和林格尔县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

和林格尔县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．18 C．D．
2．复数z=（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（）
A．﹣i B．﹣﹣i C．+i D．﹣+i
3．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（）
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
C．变量X与变量Y有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
4．若，，且，则λ与μ的值分别为（）
A．B．5，2 C．D．﹣5，﹣2
5．函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（）
A．0＜a≤B．0≤a≤C．0＜a＜D．a＞
6．已知等差数列{a n}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
7．不等式≤0的解集是（）
A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）
B ．[﹣1，2]
C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
D ．（﹣
1，2]
8． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）
A ．06=--y x
B ．06=++y x
C ．06=+-y x
D ．06=-+y x 10．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
12．已知集合23111
{1,(
),,}122
i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,
}2- D ．{}2
二、填空题
13．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
14．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和
()22,B x y ，则12x x +的值为__________．
15．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则
的值为 ．
16．已知函数()f x 2
3(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系 是 ．
17．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
18．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x
C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．
三、解答题
19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1
ln 1f x a x x
=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()
11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
20．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）
（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.
21．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．
（1）求
及|+|；
（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cos θ的值．
22．已知向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0．
（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
23．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
24．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
和林格尔县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22
+3×（）+=，
故选：D．
2．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．【答案】C
【解析】解：∵概率P（K2≥6.635）≈0.01，
∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
即两个变量有关系的概率是99%，
故选C．
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由，得．
又，，
∴，解得．
故选：A．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
5．【答案】B
【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意
当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数
∴⇒0＜a≤
综上所述0≤a≤
故选B
【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
7．【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
8．【答案】C
【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=，
故选：C．
9．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
10．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
11．【答案】C
【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，
∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，
∴a8＜0，a9＞0，
∴公差d＞0．
∴S n中最小的是S8．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】
考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算
二、填空题
13．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离
d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集
合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
14．【答案】56 27
【解析】
15．【答案】
．
【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．
数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），
∴b 2=3，则=
，
故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
16．【答案】12()()f x f x ] 【
解
析
】
考点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
17．【答案】．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
18．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

三、解答题
19．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）
求得可得()2
1'ax f x x -=
，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当1
02
a <<时，根据（2）可 得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a ⎛⎫
+<
⎪+⎝
⎭，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，
()12ln 1f x x x =+
-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221
'1111
f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+
-，定义域为()0+∞，，()2211
'a ax f x x x x
-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减；
②当0a >时，令()'0f x =，得1
x
= 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭
，
，，所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
，
，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a a x x
⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，所以
()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x a
a x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭
，所以1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
20．【答案】解：（1）当a=1，f （x ）=x 2﹣3x+lnx ，定义域（0，+∞），
∴
…（2分）
，解得x=1或x=，x ∈
，（1，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数，x ∈
（，1），
函数是减函数．…（4分） （2）∴，∴
，
当1＜a ＜e 时，
∴f （x ）min =f （a ）=a （lna ﹣a ﹣1）
当a ≥e 时，f （x ）在[1，a ）减函数，（a ，+∞）函数是增函数， ∴
综上
…（9分） （3）由题意不等式f （x ）≥g （x ）在区间上有解
即x 2﹣2x+a （lnx ﹣x ）≥0在上有解，
∵当
时，lnx ≤0＜x ，
当x ∈（1，e]时，lnx ≤1＜x ，∴lnx ﹣x ＜0， ∴在区间
上有解．
令…（10分）
∵
，∴x+2＞2≥2lnx ∴时，h ′（x ）＜0，h （x ）是减函数，
x ∈（1，e]，h （x ）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）
21．【答案】
【解析】解：（1）=；
∴=；
∴；
（2）同理可求得；
；
∴=．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，
∴，
化简得，
∴Q点的轨迹C的方程为．…
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则，
从而，，…
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则，即2m=3k2+1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，解得，
故所求的m的取值范围是（，2）．…
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，
解得﹣1＜m＜1．…
综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），
当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．
元件B为正品的概率约为．
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A 次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．
∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；
P（X=﹣15）==．
∴随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．
依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．
所以n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）==．
24．【答案】
【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=∅
当A=∅时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠∅时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．。