高考数学不等式推理与证明算法初步与复数35二元一次不等式组与简单的线性规划试题理

考点测试35 二元一次不等式组与简单的线性规划
一、基础小题
1．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.43 D.34
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，即△ABC . 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋3y ＝4，
3x ＋y ＝4，
得交点A 的坐标为(1,1)．
又B 、C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，故S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43，
故选C.
2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤1，x ≤2，
x －y ≥0，
则x ＋3y 的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 D
解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)，易知z ＝x ＋3y 过点B (2,1)时取得最大值，z max ＝2＋3×1＝5.故选D.
3．已知实数x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，
则|y －x |的最大值是( )
A ．2 2 B.32
2
C ．4
D ．3
答案 D
解析 画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1,2)，B (4,1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3.
4．若点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，y ≥x ，
y ≤－x ＋4，
则x 2＋y 2
的最大值为( )
A.10 B ．8 C ．16 D ．10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如图所示，易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10，故|OP |的最大值为10，即x 2
＋y 2
的最大值等于10.故选D.
5．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x >0，
y ≤2，
则y
x
的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．(0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
答案 D
解析 由题设y ≥x ＋1，所以y x
≥1＋1x
，又0<x ≤y －1≤2－1＝1，因此y x
≥2.又y
x
可看做可
行域中的点与原点构成直线的斜率，画出可行域也可得出答案．
6．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋|y |≤1，
x ≥0，则z
＝OA →·OP →
的最大值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 D
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B (0,1)，z ＝OA →·OP →
＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2.故选D.
7．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，y >0，
2x ＋y <6
所表示的平面区域内的整点个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 C
解析 由不等式2x ＋y <6，得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.
8．若z ＝mx ＋y 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2x ≤0，2y －x ≥0，
x ＋y －3≤0上取得最小值时的最优解有无穷多个，则
z 的最小值是( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．0或±1
答案 C
解析 画出平面区域如图，可以判断出z 的几何意义是直线mx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，只有直线mx ＋y －z ＝0与直线x －2y ＝0重合时，才符合题意，此时，相应z 的最小值为0.
9．直线2x －y ＋2＝0
与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20
表示的平面区域的公共点有
( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
答案 B
解析 不等式组表示的可行域M 为点O (0,0)，A (5,0)，B (2，4)，C (0,2)组成的四边形的内部(包括边界)，直线2x －y ＋2＝0与可行域M 只有一个公共点C (0,2)．故选B.
10．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A ．11280元
B ．12480元
C ．10280元
D ．11480元 答案 B
解析 设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则
⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤10，
0≤y ≤20，
8
x ＋2.5y ≥100，x ∈N ＋，y ∈N ＋
，
目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其
中A (10,8)，B (10,20)，C (6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l ：z ＝960x
＋360y 经过点A (10,8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.
11．设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y －x ≥0，
x －1≥0
表示的平面区域为D .若圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2
(r >0)
不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是( )
A ．[22，25]
B ．(22，32]
C ．(32，25]
D ．(0,22)∪(25，＋∞)
答案 D
解析 圆C 不经过区域D 有两种情况：①区域D 在圆外；②区域D 在圆内．由于不等式组中的一个不等式对应的直线y ＝x 正好经过圆的圆心，故利用圆的性质即可求解出r 的取值
范围．作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y －x ≥0，
x －1≥0
表示的平面区域，得到如图所示的△MNP 及其内部，其中M (1，1)，N (2,2)，P (1,3)，且MN ⊥PN .
∵圆C ：(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝r 2
(r >0)表示以C (－1，－1)为圆心，r 为半径的圆．∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点．又∵CM ＝＋
2
＋＋
2
＝22，CP ＝＋
2
＋＋
2
＝25，∴当0<r <22或r >25时，圆C 不经过区域D
上的点．
12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，
y ≥－1，
则w ＝x 2＋y 2
－4x －4y ＋8的最小值为
________．
答案 9
2
解析 目标函数w ＝x 2
＋y 2
－4x －4y ＋8＝(x －2)2
＋(y －2)2
，其几何意义是点(2,2)与可
行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2
＝322，所以w min ＝9
2.
二、高考小题
13．[2016·山东高考]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，
x ≥0，
则x 2＋y 2
的最大值是( )
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
答案 C
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，
x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大，所以x 2
＋y 2
的最大值是10，故选C.
14．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l
上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，
则|AB |＝( )
A ．2 2
B ．4
C ．3 2
D ．6
答案 C
解析 由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝
＋
2
＋－2－2
＝3 2.故选C.
15．[2016·全国卷Ⅲ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，
x ＋2y －2≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值
为________．
答案 3
2
解析 由题意画出可行域(如图所示)，其中A (－2，－1)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12， C (0,1)，由z ＝x ＋y 知y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 过点B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1，12
时，z 取最大值32
.
16．[2015·全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为
________．
答案 3
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，
由可行域知，在点A (1,3)处，y x
取得最大值3.
17．[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，
设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x
＋900y .画出可行域(图略)，易知最优解为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝60，y ＝100，此时E max ＝216000.
18．[2014·浙江高考]当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，
x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，
则实数a 的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32
解析 作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－
ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1，32
处取得．故由1≤z ≤4
恒成立，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，
1≤a ＋32
≤4，解得1≤a ≤3
2
.
三、模拟小题
19．[2016·福建漳州八校联考]若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，
则实数m 的最大值为( )
A ．－1
B ．1 C.3
2 D ．2
答案 B
解析 约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m
表示的可行域如图中阴影部分所示．
当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3＝0，y ＝2x
得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B.
20．[2017·厦门质检]已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1≥0，x <2，
x ＋y －1≥0，
则z ＝2x －2y －1的取
值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5
B ．[0,5]
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫53，5 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－53，5 答案 D
解析 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－53，5.
21．[2016·河北衡水中学调研]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a
表示的平面区域的形状
是三角形，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥4
3
B ．0<a ≤1
C ．1≤a ≤4
3
D ．0<a ≤1或a ≥4
3
答案 D
解析 作出不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y
≥0
表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.
22．[2016·山东三校联考]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，
若目标函
数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( )
A ．(0,2)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 答案 B
解析 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1,1)作
l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率
之间，因此，－12<－a <0，即0<a <1
2
.故选B.
23．[2017·湖北襄阳联考]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，4x ＋3y －12≤0，
y －2≥0，
则z ＝
2x －y ＋1
x ＋1
的最大值为( ) A.54 B.45 C.916 D.12
答案 B
解析 因为z ＝2x －y ＋1x ＋1＝2x ＋2－y －1x ＋1＝2－y ＋1x ＋1，所以要求z 的最大值，只需求u ＝
y ＋1
x ＋1的最小值，画出可行域(图略)可知，使u ＝y ＋1x ＋1取得最小值的最优解为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2，代入z ＝
2x －y ＋1x ＋1，可求得z 的最大值为4
5
，故选B.
24．[2016·贵州七校联考]一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( )
A ．16
B ．18
C ．20
D ．36
答案 C
解析 平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得
AC 的中点为⎝
⎛⎭
⎪⎫3
2
，0，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8,0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2,8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题
1．[2017·广东佛山月考]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．
平移初始直线1
2x －y ＝0，过A (3，4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为
1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a
2<2，解得－4<a <2.
故所求a 的取值范围是(－4,2)．
2．[2017·福建泉州质检]画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域，并回答下
列问题：
(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得
x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－5
2，3，y ∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
⎩⎪⎨⎪⎧
－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .
当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
3．[2016·山东诸城月考]为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知：甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？
解 设甲项目投资x (单位：百万元)， 乙项目投资y (单位：百万元)， 两项目增加的GDP 为z ＝260x ＋200y ，
依题意，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤30，
2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，
x ≥0，y ≥0，
所确定的平面区域如图中阴影部分．
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝10，y ＝20，即A (10,20)；
解⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝30，
24x ＋32y ＝800，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝20，y ＝10，
即B (20,10)．
设z ＝0，得y ＝－1.3x ，将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20,10)，即甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元，两项目增加的GDP 最大．。