2021版理科数学全国通用版备战一轮复习第1章 第3节

第一章 集合与常用逻辑用语
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A 级·基础过关 |固根基|
1.下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0
＝0
B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1
C ．∀x ∈R ，x 2>0
D ．∀x ∈R ，2x >0
解析：选C 因为log 21＝0，cos 0＝1，所以选项A 、B 均为真命题．又02＝0，所以选项C 为假命题，故选C ．
2．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P
D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q
解析：选B 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B ． 3．命题“存在实数x 0，使x 0>1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1
D ．存在实数x 0，使x 0≤1
解析：选C 由特称命题的否定为全称命题，可知原命题的否定为对任意实数x ，都有x ≤1.故选C ．
4．(2019届南宁模拟)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(﹁q )
C ．(﹁p )∧q
D ．(﹁p )∧(﹁q )
解析：选B 由x >0时，x ＋1>1，知p 是真命题，由－1>－2，(－1)2<(－2)2可知，q 是假命题，即p ，﹁q 均是真命题．故选B ．
5．(2019届山西太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1>0；命题q ：若a <b ，则1a >1
b ，则下列命题中为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(﹁q )
C ．(﹁p )∧q
D ．(﹁p )∧(﹁q )
解析：选B 因为x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥3
4>0，所以∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1>0成立，故p 为真命题，﹁p 为假命题，又易知命题q 为假命题，所以﹁q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知，p ∧(﹁q )为真命题，故选B ．
6．(2019届安阳模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1，则( )
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧q 是真命题
C ．命题p ∧(﹁q )是真命题
D ．命题p ∨(﹁q )是假命题
解析：选C 取x 0＝10，得x 0－2>lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x <1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧(﹁q )是真命题，p ∨(﹁q )是真命题．故选C ．
7．(2019届广州调研)设命题p ：∀x <1，x 2<1，命题q ：∃x 0>0，2x 0>1
x 0
，则
下列命题中是真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．(﹁p )∧q
C ．p ∧(﹁q )
D ．(﹁p )∧(﹁q )
解析：选B 根据题意可知，命题p 是假命题，q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，(﹁p )∧q 是真命题，p ∧(﹁q )是假命题，(﹁p )∧(﹁q )是假命题，故选B ．
8．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则( )
A ．p ∨q 为真
B ．p ∧q 为真
C ．p 真q 假
D ．p ∨q 为假
解析：选D 由x >3能够得出x 2>9，反之不成立，故命题p 是假命题；取a ＝－2，b ＝1，可知a 2>b 2⇒/ a >b ，取a ＝1，b ＝－2，可知a >b ⇒/a 2>b 2，故命题q 是假命题．故选D ．
9．设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(﹁p )∧(﹁q )
D ．p ∨(﹁q )
解析：选A 由题意知，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A ．
10．已知命题p ：∀x ≥4，log 2x ≥2；命题q ：在△ABC 中，若A >π3，则sin A >3
2.则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(﹁q )
C ．(﹁p )∧(﹁q )
D ．(﹁p )∨q
解析：选B ∀x ≥4，log 2x ≥log 24＝2，所以命题p 为真命题；A ＝2π3>π
3，sin A ＝3
2，所以命题q 为假命题．故p ∧(﹁q )为真命题．故选B ．
11．(2020届湖北部分重点中学联考)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题
B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2
－x ≤0”
C ．若命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件
解析：选B 对于选项A ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m ＝0时，若a <b ，am 2<bm 2不成立，故A 错误；对于选项B ，
命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”，故B 正
确；对于选项C ，若命题“p 或q ”为真命题，则命题p ，q 可以都为真，也可以一真一假，故C 错误；对于选项D ，已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故D 错误．故选B ．
12．(2019届山西太原重点中学联考)若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，π3，m >tan x 0＋2”为
假命题，则实数m 的取值范围为________．
解析：由题意可知“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，所以m ≤(tan
x ＋2)min .又知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，π3，所以tan x ∈[－1，3]，因此可得(tan x ＋2)min ＝1，
所以实数m 的取值范围为m ≤1，即m ∈(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
B 级·素养提升 |练能力|
13.短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(﹁q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )
A ．甲第一、乙第二、丙第三
B ．甲第二、乙第一、丙第三
C ．甲第一、乙第三、丙第二
D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三
解析：选D (﹁q )∧r 是真命题意味着﹁q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D ．
14．(2019届河北衡水中学大联考)已知命题p ：若函数f (x )＝(x －[x ])－1
2 (x ∉Z )，则必有f (x )>1(对于任意实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[1.3]＝1)；命题q ：“m ≤1”是“函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x －m 2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为( )
A ．p ∧q
B ．(﹁p )∧q
C ．(﹁p )∨q
D ．p ∧(﹁q )
解析：选D 因为(x －[x ])1
2∈(0，1)，x ∉Z ，所以
1
（x －[x ]）12
>1，
x ∉Z ，即f (x )>1，故p 为真命题；因为函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x －m 2在区间(1，＋∞)内单调
递增，所以m ＋12≤1，即m ≤1，故应为充要条件，故q 为假命题，所以p ∧q ，
(﹁p )∧q ，(﹁p )∨q 均为假命题，p ∧(﹁q )为真命题，故选D ．
15.(2019届洛阳模拟)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0；q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋
1>0.若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2，2]
解析：选A 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，则有∀x ∈R ，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎨⎧m ≥0，
m ≤－2或m ≥2，
即m ≥2.故选A ．
16．不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －3≤0，
3x －y ＋3≥0，x －2y ＋1≤0
的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，
y )∈D ，2x ＋3y ≥－1；p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，2x 0－5y 0≥－3；p 3：∀(x ，y )∈D ，
y －1
2－x ≤13；p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 20＋y 20＋2y 0≤1.其中的真命题是( )
A ．p 1，p 2
B ．p 2，p 3
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
解析：选C 作出不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －3≤0，
3x －y ＋3≥0，x －2y ＋1≤0
表示的区域，如图中阴影部分所
示，
其中A (0，3)，B (－1，0)，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，x －2y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，
y ＝1，即C (1，1)．对于p 1，
当取(－1，0)时，因为2×(－1)＋0<－1，故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C (1，1)代入，2x －5y ＝－3≥－3成立，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，当取(0，3)时，因为3－12－0
＝1>1
3，故p 3是假命题，排除B ，故选C ．。