高数试题(12级理科)下
2012年高考数学(理)试题及答案(全国卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131ii -+=+（A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1,A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0或 （B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中 ，2A B =，1CC =E 为1C C 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B） （C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100（6）A B C ∆中，A B 边的高为C D ，若CB a = ，C A b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos 2α=（A ）3- （B ）9- （C 9 （D 3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形A B C D 的边长为1，点E 在边A B 上，点F 在边B C 上，37A E B F ==。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 1830 ．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河南理工大学高等数学下试题及答案
河南理工大学2012级高等数学[下]期末试卷一、填空（每小题4分，共24分）1．函数22ln(1)z x y =--的定义域是 ，函数在 是间断的.2．设函数22sin()z x y =+，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ .4．设2222:x y z a ∑++=，则曲面积分222()xy z dS ∑++⎰⎰= .5．设:11,02D x y -≤≤≤≤，则二重积分2Dx yd σ⎰⎰= . 6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为 解. 二、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．求函数22ax by z e+=（,ab 为常数）的全微分.2．求曲面2220x y z +-=在点处的切平面方程和法线方程.3．求微分方程(1)xxe yy e '-=的通解. 三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．设(),z xy xF u =+而,()yu F u x=为可导函数，试计算z z x y x y ∂∂+∂∂. 2．计算三重积分,.zdxdydz Ω⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =22z x y =+所围成的闭区域.3．计算曲面积分xyzdydz ∑⎰⎰，其中∑是柱面222(0)x y a x +=≥介于平面0y =及(0)y h h =>之间部分的前侧。
四、（12分）求微分方程''3'2cos y y y x -+=的通解.五、（12分）求曲线积分22(1),(1)L ydx x dyx y ---+⎰其中： （1）（8分）L 为圆周2220x y y +-=的正向.（2）（4分）L 为椭圆22480x y x +-=的正向六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.七、（7分）讨论函数22223222220(,)()00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性.河南理工大学2011级高等数学（下）期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1．设函数33z x y y x =-，则全微分dz = 2．设函数(,),u f x y xy f =+具有一阶连续偏导数，则ux∂=∂ 3．二重积分120(,)yI dy f x y dx =⎰⎰，改变积分次序后I = .4．直角坐标系下的三次积分11I dx f dz -=⎰化为球坐标系下的三次积分I =5．若区域2222:x y z R Ω++=，则三重积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰=6．当λ= 时，(2)()x y dx x y dy λ+++为某二元函数(,)u x y 的全微分.7．曲线积分22()LI x y dx =-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)A 到(2,4)B 的一段弧，则I = .8．当∑为xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分与二重积分的关系为(,,)f x y z dS ∑⎰⎰= .9．二阶常系数齐次线性微分方程''2'0y y y ++=的通解为y = 10. 二阶常系数非齐次线性微分方程''2'2xy y y e--+=的特解形式为y *=二．（10分）(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--= 所确定的函数(,)z f x y =满足z za b c x y∂∂+=∂∂三．（10分）由锥面z =22z x y =+所围立体体积四．（10分）求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθ===在(,0,0)a 处的切线方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分11()()x xI f dydz f dzdx zdxdy y y x y∑=++⎰⎰，其中()f u 具有二阶连续导数，∑为上半球面z =与0z =所围成空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 六．（10分）设曲线积分2()[2()]Lyf x dx xf x x dy +-⎰在右半平面(0)x ≥内与路径无关，其中()f x 可导且(1)1f =，求()f x .七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程''2'33y y y x --=，求其通解.河南理工大学2010级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数2()y z tg x =，则zx∂∂ ，z y ∂∂ .2．曲线2233,,x t y t z t ===在(1,1,1)M 处的切线方程为.3．交换二次积分次序，2220(,)y y dy f x y dx =⎰⎰.4．设L 为右半圆周：221(0)x y x +=≥，则曲线积分LI yds =⎰.5．设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++=⎰⎰ .8．求微分方程229200d y dyy dx dx-+=的通解为 . 二．解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设0,ze xyz dz -=求.2．讨论函数22(1)2z x y =--是否有极值4．求微分方程sin ()1dyx y xdx y π⎧+=⎪⎨⎪=⎩的特解.5．求微分方程1y y '''+=的通解.三．（11分）利用格林公式计算曲线积分(1cos )(sin 2)x x LI e y dx e y x dy =-+-⎰，其中L 为从原点(0,0)0O A π到（，）的正弦曲线sin y x =.四．（11分）利用高斯公式计算曲面积分23I ydydz x dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=的内侧.五．（11分）求由锥面z =22z x y =+所围成的立体的体积.河南理工大学2009级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分） 1．设函数(),y z f f x =可微，则z z xy x y∂∂+=∂∂ . 2．曲线2233,,x t y t z t ===在t=1处的法平面方程为： . 3．设区域D 由,2y x x ==及1y x =所围，则化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为先x y 后的二次积分后的结果为 .4．设L 为圆弧：222,0x y y +=≥，则曲线积分22()LI x y ds =+=⎰.5．设:1)z z ∑=≤≤，则曲面积分2I ds ∑=⎰= .8．二阶常系数非齐次线性微分方程324''12'9x y y y e-++=的特解形式为y *= .（不要求计算） 二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．求函数z =(,)0y xF z z=，其中F 具有一阶连续偏导数，求dz . 2．讨论224()z x y x y =--的极值.4．求微分方程1cos sin 2dy dx x y y=+的通解. 三．（10分）设L 为222(0)x y a a +=>沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分22LI xy dy x ydx =-⎰.四．（10分）求由球面2222()x y z a a ++-=及222z x y =+所围成的立体的体积. 五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分242I xzdydz y dzdx yzdxdy ∑=-+⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=外侧的上半部分.六、（10分）求()f x ，使曲线积分2[(2)()][()]LI y xy f x y dx xy f x dy '=+-++/⎰与路径无关，其中()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)1f f '==/.河南理工大学2008级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数44224,z x y x y =+-则2zx y∂=∂∂ . 2．设xyz e =，则dz = .3．曲线12212,2,x t y t z t t =+=+=在=1处的法平面方程为 .. 4．交换二次积分次序，则2220(,)y y dy f x y dx =⎰⎰.5．设L 为圆周：222x y a +=，则曲线积分22()n LI x y ds =+⎰.6．当∑为xoy 平面内的一个闭区域D 时，则曲面积分dS ∑=⎰⎰ .7．微分方程'ln 0xy y y -=的通解为 . 8．微分方程''6'130y y y ++=的的通解为 .二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．(,)z z x y =由方程(),0cx az cy bz ϕ--=所确定，其中ϕ具有连续的偏导数，求,z zx y∂∂∂∂. 2．计算二重积分(),Dx y d σ+⎰⎰其中D 是由21,y y x ==所围成的闭区域. 3．利用高斯公式计算曲面积分222(3)(2)I xz dydz x y dzdx y z dxdy ∑=+-++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=的外侧. 4．求微分方程226dxyx y dy=-的通解. 三．（10分）某厂要用铁板做成一个体积为34m 的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省.四．（10分）求由曲面22z x y =+及228z x y =--所围成的立体的体积.五．（10分）微分方程2'''2xy y y e +-=的通解. 六．（10分）曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续的导数，且(0)0ϕ=，计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰.河南理工大学2007级高等数学[下]期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设33223z x y x y =+-，则22___________zx∂=∂.（2）设33z x y y x =-，则全微分________________dz =.（3）曲线22332,3,x t y t z t ===在(2,3,1)M 处的切线方程为 . （4）交换二次积分次序，则120(,)ydy f x y dx =⎰⎰.（5）设有曲线：y x =的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：Lyds =⎰.（6）设曲面∑是锥面(0)z a a =>在柱面222x y a +=内部那一部分上侧，则曲面积分(I z dS ∑=+=⎰⎰. （7）设(,)f x y 具有连续偏导数，且221(,)1,(,),f x x f x x x '==则22(,)f x x '= . （8）当λ= 时，(2)()x y dx x y dy λ+++为某二元函数(,)u x y 的全微分. (9) 微分方程0xxye dx e dy +=的通解为(10) 微分方程22690d y dy y dx dx-+=的通解为二．（7分）设2222230,;.zz x y z z xx∂∂++-=∂∂求. 三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为l 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 四 （7分）利用适当的坐标计算积分22,Dx dxdy y⎰⎰其中D 是由直线： 2,x y x ==及曲线1xy = 所围城的闭区域.五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分：333,I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰其中∑是曲面z =上侧.六．(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：(24)(536),Lx y dx y x dy -+++-⎰其中L为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.七．(10分) 求由抛物面221()2z x y =+与平面1z = 所围成空间闭区域内的立体的质 量，已知此立体的体密度为:(,,).x y z z ρ=八．(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 65y y y x '''--=，求其通解.九．（9分）设曲线积分2231()[()]22Ly x dx x x ydy ϕϕ+-⎰与路径无关, 其中()x ϕ具有连续的一阶导数,且当其为起点在O （0，0）终点为B （1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于1,4求函数()x ϕ.河南理工大学2006级高等数学[下]期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设(,,)u f x y z =,sin y x =，2z x =,f 具有一阶连续偏导数，则dudx= （2）设2sin2x y z e=，则全微分dz =（3）曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 （4）交换二次积分次序，则211(,)xdx f x y dy =⎰⎰（5）计算二重积分的值4Dxydxdy =⎰⎰ ，其中:01,01D x y ≤≤≤≤（6）曲线L 为球面2222x y z a ++=与平面x y =相交的圆周，其中0a >，则曲线积分222Ly z ds +=⎰（7）设曲面∑是在柱面222x y a += (0)a >上介于;z h z h =-=(0)h >的部分，则曲面积分I ds ∑==⎰⎰（8）当a = 时，曲线积分3222(cos )(12sin 3)Laxy y x dx y x x y dy -+-+⎰与路径无关.（9）微分方程2x dyy be dx -+=（b 为常数）的通解为 （10）微分方程2290d yy dx +=的通解为 二、（8分）已知三个正数,,x y z 之和为12，求32u x y z =的最大值.三、（8分）计算二重积分sin Dxdxdy x ⎰⎰的值，其中D 是由直线y x =及曲线2y x =所围成的闭区域.四、（10分）求旋转抛物面222z x y =--与锥面z =.五、（10分）求(24)(536)Lx y dx y x dy -++++⎰，其中L 为顶点坐标分别是(0,0)，(3,0)，(3,2)的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：323232()()()x az dydz y ax dxdz z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是曲面z =的上侧(0)a >.七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程44axy y y e '''++=的通解（其中a 为常数）. 八、（10分）设()f x 具有一阶连续导数，且()1f π=，又[sin ()]()0yx f x dx f x dy x-+= (0)x >是全微分方程，求()f x .九、（6分）已知()z z u =，且()()x yu u p t dt ϕ=+⎰，其中()z z u =可微，()u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠，()p t 连续，求()()z zp y p x x y∂∂+∂∂. 河南理工大学2005级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1.由曲线1y x=与直线y x =及2x =围成的图形的面积为,A 若以x 为积分变量,面积A 可用定积分表示为A = . 2.设(,)f x y 为连续函数，则交换二次积分次序后2100(,)x dx f x y dy =⎰⎰ .3.22()LI x y ds =+=⎰ ,其中L 是圆弧221,0x y y +=≥.4.()x y z dS I∑++==⎰⎰ ，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.5.设∑为xoy面上的闭区域,取下侧, D 表示∑在xoy面的投影,将(,,)(,,)(,,)I P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy ∑=++⎰⎰化为D 上的二重积分,则I = .9.全微分方程3222(13)0xy dx x y dy ++=的通解为 .10.一阶线性非齐次方程:()()y P x y Q x '+=的通解为y = . 二、计算下列各题(每小题5分，共10分)1.求曲线2y x =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.2.2.||,:||1,01I y x dxdy D x y D=-≤≤≤⎰⎰三、（7分）计算三重积分2222I x y z zΩ=Ω++=⎰⎰⎰，其中是由球面所围成的闭区域。
2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析精选全文
可编辑修改精选全文完整版2012年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P 点，可得出直线l与圆C相交．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．解答：解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．点评：本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果解答：解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C点评：本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．解答：解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．解答：解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a 的值．解答：解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以=10，解得a=1，故答案为：1．点评：本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力．13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．解答：解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．解答：解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．17．（12分）（2012•陕西）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：综合题．分析：（1）设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{a n}的公比；（2）对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0，从而得证．解答：（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）考点：向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：证明题．分析：（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．解答：证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于α），c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题点评：本题考查用向量的方法证明线线垂直，利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直，考查命题的逆命题的写法，本题是一个综合题目，是一个中档题．19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．解答：解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义．21．（14分）（2012•陕西）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．考点：数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据fn（）f n（1）=（﹣）×1＜0，以及f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出f n（x n）和f n+1（x n+1）的解析式，再由当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n（x n+1），且f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，从而得出结论．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，由f n+1（x n）f n+1（1）＜0可得f n+1（x）的零点在（x n，1）内，从而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出结论．解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=x n+bx+c=x n+x﹣1，∴f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，∴f n（x）在区间内存在零点．再由f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．当＞1时，即b＞2或b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．综上可得，﹣2≤b≤2．（3）证法一：在（1）的条件下，x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，则有f n（x n）=+x n﹣1=0，f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1=0．当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n （x n+1）．由（1）知，f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，f n+1（x n）f n+1（1）=（+x n﹣1）×1=+x n﹣1＜+x n﹣1=0，故f n+1（x）的零点在（x n，1）内，∴x n＜x n+1（n≥2），故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题．。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）已知集合✌ ， ， ， ， ❝， （⌧，⍓） ⌧∈✌，⍓∈✌，⌧﹣⍓∈✌❝，则 中所含元素的个数为（）✌． ． ． ．．（ 分）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（）✌． 种 ． 种 ． 种 ． 种．（ 分）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（），☐ ： ，☐ ： ♓，☐ ： 的共轭复数为 ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ．✌．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐．（ 分）设☞ 、☞ 是椭圆☜： （♋＞♌＞ ）的左、右焦点， 为直线⌧上一点，△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，则☜的离心率为（）✌． ． ． ．．（ 分）已知 ♋⏹❝为等比数列，♋ ♋ ，♋ ♋ ﹣ ，则♋ ♋ （）✌． ． ．﹣ ．﹣．（ 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数☠（☠≥ ）和实数♋ ，♋ ，⑤，♋⏹，输出✌， ，则（）✌．✌为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的和．为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的算术平均数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最小的数和最大的数．（ 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）✌． ． ． ． ．（ 分）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在⌧轴上， 与抛物线⍓ ⌧的准线交于点✌和点 ， ✌ ，则 的实轴长为（）✌． ． ． ．．（ 分）已知▫＞ ，函数♐（⌧） ♦♓⏹（▫⌧）在区间☯，⇨上单调递减，则实数▫的取值范围是（）✌． ． ． ．（ ， ．（ 分）已知函数♐（⌧） ，则⍓♐（⌧）的图象大致为（）✌． ． ． ． ．（ 分）已知三棱锥 ﹣✌的所有顶点都在球 的表面上，△✌是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为（）✌． ． ． ．．（ 分）设点 在曲线上，点✈在曲线⍓●⏹（ ⌧）上，则 ✈最小值为（）✌． ﹣●⏹ ． ． ●⏹ ．二．填空题：本大题共 小题，每小题 分．．（ 分）已知向量夹角为 ，且，则 ． ．（ 分）设⌧，⍓满足约束条件：；则 ⌧﹣ ⍓的取值范围为．．（ 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 或元件 正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布☠（ ， ），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 小时的概率为．．（ 分）数列 ♋⏹❝满足♋⏹ （﹣ ）⏹♋⏹ ⏹﹣ ，则 ♋⏹❝的前 项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．（ 分）已知♋，♌，♍分别为△✌三个内角✌， ， 的对边，♍♋♦♓⏹﹣♍♍☐♦✌．（ ）求✌；（ ）若♋，△✌的面积为，求♌，♍．．（ 分）某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（ ）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润⍓（单位：元）关于当天需求量⏹（单位：枝，⏹∈☠）的函数解析式．（ ）花店记录了 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量⏹频数 以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（♓）若花店一天购进 枝玫瑰花，✠表示当天的利润（单位：元），求✠的分布列，数学期望及方差；（♓♓）若花店计划一天购进 枝或 枝玫瑰花，你认为应购进 枝还是 枝？请说明理由．．（ 分）如图，直三棱柱✌﹣✌ 中，✌✌✌ ， 是棱✌✌ 的中点， ⊥ （ ）证明： ⊥ ；（ ）求二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小．．（ 分）设抛物线 ：⌧ ☐⍓（☐＞ ）的焦点为☞，准线为●，✌∈ ，已知以☞为圆心，☞✌为半径的圆☞交●于 ， 两点；（ ）若∠ ☞ ，△✌的面积为，求☐的值及圆☞的方程；（ ）若✌， ，☞三点在同一直线❍上，直线⏹与❍平行，且⏹与 只有一个公共点，求坐标原点到❍，⏹距离的比值．．（ 分）已知函数♐（⌧）满足♐（⌧） ♐（ ）♏⌧﹣ ﹣♐（ ）⌧⌧ ；（ ）求♐（⌧）的解析式及单调区间；（ ）若，求（♋ ）♌的最大值．四、请考生在第 ， ， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．．（ 分）如图， ，☜分别为△✌边✌，✌的中点，直线 ☜交△✌的外接圆于☞，☝两点，若 ☞∥✌，证明：（ ） ；（ ）△ ∽△☝．．选修 ﹣ ；坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是（▫为参数），以坐标原点为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是▫，正方形✌的顶点都在 上，且✌， ， ， 依逆时针次序排列，点✌的极坐标为（ ，）．（ ）求点✌， ， ， 的直角坐标；（ ）设 为 上任意一点，求 ✌ 的取值范围．．已知函数♐（⌧） ⌧♋⌧﹣ （ ）当♋﹣ 时，求不等式♐（⌧）≥ 的解集；（ ）若♐（⌧）≤ ⌧﹣ 的解集包含☯ ， ，求♋的取值范围．年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）（ ❿新课标）已知集合✌ ， ， ， ， ❝， （⌧，⍓） ⌧∈✌，⍓∈✌，⌧﹣⍓∈✌❝，则 中所含元素的个数为（）✌． ． ． ．【分析】由题意，根据集合 中的元素属性对⌧，⍓进行赋值得出 中所有元素，即可得出 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，⌧时，⍓ ， ， ， ，⌧ 时，⍓ ， ， ，⌧ 时，⍓ ， ，⌧时，⍓综上知， 中的元素个数为 个故选．（ 分）（ ❿新课标）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（）✌． 种 ． 种 ． 种 ． 种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法故不同的安排方案共有 × × 种故选 ✌．（ 分）（ ❿新课标）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（），☐ ： ，☐ ： ♓，☐ ： 的共轭复数为 ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ．✌．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐【分析】由 ﹣ ﹣♓，知，，☐ ： 的共轭复数为﹣ ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ，由此能求出结果．【解答】解：∵ ﹣ ﹣♓，∴，，☐ ： 的共轭复数为﹣ ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ，故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）设☞ 、☞ 是椭圆☜： （♋＞♌＞ ）的左、右焦点， 为直线⌧上一点，△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，则☜的离心率为（）✌． ． ． ．【分析】利用△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，可得 ☞ ☞ ☞ ，根据 为直线⌧上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，∴ ☞ ☞ ☞∵ 为直线⌧上一点∴∴故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）已知 ♋⏹❝为等比数列，♋ ♋ ，♋ ♋ ﹣ ，则♋ ♋ （）✌． ． ．﹣ ．﹣【分析】由♋ ♋ ，及♋ ♋ ♋ ♋ ﹣ 可求♋ ，♋ ，进而可求公比❑，代入等比数列的通项可求♋ ，♋ ，即可【解答】解：∵♋ ♋ ，由等比数列的性质可得，♋ ♋ ♋ ♋ ﹣∴♋ ，♋ ﹣ 或♋ ﹣ ，♋当♋ ，♋ ﹣ 时，，∴♋ ﹣ ，♋ ，∴♋ ♋ ﹣当♋ ﹣ ，♋ 时，❑ ﹣ ，则♋ ﹣ ，♋∴♋ ♋ ﹣综上可得，♋ ♋ ﹣故选．（ 分）（ ❿新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数☠（☠≥ ）和实数♋ ，♋ ，⑤，♋⏹，输出✌， ，则（）✌．✌为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的和．为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的算术平均数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数其中✌为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数， 为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最小的数故选： ．．（ 分）（ ❿新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）✌． ． ． ． 【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 ；底面三角形斜边长为 ，高为 的等腰直角三角形，此几何体的体积为✞× × × ．故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在⌧轴上， 与抛物线⍓ ⌧的准线交于点✌和点 ， ✌ ，则 的实轴长为（）✌． ． ． ．【分析】设等轴双曲线 ：⌧ ﹣⍓ ♋ （♋＞ ），⍓ ⌧的准线●：⌧﹣ ，由 与抛物线⍓ ⌧的准线交于✌， 两点，，能求出 的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线 ：⌧ ﹣⍓ ♋ （♋＞ ），⍓ ⌧的准线●：⌧﹣ ，∵ 与抛物线⍓ ⌧的准线●：⌧﹣ 交于✌， 两点，∴✌（﹣ ， ）， （﹣ ，﹣ ），将✌点坐标代入双曲线方程得 ，∴♋， ♋ ．故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）已知▫＞ ，函数♐（⌧） ♦♓⏹（▫⌧）在区间☯，⇨上单调递减，则实数▫的取值范围是（）✌． ． ． ．（ ， 【分析】法一：通过特殊值▫、▫ ，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导▫的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意 排除（ ）合题意 排除（ ）（ ）法二：，得：．故选✌．．（ 分）（ ❿新课标）已知函数♐（⌧） ，则⍓♐（⌧）的图象大致为（）✌． ． ． ．【分析】考虑函数♐（⌧）的分母的函数值恒小于零，即可排除✌， ，由♐（⌧）的定义域能排除 ，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则♑（⌧）∴♑（⌧）在（﹣ ， ）上为增函数，在（ ， ∞）上为减函数∴♑（⌧）＜♑（ ） ∴♐（⌧） ＜得：⌧＞ 或﹣ ＜⌧＜ 均有♐（⌧）＜ 排除✌， ，又♐（⌧） 中，，能排除 ．故选 ．（ 分）（ ❿新课标）已知三棱锥 ﹣✌的所有顶点都在球 的表面上，△✌是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为（）✌． ． ． ．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 ，进而求出底面✌上的高 ，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为 ，过✌三点的小圆的圆心为 ，则 ⊥平面✌，延长 交球于点 ，则 ⊥平面✌．∵ ，∴ ，∴高 ，∵△✌是边长为 的正三角形，，∴△✌．∴✞三棱锥 ﹣✌故选： ．．（ 分）（ ❿新课标）设点 在曲线上，点✈在曲线⍓●⏹（ ⌧）上，则 ✈最小值为（）✌． ﹣●⏹ ． ． ●⏹ ．【分析】由于函数与函数⍓●⏹（ ⌧）互为反函数，图象关于⍓⌧对称，要求 ✈的最小值，只要求出函数上的点到直线⍓⌧的距离为的最小值，设♑（⌧） ，利用导数可求函数♑（⌧）的单调性，进而可求♑（⌧）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数⍓●⏹（ ⌧）互为反函数，图象关于⍓⌧对称，函数上的点到直线⍓⌧的距离为，设♑（⌧） （⌧＞ ），则，由≥ 可得⌧≥●⏹，由＜ 可得 ＜⌧＜●⏹，∴函数♑（⌧）在（ ，●⏹）单调递减，在☯●⏹， ∞）单调递增，∴当⌧●⏹时，函数♑（⌧）❍♓⏹ ﹣●⏹，，由图象关于⍓⌧对称得： ✈最小值为．故选 ．二．填空题：本大题共 小题，每小题 分．．（ 分）（ ❿新课标）已知向量夹角为 ，且，则 ．【分析】由已知可得， ，代入 可求【解答】解：∵，∴∴ 解得故答案为：．（ 分）（ ❿新课标）设⌧，⍓满足约束条件：；则 ⌧﹣ ⍓的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由 ⌧﹣ ⍓可得，⍓，则﹣表示直线⌧﹣ ⍓﹣ 在⍓轴上的截距，截距越大， 越小，结合函数的图形可求 的最大与最小值，从而可求 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由 ⌧﹣ ⍓可得，⍓，则﹣表示直线⌧﹣ ⍓﹣ 在⍓轴上的截距，截距越大， 越小结合函数的图形可知，当直线⌧﹣ ⍓﹣ 平移到 时，截距最大， 最小；当直线⌧﹣ ⍓﹣ 平移到✌时，截距最小， 最大由可得 （ ， ），由可得✌（ ， ）∴☪❍♋⌧ ，☪❍♓⏹ ﹣则 ⌧﹣ ⍓∈☯﹣ ，故答案为：☯﹣ ，．（ 分）（ ❿新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 或元件 正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布☠（ ， ），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过 小时的概率为，而所求事件❽该部件的使用寿命超过 小时❾当且仅当❽超过 小时时，元件 、元件 至少有一个正常❾和❽超过 小时时，元件 正常❾同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布☠（ ， ）得：三个电子元件的使用寿命超过 小时的概率为设✌超过 小时时，元件 、元件 至少有一个正常❝， 超过 小时时，元件 正常❝该部件的使用寿命超过 小时❝则 （✌） ， （ ）（ ） （✌） （✌） （ ） ×故答案为．（ 分）（ ❿新课标）数列 ♋⏹❝满足♋⏹ （﹣ ）⏹♋⏹ ⏹﹣ ，则 ♋⏹❝的前 项和为 ．【分析】由题意可得 ♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，⑤♋ ﹣♋ ，变形可得 ♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，⑤利用数列的结构特征，求出 ♋⏹❝的前 项和【解答】解：∵♋⏹ （﹣ ）⏹ ♋⏹ ⏹﹣ ，∴有♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，⑤♋ ﹣♋ ．从而可得♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，⑤从第一项开始，依次取 个相邻奇数项的和都等于 ，从第二项开始，依次取 个相邻偶数项的和构成以 为首项，以 为公差的等差数列．∴ ♋⏹❝的前 项和为 × （ × ） ，故答案为： ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿新课标）已知♋，♌，♍分别为△✌三个内角✌， ， 的对边，♍♋♦♓⏹﹣♍♍☐♦✌．（ ）求✌；（ ）若♋，△✌的面积为，求♌，♍．【分析】（ ）由正弦定理有：♦♓⏹✌♦♓⏹﹣♦♓⏹♍☐♦✌﹣♦♓⏹，可以求出✌；（ ）有三角形面积以及余弦定理，可以求出♌、♍．【解答】解：（ ）♍♋♦♓⏹﹣♍♍☐♦✌，由正弦定理有：♦♓⏹✌♦♓⏹﹣♦♓⏹♍☐♦✌﹣♦♓⏹，即♦♓⏹❿（♦♓⏹✌﹣♍☐♦✌﹣ ） ，又，♦♓⏹≠ ，所以♦♓⏹✌﹣♍☐♦✌﹣ ，即 ♦♓⏹（✌﹣） ，所以✌；（ ）♌♍♦♓⏹✌，所以♌♍ ，△✌♋，由余弦定理得：♋ ♌ ♍ ﹣ ♌♍♍☐♦✌，即 ♌ ♍ ﹣♌♍，即有，解得♌♍．．（ 分）（ ❿新课标）某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（ ）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润⍓（单位：元）关于当天需求量⏹（单位：枝，⏹∈☠）的函数解析式．（ ）花店记录了 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量⏹频数 以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（♓）若花店一天购进 枝玫瑰花，✠表示当天的利润（单位：元），求✠的分布列，数学期望及方差；（♓♓）若花店计划一天购进 枝或 枝玫瑰花，你认为应购进 枝还是 枝？请说明理由．【分析】（ ）根据卖出一枝可得利润 元，卖不出一枝可得赔本 元，即可建立分段函数；（ ）（♓）✠可取 ， ， ，计算相应的概率，即可得到✠的分布列，数学期望及方差；（♓♓）求出进 枝时当天的利润，与购进 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（ ）当⏹≥ 时，⍓ ×（ ﹣ ） ；当⏹≤ 时，⍓⏹﹣ （ ﹣⏹） ⏹﹣ ，得：（ ）（♓）✠可取 ， ， ，当日需求量⏹ 时，✠，⏹ 时，✠ ，其他情况✠ ，（✠） ， （✠ ） ， （✠ ） ﹣ ﹣ ，✠的分布列为✠ ☜✠× × × ✠ × × × （♓♓）购进 枝时，当天的利润的期望为⍓（ × ﹣ × ）× （ × ﹣ × ）× （ × ﹣ × ）× × × ∵ ＞ ，∴应购进 枝．（ 分）（ ❿新课标）如图，直三棱柱✌﹣✌ 中，✌✌✌ ， 是棱✌✌ 的中点， ⊥ （ ）证明： ⊥ ；（ ）求二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小．【分析】（ ）证明 ⊥ ，只需证明 ⊥面 ，即证明 ⊥， ⊥ ；（ ）证明 ⊥面✌ ✌ ，可得 ⊥✌取✌ 的中点 ，过点 作 ☟⊥ 于点☟，连接 ， ☟，可得点☟与点 重合且∠ 是二面角✌ ﹣ ﹣ 的平面角，由此可求二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小．【解答】（ ）证明：在 ♦△ ✌中，✌✌，∴∠✌ 同理：∠✌ ，∴∠ ∴ ⊥ ， ⊥ ∵ ∩ ∴ ⊥面 ∵ ⊂面 ∴ ⊥ （ ）解：∵ ⊥ ， ⊥ ， ∩ ，∴ ⊥面✌ ✌ ，∵✌⊂面✌ ✌ ，∴ ⊥✌取✌ 的中点 ，过点 作 ☟⊥ 于点☟，连接 ， ☟∵✌ ，∴ ⊥✌ ，∵面✌ ⊥面✌ ，面✌ ∩面✌ ✌ ，∴ ⊥面✌ 而 ⊂面✌ ∴ ⊥ ，∵ ☟⊥ ， ∩ ☟，∴ ⊥面 ☟∴ ☟⊥ ，∴点☟与点 重合且∠ 是二面角✌ ﹣ ﹣ 的平面角设✌♋，则，，∴♦♓⏹∠ ∴∠ 即二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小为 ．（ 分）（ ❿新课标）设抛物线 ：⌧ ☐⍓（☐＞ ）的焦点为☞，准线为●，✌∈ ，已知以☞为圆心，☞✌为半径的圆☞交●于 ， 两点；（ ）若∠ ☞ ，△✌的面积为，求☐的值及圆☞的方程；（ ）若✌， ，☞三点在同一直线❍上，直线⏹与❍平行，且⏹与 只有一个公共点，求坐标原点到❍，⏹距离的比值．【分析】（ ）由对称性知：△ ☞是等腰直角△，斜边 ☐点✌到，知准线●的距离，由△✌的面积△✌，由此能求出圆☞的方程．（ ）由对称性设，则点✌， 关于点☞对称得：，得：，由此能求出坐标原点到❍，⏹距离的比值．【解答】解：（ ）由对称性知：△ ☞是等腰直角△，斜边 ☐点✌到准线●的距离，∵△✌的面积，△✌∴ ，解得☐，所以☞坐标为（ ， ），∴圆☞的方程为⌧ （⍓﹣ ） ．（ ）由题设，则，∵✌， ，☞三点在同一直线❍上，又✌为圆☞的直径，故✌， 关于点☞对称．由点✌， 关于点☞对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到❍，⏹距离的比值为．．（ 分）（ ❿新课标）已知函数♐（⌧）满足♐（⌧） ♐（ ）♏⌧﹣ ﹣♐（ ）⌧⌧ ；（ ）求♐（⌧）的解析式及单调区间；（ ）若，求（♋ ）♌的最大值．【分析】（ ）对函数♐（⌧）求导，再令自变量为 ，求出♐（ ）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（ ）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于 即可得到参数♋，♌ 所满足的关系式，再研究（♋ ）♌的最大值【解答】解：（ ）令⌧ 得：♐（ ）∴令⌧，得♐（ ） ♐（ ）♏﹣ 解得♐（ ） ♏故函数的解析式为令♑（⌧） ♐（⌧） ♏⌧﹣ ⌧∴♑（⌧） ♏⌧ ＞ ，由此知⍓♑（⌧）在⌧∈ 上单调递增当⌧＞ 时，♐（⌧）＞♐（ ） ；当⌧＜ 时，有♐（⌧）＜♐（ ） 得：函数的单调递增区间为（ ， ∞），单调递减区间为（﹣∞， ）（ ）得♒（⌧） ♏⌧﹣（♋ ）①当♋ ≤ 时，♒（⌧）＞ ⇒⍓♒（⌧）在⌧∈ 上单调递增，⌧❼﹣∞时，♒（⌧）❼﹣∞与♒（⌧）≥ 矛盾②当♋ ＞ 时，♒（⌧）＞ ⇔⌧＞●⏹（♋ ），♒（⌧）＜ ⇔⌧＜●⏹（♋ ）得：当⌧●⏹（♋ ）时，♒（⌧）❍♓⏹ （♋ ）﹣（♋ ）●⏹（♋ ）﹣♌≥ ，即（♋ ）﹣（♋ ）●⏹（♋ ）≥♌∴（♋ ）♌≤（♋ ） ﹣（♋ ） ●⏹（♋ ），（♋ ＞ ）令☞（⌧） ⌧ ﹣⌧ ●⏹⌧（⌧＞ ），则☞（⌧） ⌧（ ﹣ ●⏹⌧）∴当时，即当时，（♋ ）♌的最大值为四、请考生在第 ， ， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．．（ 分）（ ❿新课标）如图， ，☜分别为△✌边✌，✌的中点，直线 ☜交△✌的外接圆于☞，☝两点，若 ☞∥✌，证明：（ ） ；（ ）△ ∽△☝．【分析】（ ）根据 ，☜分别为△✌边✌，✌的中点，可得 ☜∥ ，证明四边形✌☞是平行四边形，即可得到结论；（ ）证明两组对应角相等，即可证得△ ～△☝．【解答】证明：（ ）∵ ，☜分别为△✌边✌，✌的中点∴ ☞∥ ，✌∵✌∥ ☞，∴四边形 ☞是平行四边形∴ ☞∥ ， ☞∴ ☞∥✌， ☞✌∴四边形✌☞是平行四边形∴✌☞∵，∴ ✌☞，∴ ．（ ）由（ ）知，所以．所以∠ ☝∠ ．因为☝☞∥ ，所以∠ ☝∠✌☞∠ ∠ ．所以△ ～△☝．．（ ❿新课标）选修 ﹣ ；坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是（▫为参数），以坐标原点为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是▫，正方形✌的顶点都在 上，且✌， ， ， 依逆时针次序排列，点✌的极坐标为（ ，）．（ ）求点✌， ， ， 的直角坐标；（ ）设 为 上任意一点，求 ✌ 的取值范围．【分析】（ ）确定点✌， ， ， 的极坐标，即可得点✌， ， ， 的直角坐标；（ ）利用参数方程设出 的坐标，借助于三角函数，即可求得 ✌ 的取值范围．【解答】解：（ ）点✌， ， ， 的极坐标为点✌， ， ， 的直角坐标为（ ）设 （⌧ ，⍓ ），则为参数）♦✌ ⌧ ⍓ ♦♓⏹ ▫∵♦♓⏹ ▫∈☯，∴♦∈☯ ， ．（ ❿新课标）已知函数♐（⌧） ⌧♋⌧﹣ （ ）当♋﹣ 时，求不等式♐（⌧）≥ 的解集；（ ）若♐（⌧）≤ ⌧﹣ 的解集包含☯ ， ，求♋的取值范围．【分析】（ ）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（ ）原命题等价于﹣ ﹣⌧≤♋≤ ﹣⌧在☯ ， 上恒成立，由此求得求♋的取值范围．【解答】解：（ ）当♋﹣ 时，♐（⌧）≥ 即 ⌧﹣ ⌧﹣ ≥ ，即①，或②，或③．解①可得⌧≤ ，解②可得⌧∈∅，解③可得⌧≥ ．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 ⌧⌧≤ 或⌧≥ ❝．（ ）原命题即♐（⌧）≤ ⌧﹣ 在☯ ， 上恒成立，等价于 ⌧♋﹣⌧≤ ﹣⌧在☯ ， 上恒成立，等价于 ⌧♋≤ ，等价于﹣ ≤⌧♋≤ ，﹣ ﹣⌧≤♋≤ ﹣⌧在☯ ， 上恒成立．故当 ≤⌧≤ 时，﹣ ﹣⌧的最大值为﹣ ﹣ ﹣ ， ﹣⌧的最小值为 ，故♋的取值范围为☯﹣ ， ．。
2012年高考理科数学试卷及答案全国卷word版
2012年高考理科数学试卷及答案全国卷word版2012年高考理科数学试卷及答案全国卷word版第一部分:选择题1. 根据分式的定义，下列分式正确的是（）A. 0/1B. -1/0C. 1/-1D. 0/0答案: A解析: 根据分式的定义，分母不能为0，所以选项B、C均不正确；0/0是不确定的数，所以选项D也不正确。
2. 在(1,2)处的切线方程是（）A. y=x-1B. y=x+1C. y=2x-3D. y=2x-1答案: D解析: 函数y=x^2-1在点(1,0)处的切线斜率为2，因此在(1,2)处的切线斜率也为2，即y=2x+b。
同时，该点在函数图像上，所以代入函数方程可得b=0-1=-1，因此切线方程为y=2x-1。
3. 若x, y>0，且log3x-log3y=log9x-log9y，则x/y等于（）A. 1/3B. 1/9C. 3D. 9答案: B解析: 按照对数的性质，log9x=log3( x^(1/2) )，所以原式可以变形为log3(x/y)=log3( x^(1/2)/y^(1/2) )。
然后两边取3的指数，得到x/y=(x/y)^(1/2)，解得x/y=1/9。
4. 如图，在正方形ABCD中，点P在AC边上，$AP=\frac{1}{3}AC$，点Q在AD边上，$AQ=\frac{1}{4}AD$，则三角形CPQ的面积是正方形ABCD的面积的（）A. 1/12B. 1/16C. 1/24D. 1/36答案: C解析: 因为AP:AC=1:3、AQ:AD=1:4，所以$$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{12}$$因此，三角形APQ与三角形ACD相似。
可以设正方形边长为a，则AC=AD=a√2，AP=1/3×a√2=√2/3a，AQ=1/4×a√2=√2/4a，因此PQ=AP+AQ=7√2/12a，h=AC×PQ/2=49/72a^2，所以三角形CPQ的面积为S=h×PQ/2=7/144a^2，也就是正方形ABCD面积的1/24。
2012年全国高考理科数学试题及答案-(新课标)
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学及答案注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年全国高考理科数学试题及答案-江西
梦想不会辜负一个努力的人2012 年一般高等学校招生全国一致考试（江西卷）理科数学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至 2 页，第 II 卷第 3至第 4 页。
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意：1．答题前，考生务势必自己的准考据号、姓名填写答题卡上。
考生要认真查对答题卡上粘贴的条形码的 “准考据号、姓名、考试科目 ”与考生自己准考据号、姓名能否一致。
2．第 I 卷每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后， 再选涂其余答案标号。
第 II 卷用 0．5 毫米的黑色墨水署名笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3．考试结束，务势必试卷和答题卡一并上交。
参照公式：1 锥体体积公式V= Sh ，此中 S 为底面积， h 为高。
3第 I 卷一．选择题 ：本大题共 10 小题，每题5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。
1．若会合 A=｛ -1， 1｝， B=｛ 0，2｝，则会合｛ z ︱ z=x+y,x ∈ A,y ∈ B ｝中的元素的个数为A ． 5B ． 4C ． 3D ． 21 定义域同样的函数为2．以下函数中，与函数y=3x11nxC ． y=xexsin x A ． y=B ． y=D ．sin xxx3．若函数 f （ x ） =x 2 1,x1, ，则 f （ f （ 10） =lg x, x 1A ． lg101B ． 2C ． 1D ． 01 =4,则 sin2 =4．若 tan +tan111 1 A ．B ．C ．D ．5432．是正方形B ． Z 1,z 2∈C,z 1+z 2 为实数的充分必需条件是 z 1,z 2 互为共轭复数C ．若 x,y ∈ R ，且 x+y ＞2，则 x,y 起码有一个大于 1D ．对于随意 n ∈ N,C n 0+C n 1．+C n n 都是偶数6．察看以下各式： a+b=1 ， a 22+b 2=3， a 3+b 3=4 ， a 4+b 4=7,a 5+b 5=11, ，则 a 10+b 10=A ． 28B ． 76C ． 123D ． 1995．以下命题中，假命题为A ．存在四边相等的四边形不2 2PA PB 7．在直角三角形ABC中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 2PC A． 2 B． 4 C． 5 D． 108．某田户计划栽种黄瓜和韭菜，栽种面积不超出50 亩，投入资本不超出54 万元，假定栽种黄瓜和韭菜的产量、成本和售价以下表年产量 /亩年栽种成本 / 亩每吨售价黄瓜 4 吨1．2 万元0． 55 万元韭菜 6 吨0．9 万元0．3 万元为使一年的栽种总收益（总收益=总销售收入 -总栽种成本）最大，那么黄瓜和韭菜的栽种面积（单位：亩）分别为A． 50,0 B． 30． 20 C． 20,30 D． 0,509．样本（ x1,x2，x n）的均匀数为 x，样本（ y1，y2，，y n）的均匀数为y x y 。
2012年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(解析)
本套试卷命题的立意、考查的出发点和考查的内容在于新课程以及新课标和新考纲；考查的全面到位，每个考点立足于基本知识点、基本思想和基本方法，紧扣课本、紧扣大纲、灵活多变.特别是第10题来巧妙地将算法和模拟方法结合在一起，在知识交汇处命题；第13题来自课本，第18题实质是证明三垂线定理，注重新课程.一．选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A (1,2)B 。
[1,2)C 。
(1,2]D 。
[1,2]2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A 1y x =+ B 。
2y x =- C 。
1y x=D 。
||y x x = 3. 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件bibi≠当ab=0时，a=0或b=0，a+不一定是纯虚数，反之当a+是纯虚数时，a=0,b 0,ab=0,因此B 正确.【答案】B 【考点定位】此题主要考察充分必要条件和复数的概念以及它们之间的逻辑关系，掌握概念是根本.4. 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A 。
l 与C 相交B 。
l 与C 相切 C 。
l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 【解析】5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A55 B 53 C 255 D 356.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A x x <甲乙，m 甲>m 乙B x x <甲乙，m 甲<m 乙C x x >甲乙，m 甲>m 乙D x x >甲乙，m 甲<m 乙7.设函数()xf x xe =，则（ ）A 1x =为()f x 的极大值点B 1x =为()f x 的极小值点C 1x =-为()f x 的极大值点D 1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A 10种 B15种 C 20种 D 30种【解析】某一个队获胜可以分成3中情况，得分3:0,4:1,5:2；方法数为2213421+)20.C C C +⋅=（ 【答案】C【考点定位】该题主要考察分类组合的实际应用，把握分类，正确运用组合是关键.9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ） A32 B 22 C 12 D 12-二．填空题11.观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111712344+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 14.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为15.A （不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 A 【解析】A 5分 12章 3节 选修4-5 中T由题意知左边的最小值小于或等于3即可，根据不等式的性质得)(1)3,13,2 4.x a x a a ---≤∴-≤-≤≤（【答案】2 4.a -≤≤【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用.15 C（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 【解析】 化极坐标为直角坐标得直线2213,(1)1,2= 3.22x x y =-+=⨯圆由勾股定理可得相交弦长为3.【考点定位】本题主要考察极坐标系与极坐标方程，先化为普通方程后求解.三．解答题：16.（本小题满分12分） 函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，（1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值17.（本小题满分12分）设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列。
《高等数学12》理工类试题与答案
《高等数学12》理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知函数(,)y f x y xe -=，它在点(1,0)P 处的梯度等于 ． 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）．（A ）11(1)n n n u ∞+=-∑； （B ）1n n u ∞=∑；（C ）11n nu ∞=∑ （D ）1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-，则直线l （ ）. （A ）过原点且垂直于x 轴； （B ）过原点且垂直于y 轴； （C ）过原点且垂直于z 轴； （D ）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) *2()x y Ax B e =+； (B) *22x y Ax e =； (C) *2()x y x Ax B e =+； (D) *22()x y x Ax B e =+．4、设(,)f x y 为连续函数，则二次积分420d (,)d x xx f x y y =⎰⎰（ ）（A ）2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； （B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰； （C ）41104d (,)d y f x y x ⎰⎰； （D ）20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则（ ）(A) 12I I =； (B) 12I I ≥；(C) 12I I ≤； (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分） 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ；2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定，求d z ；3、设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰， 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域；5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成，求22d x y V Ω+⎰⎰⎰.四、判断题（本题8分） 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_____i j →→-或{1,1}-_____. 2、______320x y +=______.3、_____221112x y z ---==-_____. 4、 ______1______. 5、___8或8f =最大 或(0,2)8f ±=最大______.二、选择题（每小题 3分，共 15分）1、A.2、B.3、D.4、A.5、C.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题每题10分，共40分） 1、解：（6分）cos a b a b θ→→→→⋅=⋅………2分1221cos 266a ba bθ→→→→⋅-++===⋅………3分3πθ=………1分.2、解：（8分）222z z z x zy x x e ∂∂-=∂∂， z z xx z ye∂=∂+ ………3分 222z z z z z y y y e e ∂∂-=+∂∂， z zz e y z ye ∂-=∂+ ………3分 d z z x dx z ye =+zze dy z ye-++ ………2分. 3、解：（8分）令f 对2x 的偏导数记为1f '，对2yx的偏导数记为2f '，1f '对2y x 的偏导数记为12f ''，2f '对2y x 的偏导数记为22f ''， ………1分2212122[2()]2z y y f x f f f xf f x x x∂''''=++-=+-∂ ………4分2221222222222[][]z y y y y yf x f f f x y x x x x x∂''''''=⋅+⋅--⋅∂∂ 31222224y yf f x''''=-. ………3分. 4、解：（8分）如图所示,211221()d d ()xDy x x y dx y x dy --=-⎰⎰⎰⎰ ………4分221121241111[][]222x y x y dx x x dx --=-=-+⎰⎰351111[]2310x x x -=-+ ……2分 815=. ……2分5、解：（10分）如图所示 , ……2分221422201d r x y V d r dr dz πθ-Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰……3分1223510012(3)2[]5r r dr r r ππ=+=+⎰ ………3分 125π=………2分 四、（本题8分）解：（8分）考察111(1)1sinsin 22n nnn n nnππππ-∞∞==-=∑∑，因为11sin 2nnn πππ≤(1)n ≥ ………4分 而11q π=<，所以几何级数11nn π∞=∑是收敛的，故11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑绝对收敛，原级数收敛.………4分五、（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，21()414x f x x =⋅+，又因为01(1),(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑， ………2分所以，()f x =221100(1)()(1)444n n n n n n n x x x +∞∞+==-=-∑∑. ………3分 222321121lim (1)/(1)lim 4444n n n n n n n n x x x x ρ+++++→∞→∞=--==. 当214xρ=<，即22x -<<时，级数绝对收敛；当2x =-时，级数111000(2)441(1)(1)(1)4242n n nn n n n n n n ∞∞∞+++===-⋅-=-=-⋅∑∑∑发散， 当2x =时，级数100241(1)(1)42n nn n n n ∞∞+==⋅-=-∑∑发散，级数收敛域为(22)x -<<.所以，()f x 2110(1)4n nn n x +∞+==-∑，(22)x -<< ………3分2、解：（7分）因为112(1)ln ln dy y dx x x x+=+是一阶线性微分方程，所以由 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ ………2分11ln ln 1[2(1)]ln dx dx x x x xy e e dx C x-⎰⎰=++⎰ln(ln )[(2ln 2)]x e x dx C -=++⎰ ……3分11[2ln 2][2(ln )2]ln ln xdx dx C x x x x C x x=++=-++⎰⎰ 2ln C x x =+.所以，通解为2ln Cy x x=+ ………2分 3、解：因为1xxe ydy dx e =+是变量可分离微分方程，所以由 1xx e ydy dx e =+⎰⎰ ………2分21ln(1)2x y e C =++ 22ln(1)x y e C =++ （其中12C C =） ……3分由00x y==，得002ln(1)e C =++2ln 2C =-特解为： 22ln(1)2ln 2xy e =+-. ……2分。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y ∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
12年高考真题——理科数学(湖南卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（ ）（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}1,1- （D ）{}1,0,1-2．命题“若4απ=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）（A ）若4απ≠，则tan 1α≠ （B ）若4απ=，则tan 1α≠（C ）若tan 1α≠，则4απ≠ （D ）若tan 1α≠，则4απ=3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，则下列结论中不正确的是（ ） （A ）y 与x 具有正的线性相关关系 （B ）回归直线过样本点的中心(),x y（C ）若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg（D ）若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 5．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10，点()2,1P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）（A ）221205x y -= （B ）221520x y -= （C ）2218020x y -= （D ）2212080x y -= 6．函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为（ ）（A ）[]2,2- （B）⎡⎣ （C ）[]1,1- （D）⎡⎤⎣⎦7．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，1AB BC ⋅=，则BC =（ ）（A（B（C） （D8．已知直线1l ：y m =和2l ：()8021y m m =>+，1l 与函数2|log |y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2|log |y x =的图像从左至右相交于,C D 。
2012年河南省高考数学（理科）试卷
绝密★启用前2012年河南省高考数学（理科）试卷本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（的值是（ ））A ．1B ．0 C ．－1 D ．1或－1 2．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R Î，i 是虚数单位，复数a bi +=（ ））A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -3．如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3=3，，D ξ=1=1，则，则P （－（－11＜ξ≤1）=（ ）） A ．2Φ（1）－）－1 B 1 B 1 B．．Φ（－（－44）－Φ（－（－22）C ．Φ（2）－Φ（4）D D．．Φ（4）－Φ（2） 4．设k R Î，下列向量中，与向量Q=Q=（（1，-1-1）一定不平行的向量是（）一定不平行的向量是（）一定不平行的向量是（ ）） A ．b=b=（（k ，k ） B ．c=c=（（-k -k，，-k -k））C ．d=d=（（k 2 +1,k 2 +1 +1））D ．e=e=（（k 2一l,k 2—1）5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（），则该棱锥的全面积是（ ））m 2．正视图正视图正视图 侧视图侧视图侧视图 俯视图俯视图俯视图A ．624+B ．64+C ．224+D ．24+6.6.设函数设函数)22,0)(sin(3)(p f pw f w <<->+=x x f 的图像关于直线32p=x 对称对称,,它的周期是p ,则（则（ ）） A.)(x f 的图象过点)21,0(B.)(x f 在]32,12[p p 上是减函数上是减函数C.)(x f 的一个对称中心是)0,125(pD.将)(x f 的图象向右平移||f 个单位得到函数x y w sin 3=的图象的图象. .7．执行如图所示的程序框图，则输出的S=S=（（ ））A ．258B ．642C ．780D ．15388．双曲线22221(1,1)y x a b a b -=³>的离心率为2，则213b a +的最小值为（的最小值为（ ））.A A．．334 B ．333+ C ．2 D 2 D．．231+ 9．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数ïîïíì>£+++=0,20,2)()(2x x x b a x x f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数是的解的个数是( ) ( ) A ．4B ．3C ．2D. 11010．设．设O 是正三棱锥ABC P -的底面⊿ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则PSPR PQ 111++( ) A 、有最大值而无最小值、有最大值而无最小值 B 、有最小值而无最大值、有最小值而无最大值 C 、无最大值也无最小值、无最大值也无最小值 D 、是与平面QRS 无关的常数无关的常数二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（（一）必考题（111111——14题）11．对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则a 2的值是的值是 。
2012高考全国卷理科数学(附答案)
2012高考全国卷理科数学（附答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试．．题卷上作答无效．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若C B a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
12年高考真题——理科数学(全国卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国）卷数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．复数131ii-+=+（ ） （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - 2．已知集合{A =，{}1,B m =，A B A =，则m =（ ）（A ）0（B ）0或 3 （C ）1（D ）1或33．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =，则该椭圆的方程为（ ）（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 4．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ） （A ）2 （B（C（D ）15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ）（A ）100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）1011006．ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（ ） （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 7．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（ ）（A） （B） （C（D8．已知12,F F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12|||2|PF PF =，则12cos F PF ∠=（ ） （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 9．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（ ）（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<10．已知函数23y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（ ） （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或111．将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种12．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，7AE BF ==。
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陕西科技大学 试题纸
课程 高等数学（理科） 班级
学号 姓名
一、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1.已知 2,a b == 且2,a b =
则a b ⨯ = ；
2．z =
= ；
3．将极坐标下的二次积分
sec 4
(cos ,sin )d f d π
θ
θρθρθρρ⎰
⎰
，化为直角坐标下的二次积分
为 ； 4. 曲线积分()L
x y ds +=⎰ L 为点(0,0)，(1,0)，(0,1)所围成的三角形的
边界曲线；
5. 级数3
1
2n n n ∞
=∑是 的。
（填收敛或发散）
二、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．设函数2
1sin ,0
(,)00x y xy xy f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
，(0,1)x f '=（ ）
（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）不存在。
2．设Ω为平面0,0,0,1x y z x y z ===++=所围成的四面体，则三重积分
(,,)f x y z dv Ω
⎰⎰⎰化成三次积分是（ ）
（A ） 111
000
(,,)f x y z dz ⎰⎰⎰
（B ）11100
(,,)x
x y
f x y z dz ---⎰
⎰⎰ （C ）
11100
(,,)x y
f x y z dz --⎰⎰⎰
（D ）111000
(,,)x y
f x y z dz --⎰
⎰⎰
3．已知函数(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则（ ）
（A ）点(0,0)不是(,)f x y 的连续点； （B ）点(0,0)不是(,)f x y 的极值点；
（C ）点(0,0)是(,)f x y 的极大值点； （D ）点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 4．
2
x dS ∑
=⎰⎰
（ ），其中∑为球面2221x y z ++=。
（A ）π； （B ）2π； （C ）43
π； （D ）23π。
5． 1,0
()1,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨
+<≤⎩
，则其以2π为周期的傅里叶级数在3x π=处收敛于（ ）
（A ）0； （B ）1； （C ）
1
2
π+； （D ）
2
π.
三、计算下列各题（每小题8分，满分24分）
1．设2
2
(,)xy
z f x y e =-，其中f 有两阶连续偏导数，求2z
x y
∂∂∂。
2．计算二次积分
sin x
y
dx dy y
π
π-⎰
⎰
3．求曲面22z x y =+上与平面240x y z +-=平行的切平面方程。
四、（本题满分10分）
已知函数2
2
(,)f x y x y =-，求(,)f x y 在椭圆域2
2
{(,)|1}4
y D x y x =+≤上的最大值和最小值。
五、（本题满分10分）计算积分2
(sin 3)(cos )L
y y x dx x y x dy -++-⎰，L 为从(,0)a 沿
上半椭圆：22
221x y a b
+=到(,0)a -有向曲线（常数0a >）。
六、（本题满分10分）
计算积分
⎰⎰∑
++zdxdy y
dzdx xz dydz x 2
2332, 其中∑是抛物面224y x z --=被平面
0=z 所截下的部分的上侧。
七、（本题满分10分）求幂级数113n n n n x ∞
-=∑的收敛域、和函数，并求13
n n n
∞
=∑。
八、（本题满分6分）证明：级数11
()n n n a a ∞
+=-∑收敛的充分必要条件是数列n a 的极限存
在。