算，也再次验证了“简化补偿”的思想。

关于电多极矩的研究极大的推进了微观分子世界的研究，对于原子核内部电性的特征能够更加详细的分析讨论，从而推动了核武器研究以及纳米等微分子世界的研究，也更加有助于电磁事业的发展，另外对探究物质根本等顶尖科研有密不可分的关系，越来越成为物理学研究的根本性原理。

1.3 国内外研究现状
1.3.1 国内研究现状
国内目前对于电多极矩法还处于较为浅显的应用，仅仅处于对理论的研究理解阶段，并没有过多应用其物理意义实现实际的科技应用。

例如对力矩电动机，电磁发动机，核四力矩等先进的科技应用并没有实现突破性的进展，跟国外还有一定的差距。

1.3.2 国外研究现状
国外已经将电多极矩的研究应用于很多尖端科学领域，比如发动机领域，核领域，电力电子技术领域，并且运用它极大的促进了一系列的科技的发展，创造了很多的科技成果，从而也推动了现实生活的发展。

第二章电多极拒
在求解连续区域电荷体系在空间所形成的势时，各体元距离场点的距离总会不相等，从而求解电势时难度就会很大，如果我们能将各体元电荷原有位置变换到我们所需要的位置，这样我们就将复杂的空间问题简便化，但这样就改变了原连续区域电荷体系的电势分布，那么如果我们将力系“简化补偿”的思想应用到这里，运用补偿等价将电荷的移动等效为某些简单的模型，这样问题就解决了。

假设一个电体系，若电荷分布在无限区域V内，在V一点。

作为坐标原点，区域V 的线度为人场点P距。

点为R.法是讨论R>>I情况下的场分布问题。

以一个最简单的例子来说明:假设V中有一个点电荷Q(a,0,0)点上，如果对远处产生的电势来说，相当于中任取多极矩位于总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差;移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差;移动一个电四极子到原点，对场产生一个电八极子分布的误差。

2.1电偶极子的移动
如图2.1所示,将位于A点的点电荷q移动到位置B点，另外我们看到其与一个稍徽偏离B点的电偶极子进行了叠加，之后再移动电偶极子。

图2.1
按照这样的方法，我们看到电偶极子的位置已经由原来的B点附近移动到了B点，这时整个电场又形成了两对大小相等方向相反的电偶极子，这样我们就把它叫做电四极子。

但是通过观察上图2.1可以知道，上述方法的得到的电四极子在B 点附近，没有在假设位置的B点。

这样我们继续采用“简化补偿”的思想，就会产生四对大小相等方向相反的电偶极子，这样就得到了电八极子，以此类推，不断的采用简化补偿的方法，电多极子的位置就会不断的靠近位置B点，最终到达B 点，具体问题中，根据需要的精度，只要做两到三次的简化就可以解决问题。

电偶极子是继点电荷之后最简单而且重要的带电系统。

我们知道电场是伴随电荷的固有属性，存在电荷就存在电场，即任何电荷都在自己周围的空间激发电场。

这里将从点电荷到电偶极子，通过对其中垂面和延长线上的电场强度、及其空间任意一点电场分布的求解，讨论电偶极子的静态电场。

为了形象的描述电场分布，通常引入电场线（旧称电力线）的概念。

它是一种假想的线，并不实际存在。

利用电场线可以对电场中各处场强的分布情况给出比较直观的图像。

对于正点电荷来说，电场线是以点电荷为中心，向四外辐射的直线；对于负点电荷来说，电场
线是以点电荷为中心，向内汇聚的直线。

电偶极子的本质是一个带电体系，它由一对靠的很近的等量异号电荷构成。

我们可以看到很多电偶极子的例子，只要形成等量的正负电荷来回运动或者产生相对位移即可形成电偶极子，例如在外电场的作用下电介质的原子或分子里正、负电荷产生微小的相对位移，这便形成电偶极子；另外导体中，例如金属，其内部电子总会来回的相互运动，这便使得两端交替地带正、负电荷，这时就形成振荡偶极子。

电偶极子也是理想化模型之一，我们通过电偶极距p=ql 来描述它的特征的，其中l 是电偶极子中两点电荷之间的距离，l 和p 的方向规定为由-q 指向+q 。

电解质和导体在形成电偶极子的原理上是不同的。

导体中有大量的自由移动的电子，这样使得导体很容易形成震荡的电偶极子。

电解质内几乎不存在可自由移动的电子，原因是形成电解质的分子中，原子核和电子之间的引力非常大，使得电子和原子核非常紧密难以分割。

这样就难以像导体一样自发的形成电偶极子，所以有些电解质一般只能通过外电场的作用才能形成电偶极子。

另外电解质又分为两类。

第一类：如甲烷、石蜡、聚苯乙烯等，在没有外电唱的情况下它们的分子正负电荷中心是重合的，这种分子叫做无极分子；第二类：如水、有机玻璃、聚氯乙烯等，它们的分子正负电荷中心本身是不重合的，这样就使得这种分子相当于一个有着固有极距的电偶极子，这种分子叫做有极分子。

无极分子在没有外电场作用下，其分子中的正、负电荷中心是重合的，呈现出电中性。

在有外电场的作用下时，每个分子中的正、负电荷中心会随着电场发生相对位移，这样便形成电偶极子，它们的等效电偶极距的方向是沿着电场的方向。

如果电解质是均匀的，那么它的内部仍然处处保持电中性，但是电解质会发生极化现象：即电解质的两个和外电场方向相互垂直的表层里出现正电荷、负电荷。

这两个电荷被称之为极化电荷，这样的极化由于是由相互位移产生的，所以称之为位移极化。

2.2连续分布电荷体系
连续分布的电荷体系，是由一个个的电荷累加在一起组成的，其本质上是各个内部的电荷形成的电场的叠加，其中的任意一个电荷完全可以等价为：移动到所需要位置的同等电量的电荷、电偶极子、电四极子、电八极子。

等等的叠加。

在多个电荷被等价的情况下，将所需位置进行矢量和张量合成。

一般在数学推到上我们将电荷的叠加使用积分的形式处理。

下面用数学推到来检验一下以上的结论。

根据泰勒展开得：
f(x´，y´,z´)=f(0)+( ⎺x.▽´)f(0)+
！
21( ⎺x´⎺x´:▽´▽´)f(0)+…(1) （式2.1） 设在线度为1的区城V´内有电荷分布ρ( ⎺x´)。

取V´内一点O 为坐标原点，此
电荷系在空间激发的电势为φ（⎺x ）=⎰V´πεογ
ρ
4')'(dV x 根据泰勒展开 φ（⎺x ）=⎰V´R dV x πεορ4')'(-⎰V´πεο
ρ4')'(dV x (⎺x.▽)R 1dV´+!21⎰V´πεορ4')'(dV x (⎺x´⎺x´:▽´▽´)R 1dV´+… =R πεο41
⎰V´ρ( ⎺x´)dV´-πεο41
⎰V´ρ( ⎺x´) ⎺x´dV´▽R 1+πεο412
1•⎰V´ρ( ⎺x´) ⎺x´dV´▽▽R
1+… 令： Q=⎰V´ρ( ⎺x´) dV´ （式2.2） ⎺ ⎺D=⎰V´ρ( ⎺x´) dV´ （式2.3） ⎺p´=⎰V´3ρ( ⎺x´) ⎺x´ ⎺x´ dV´ （式2.4） 分别称为体系的电偶极矩和电四极矩，Q 为电荷体系的总电量。

代人得
φ（⎺x ）=R Q πεο4-πεο41 ⎺p•▽R 1+πεο4161⎺⎺D•▽▽R
1+… =φ(0)（⎺x ）+φ(0)（⎺x ）+φ(2)（⎺x ）+… （式2.5） 式中为电势的多级展开。

其中φ(0)（⎺x ）=R
Q πεο4，是零极近似,即将分布在小区城内的电荷看做全部集中在原点。

电偶极势：φ(1)（⎺x ）=-πεο41⎺p•▽
R
1，是一级近似，即位于原点的电偶极矩为P 的电偶极子所激发的电势。

电四极势：φ(2)（⎺x ）=πεο4161⎺D •▽▽R
1，是二级近似，即位于原点的电四极矩为D 的电四极子所激发的电势。

因此综上所述，小区城电荷系在远处所产生的电势，可表示为一系列位于原点的电多极子所产生的电势的叠加。

2.3电多极矩
2.3.1电矩
电矩（Electric Moment)，电偶极矩的简称。

在物理学里，电偶极矩衡量正电荷分布与负电荷分布的分离状况，即电荷系统的整体极性。

连接+Q 和–Q 两个点电荷的直线称为电偶极子的轴线，从–Q 指向+Q 的矢径l 和电量Q 的乘积定义为电偶极子的电矩，也称电偶极矩，通常用矢量p 表示。

它得方向与电场线得方向相反，即从正电荷开始，在负电荷结束。

电偶极距具有用来衡量电荷系统极性得意义。

我们用两个电荷作为简单得例子：其中一个带有电荷 + q ，另一个带有负电荷 − q ，则电偶极矩为：p=qr 其中r 是从负电荷指向正电荷的位移向量。

这里面r 的向量便是是从负电荷指向正电荷，与电场线的方向相反，从正电荷开始，指向在负电荷结束。

电偶极距与电场线得方向没有任何 关系，但与电荷得位置有关。

另外，对于有很多点电荷组成的系统，电偶极矩为：其中每一个电偶是一个向量，从某一个参考点指向电荷qi 。

的值与参考点的选择无关，只要整个系统的总电荷为零。

这个公式在N = 2时，与前一个公式是等价的。

电偶极矩向量从负电荷指向
正电荷的，与一个点的位置向量是否是从原点指向该点有关。

对连续分布电荷体系，其电矩为⎺p=⎰V´ρ( ⎺x´) ⎺x´dV´ (4) 对点电荷体系,其电矩为⎺p=∑-'n
x q 1111其中x,为第i 个点电荷的位置矢量，q ，为第i 个点电荷的电量。

2.3.2 电四极矩
电四极矩具有以下特点:
(1)电四极矩是一个对称张量。

(2)电四极矩只有五个分量是独立分量。

(3)具有球对称分布的电荷体系的电四极矩为零。

反之，若电荷分布偏离球对称性，一般就会出现电四极矩。

电四极矩的出现标志着对球对称的偏离，因此我们测量远场的四极势项，就可以对电荷分布形状作出一定的推论。

由 ⎺⎺D=⎰V´3ρ( ⎺x´) ⎺x´ ⎺x´ dV´可知D 为一张量，它有9个分量，可以表示为D ij =⎰V´3ρ( ⎺x´) X i X j dV´=D ij 其中D 为对称张量。

应用“简化补偿”思想对得到的结果进行对比并检验。

即是我们得到的电四极子的模型，其中电四极子的中心位置也已经移动到了所需位置0处。

设正电荷位于z=±b 负电荷位于z=±a 体系的总电荷为零.总电矩也为零.它的电四极矩由D v =⎰V´3ρ( ⎺x´) X i ´X j ´=D ji 得，D 33=6q(b 2-a 2)=6q(b-a)(b+a)=6pl ，其中p=q(b-a)其中p = q(b 一a)为其中一对电偶极子的电矩，l=b 十a 。

为两个偶极子中心的距离。

电荷体系产生的电势由一对反向电偶极子产生。

即
φ≈-πεο41 ⎺p+•▽
+r 1-πεο41 ⎺p•▽-
1r =-πεο4p
z θθ +r 1+-πεο4p z θθ -
1r =-πεο4p
z θθ (+r 1--1r )≈-πεο4p z
θθ (2cos R l θ) =-πεο4pl z θθ (3R z )=πεο4pl 22z
θθ (R 1) =πεο4161 D 3322z θθ(R
1) 其结果与φ(2)(⎺x)=πεο416
1 ⎺ ⎺D•▽▽R 1)相符，这进一步验证，由“简化补偿“思想耐导出模型的正确性。

第三章 电多极矩法的物理图像
从前面的介绍知道,为了实现介电常数和磁导率同时为负数,需要在共同的频率区域A 产生电谐振和磁性。

在电偕振中,其主导方向为X 轴,这与入射电场的方向是一致的。

这也可以从屯流分布中可以发现,其表面产生电流的方向与入射电场方向相反,从而产生类似电偶极子效应的屯谐振。

在频率llGHz 和14GHz 处,电偶极矩的能量出现了两个很明显的峰值。

从幅度上看,低频的幅度略微大于高频。

同样,为了产生类似的磁游振,使得与入射磁场相互响应,需耍构造y 方向上的磁通量,而这个磁通量就足通过前后金属结构所形成的等效屯流冋路来实现的。

Z 轴方向位移电流和y 轴方向负磁谐振都验证了磁偶极矩的存在。

同样在llGHz 和14GHz 两个频率产生了峰值。

不过从幅度上看,低频的强度明显耍大于高频,这也就导致了在图
2. 25等效电磁参数反演中,其等效负磁导率的幅度高频也耍低丁?低频。

最终导致了高频的等效折射率(-
3.1)低于低频的等效折射率(-10.2)。

接下来通过计算电偶极矩和磁偶极矩的能量都谢图。

在整个吸波材料设计中，始终都包含两个部分，一个是与入射电场的电谐振，另外一个就是与入射磁场的磁谐振。

谐振的方式就是电偶极子和磁偶极子。

分别给出了电偶极矩和磁偶极矩的大小。

这里能量的计算包含了整个正反面的金属层。

从图中可以看到，无论是电偶极矩还是磁偶极矩都在11GHz 和16GHz 处出现了两个峰值。

这个两个频率点恰恰是对应了其吸波材料的频率点的。

这也再次验证了在电磁超介质吸波材料中其电与磁的谐振都必须同时存在，从而满足阻抗匹配。

由普通物理知识我们知道,点电荷Q(电单极子，电20极子)的电势为：
φ(0)=R Q οπε4αR 1 （式
3.1）
电偶极子p 电偶极子，电2'极子)的电势为
φ(1)=34R R p οπε ⋅α31R
（式3.2）
其中p=Q 称为电偶极矩。

由两个大小相等、方向相反的电偶极子构成电四极子(电22极子)，其电势可以
猜想为：
φ(2)α
31R （式
3.3）
我们甚至还可猜想电八极子(电23极子)的电势为：
φ(3)α41R
（式3.4）
等等。

那么，电多极矩法的物理图像是什么呢?
我们先考虑处在x 点的点电荷Q 在远处的电势。

图3.1 电多极矩法的物理图像
由图3.1可知，
一个处在x ' 处的点电荷Q 的电势。

处于原点处的点电荷Q 的电势+处于2x '
处电偶极子的电势。

处于原点处的点电荷Q 的电势+处于原点处电偶极子的电势+处于4x '
处电四极子的电势。

由于任意带电体系可以看成是许多点电荷组成，根据电势的叠加原理，上述结论对任意带电体系也成立。

这就是电多极矩法的物理图像。

第四章 电多极矩法的数学推导
Φ（x ' ）=V ''⎰
d r 4x οπερ）（ （式
4.1）
图4.1电势的多极展开
设电荷分布在很小的范围内，也就是说，我们考虑远处的电势，则有
∣x ' ∣<<∣x ∣根据多元函数的级数展开公式，将函数令在r 1在0x =' 附近展开为
r 1=r 10x =' + +'∂'∂∂''+'∂∂'='='∑∑020x i i i )1(21r 1x x x j
i j ij i r x x y x ！）（ = -∂'∂∂''+'∂∂'-∑∑)1(!21)1(122R
x x x R x i x R j i j ij i i i
= -∇∇''+∇⋅'-)1(:!21)1(1R
X X R X R （式4.2）
将上式代入式4.1有 φ]V d R x x x x R x x R x j i j ij i i i
i v '-'∂'∂∂''+'∂∂'-⎢⎣⎡'=∑∑⎰ )1(!21)1(1)(41)x (2ρπεο ]V d R
x R x R x v '-∇∇''+∇⋅'-⎢⎣⎡'=⎰ )1(:x !2111)(41
)x (ρπεο 令Q=V d v ''⎰)x ( ρ，称为带电体系的总电量 V d x x v '''=⎰ )(p ρ，或写成分量式V d x x j v i '''=⎰ )(p ρ，称为带电体系的电偶极矩矢量，
一般情况下它有3个分量 V d x x x 3''''=⎰ ）（ρV D 或写成分量式V d x x D j i v ''''=⎰x 3ij ）（ ρ，称为带电体系的电四极矩张量，一般情况下它有9个分量，由于它是对称张量，即ji D D =ij ，所以，它最多只有6个独立的分量。

因此有，其中 φ] +∂∂∂+∂∂-⎢⎣⎡=∑∑)1(61)1(41)(2R
x x D R x i P R Q x j i ij ij i i οπε ] -∇∇+∇⋅-⎢⎣
⎡=R D R R Q 1:611p 41οπε +Φ+Φ+Φ=)2()1()0(
R
Q 14)0(∝=Φοπε (式4.3) 这是处于原点处点电荷Q 的电势，即相当于把带电体系所有的电荷集中在原点的点电荷的电势。

)1(p 411R
x i
i i ∂∂=Φ∑οπε）（ (式4.4) R P 141∇⋅-= οπε =2314p R R R ∝⋅οπε 这是处于原点处体系的等效电偶极矩P 的电势。

)1(61412ij )2(R
x x D j i ij ∂∂∂⋅=Φ∑οπε (式4.5) =311:6141R
R D ∝∇∇⋅ οπε 这是处于原点处体系的等效电四极矩D 的电势。

由此可见，数学上的推导与直观的物理图像是一致的。

在前面,主耍是围绕屯偶极子、磁偶极子和屯四极子研
究螺绕环超介质的圆二色性和旋光性。

在这种介质中,其它极子的能量基本可以忽略不计,1957年Zel dovich首次提出环偶极子概念,它是由电流沿着螺绕环的径向流动,在环的子午面上形成首尾相接的等效磁偶极子,产生一个轴向的环偶极矩。

首先是电流沿着螺绕环的径向流动,其次很多个电流环在环的平面上形成首尾相接的等效磁偶极子,最终等效的磁偶极子回路又产生一个轴向的环偶极矩。

相比电偶极子和磁偶极子,环偶极子谐振效应较弱,甚至低于其它常见的多极子,比如电四极子和磁四极子,因此,环偶极子常常被人们忽视,难以建立合适的物理模型和实验验证方法。

而随着电磁超介质的发展,应用电磁超介质验证环偶极子效应成为了可能。

下面就基丁-螺绕环超介质的模型加以改进,在微波频段验证其磁环偶极子效应。

受到螺绕环模观的启发,整个模勒由两个部分组成,首先是加载中间的金属铜。

由四个十字形排列的开口缝隙金属环组成。

电磁波沿着Z轴入射,电场极化方向为X轴,磁场极化方向为y轴。

值得注意的是四个金属方环开口的方向并不一致(两上两下沿着入射波方向里正交分布)。

金属方环的外边长a为1.8mm,开口缝隙为0.2mm。

对知两个金属方环的距离r为2.5mm。

介质采用的是罗杰斯3003,相对介电常数为3。

介质的宽度(y-z方向边长)为8mm。

最终单个晶胞在y轴和x轴上周期排列,周期晶格尺寸为8mn1/15mm。

在频率14.25GHz和14%GHz处出现了两个传输禁带。

其中第二个游振频率的强度明显加强。

第一个。

第一个谐振点的吸收率明显偏高,大概50%左心。

在对应的谓振频率点处,其相位都发生了突变。

对应传输禁带的潜振频率,标记了相位差。

在频率14.25GHz处,相位差为179.8度(传输曲线-161.2度,反射曲线378.6度),接近180度;在频率14.96GHz处,相位差为1.6度(传输曲线-154.7度,反射曲线206.9度),接近0度。

接卜来通过其表面电流直观的研究谐振点处的差异。

首先每个金属方环都形成了电流冋路,但是围绕的方向不同。

每个电流回路都可以等效的产生磁偶极矩。

发现四个方环产生的等效磁偶极矩首尾相接,构成了一个环状分布。

这个环状分布的“磁流”最终在X方向形成了等效的磁环偶极矩。

画出了磁场线分布,从图中发现磁场线在四个金属环之间构成了封闭的"无福射”的回路。

与之对应的是频率M.96GHZ处的等效磁偶极矩。

四个金属方环构成的磁偶极矩方向在Z轴方向相互抵消,仅剩下y轴方向的分量。

因此,在高频谐振点处,调振主要来源于磁偶极矩的y轴分量中磁场线分布和磁环偶极子的“无福射”不同,这里磁场线穿过y方向。

第五章各级电多极矩及其势的简单讨论
5.1电偶极矩
①关于原点对称的电荷体系其电偶极矩为零。

证
p
V
d
x
x
V
d
x
x
V
d
x
x
p
x
V
v
v
-=
'
'
'
-=
'
'
-
'
=
'
'
'
='
∴
'
-
=
'
⎰
⎰
⎰
)
(
)
)(
-(
)
(
)
(
)
x(
v
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
因此只有p=0
②一个只有电偶极矩的电荷体系的实例
图5.1只有电偶极矩的电荷体系
图5.2只有电四极矩的电荷体系
显然p 只有z 分最，即
QI
Q Q P P P z x =--+===)21
)((21,00y ， （
式5.1） 由公式(3)得出其电势为
）332
3)1()1(z ,1(4c o s
4)1(41R
z R R R R R Ql R Z P R z P Z Z Q -=∂∂∴-=∇==
∂∂-
=Φ οοπεθπεπε （式5.2） 上述结果也可用直观的方法予以验证
22
0014c o s
c o s 44)1
1r 1(4-
R Ql R l Q
r r r r Q r Q οοοοπεθθπεπεπε=⋅≈-⋅=
-+=Φ++Φ=Φ-++-）（）（）（ （式5.3）
极矩，通常用矢量p 表示。

即电偶极矩是电荷系统的极性的一种衡量。

在两个点电荷的简单情形中，一个带有电荷 + q ，另一个带有电荷 −q ，则电偶极矩为：p=qr 。

其中r 是从负电荷指向正电荷的位移向量。

这意味着电偶极矩的向量从负电荷指向正电荷。

注意到电场线的方向是相反的，也就是说，从正电荷开始，在负电荷结束。

这里并没有矛盾，因为电偶极矩与电荷的位置有关，与电场线无关。

其中每一个是一个向量，从某一个参考点指向电荷。

的值与参考点的选择无关，只要整个系统的总电荷为零。

这个公式在N = 2时，与前一个公式是等价的。

电偶极矩向量从负电荷指向正电荷的事实，与一个点的位置向量是从原点指向该点的事实有关。

当整个系统是电中性时，电偶极矩最容易明白，例如一对相反的电荷，或位于均匀电场内的导体。

对于这类系统，电偶极矩的值与参考点的选择无关。

在讨论非电中性的系统，例如质子的电偶极矩时，则与参考点的选择有关。

在这种情况下，通常把参考点规定为系统的质量中心，而不是任意一个点。

这个规定保证了电偶极矩是系统的一个固有的性质。

电偶极子（electric dipole ）是两个等量异号点电荷组成的系统。

电偶极子的特征用电偶极矩p=lq 描述，其中l 是两点电荷之间的距离，l 和p 的方向规定由－q 指向+q 。

电偶极子在外电场中受力矩作用而旋转，使其电偶极矩转向外电场方向。

电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩，故简称电矩。

如果外电场不均匀，除受力矩外，电偶极子还要受到平移作用。

电偶极子产生的电场是构成它的正、负点电荷产生的电场之
矢量和。

5.2电四极矩
①电四极矩张量是对称张量.即ji D D =ij ，因此，它最多只有6个独立的分量。

②一个只有电四极矩的电荷体系的实例显然D 只有D 33分量，而
[]
pl a b a b Q a b Q a Q a Q b Q Q D 6)
)((6)
(6))(()()(b 322222233=+-=-=--+-+-+= （式5.4）
其中1=a+b ，为两个电偶极子中心的距离。

由公式(4)得出其电势为：
)1(614pl
)1(6141-223322332R
z D R
z D ∂∂⋅=∂∂⋅=Φοοπεπε）（ （式5.5） 3)1(z R
z R -=∂∂ （式5.6） ),(33z )()1(z 5226
23322R
z z R R R R R R z R R R R z z R z
R =∂∂∴=∇-=⋅--=∂∂-=∂∂∴∂∂ （式5.7） 3
3252
2)2(1
1c o s 34pl
34pl R R R R z ∝-⋅=-⋅=Φ∴οοπεπε （式5.8）
上述结果也可用直观的方法予以验证.
22232)2()2()2(341
)(41
)c o s (p 41
)r 1r 1(p 41
)r 1(p 41)r 1(p 41
--
R R z p R z z p R l z z z z -⋅=∂∂⋅=∂∂=--+∂∂-=-∂∂++∂∂=Φ++Φ=Φοο
ο
ο
οο
πεπεθπεπεπεπε （式5.9）
在电游振特性中,人多采用金属线模观。

后来人们都过对金属线模观增加金属冋路来增强电感效应。

但娃在实际应中,金属线模型往往需耍制作成无限人的立体三维结构来实现较强的屯偕振特性,从而限制了其在应用领域的拓宽。

这就耍求人们设计出较小尺寸的平面电偕振校艰。

这部分模型多是基于LC 游振电路理论的。

从理论上来说,传统设计负磁导率的基础模型(Split ring resonator) SRR I 皆振环,在A-有磁游振特性的同时,也有电游振。

一般来说,电糊合和磁親合会发生互扰,从而使得电磁超介质的设计变得更加复染。

在设计中,对称结构往往可以抑制磁谐振。

随着人们研究的发展,对称结构设计的最终0的就是设计亚波长结构的电磁超介质来实现与入射电场的响应并抑制磁谐振。

针对传统金属线模型中的复杂性和在传统结构单元中磁谱振干扰的问题,我们土耍针对儿种只.体的平面屯勝振单元来研究其负介屯常数特性。

这些平面屯游振单元,为设计平面负折射率材料成者吸波材料提供很人的帮助。

给出了通过S 参数反演得到的等效介电常数和磁导率的实部。

实色黑线为介电常数的实部。

从图中可以发现,介电常数在频率4. 27GHz 处出现了最大的负值,幅度为-5. 26。

说明在电场难宵于电容电极的情况下,入射电场与EIX 发生了强烈的谓振。

事实上,券屯场平行丁-电极时,谓振就会沿火。

虚线表示的磁导率的实部。

整体来说,整个ELC 的磁导率在1附近,表明由丁- ELC 结构里现了一个非常对称的结构,这种对称结构儿乎不显示出磁游振特性。

里然存在两个平行的问路,但娃,这两个电感冋路兒反向,大小一致,从而最终抵消。

这为设计单纯的负屯材料提供了便捷。

但是在频率 4. 15GHz 处,磁导率出现了一个略微的振荡。

称之为"Magnetic antiresonance"效应。

这个主耍来源于在对一个高度空间色散的媒质,试图在一定频率范围内进行反演。

同时在高频带,大约8GHz 处,也发现了一个高阶的屯谐振特性。

这里不讨论这个高阶谐振。

在后面的讨论中,仅仅讨论低频的这个谐振。

现在来冋顾整个设计。

首先,当单元周期尺寸远小于波长的时候可以通过等效介质理论来计算整个模艰。

在实际电磁超介质设计中,一般认为入射波长和单元结构尺。