2020版高考数学一轮复习离散型随机变量的均值、方差和正态分布课件理

2．正态分布
(1)正态曲线的性质
①曲线位于x轴 □13 上方 ，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 □14 x＝μ 对称；
③曲线在 □15 x＝μ
处达到峰值σ
1； 2π
④曲线与x轴之间的面积为 □16 1 ；
⑤当σ一定时，曲线随着 □17 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ □18 越小 ，曲线越“瘦高”，表 示总体的分布越集中；σ □19 越大 ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越
的数学期望E(ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×71＝5.故选B.
答案
解析
4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3
个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总
分值，则E(X)＝( )
18 A. 5
21 B. 5
C．4
24 D. 5
答案
故P(X＝3)＝C34C51C＋49C33C61＝2102＋66＝1633； 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1633－1126＝1114. 所以随机变量X的概率分布如下表：
解 (1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球， 所以P＝C42＋CC9232＋C22＝6＋336＋1＝158. (2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到 的4个球是4个红球”， 故P(X＝4)＝CC4449＝1126； {X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的 球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
称D(X)＝
i＝1
为随机变量X的方差，它刻画了随机
变量X与其均值E(X)的 □05 平均偏离程度 ，其 □06 算术平方根 DX 为随
机变量X的标准差．
(2)均值与方差的性质
①E(aX＋b)＝ □07 aE(X)＋b ②D(aX＋b)＝ □08 a2D(X)．
. (a，b为常数)
③两点分布与二项分布的均值、方差
a＝152， ⇒b＝41，
c＝14.
解析
核心考向突破
考向一 离散型随机变量的均值与方差 角度1 与古典概型有关的均值与方差 例1 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除 颜色外完全相同． (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学 期望E(X)．
2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与 离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．
3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．
1．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每 天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的 期望值是(一年按365天计算)( )
答案 B 解析 由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝CC3335＝110，P(X
＝4)＝CC32·C53 12＝35，P(X＝5)＝CC13·C35 22＝130，所以E(X)＝3×110＋4×53＋5×130＝
21 5.
答案
解析
5．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0
集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝
()
A．1
B．5
C．2
16 D. 7
答案 B
解析 由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝
m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为
1 7
，72，
2 7
，
1 7
，71，∴ξ
A．60.82元 B．68.02元 C．58.82元 D．60.28元
答案 A
解析 E(ξ)＝100×233655＋(－10)×133605≈60.82，所以选A.
答案
解析
2．(2019·海南海口模拟)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1) ＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝( )
第9讲
离散型随机变量的均 值、方差和正态分布
基础知识整合
1．离散型随机变量的均值与方差 (1)若离散型随机变量X的分布列为
①均值
称E(X)＝
□02 数学期望
□01 x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
为随机变量X的均值或
，它反映了离散型随机变量取值的 □03 平均水平．
②方差
□n
04 [xi－E(X)]2pi
分散，如图乙所示．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ □20 0.6826 ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ □21 0.9544
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ □22 0.9974
； ； .
1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可 取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．
分．某人每次击中目标的概率为
2 3
，则此人得分的数学期望与方差分别为
________．
答案 20，2300
答案
解析 记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B 3，32 ，Y＝
10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×
2 3
＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且 P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.故选B.
答案
解析
3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的
×
1 3
＝
200 3.
解析
6．已知离散型随机变量X的分布列如下表. 若E(X)＝0，D(X)＝1，则a ＝________，b＝________.
答案
5 12
1 4
答案
解析
EX＝0，

由DX＝1， ∑Pi＝1
－a＋c＋16＝0， ⇒a＋c＋13＝1，
a＋b＋c＋112＝1