2020年高考数学人教A版必修一基础巩固课件：课时作业26 函数模型的应用实例

4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻
两次加油时的情况.
加油时间
加油量 加油时的累计
(升)
里程(千米)
2015 年 5 月 1 日 12
35 000
2015 年 5 月 15 日 48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( B )
课时作业26 函数模型的应用实例
时间：45 分钟 ——基础巩固类——
一、选择题 1．据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆/次，其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费 是每辆一次 0.2 元，若普通车存车量为 x 辆/次，存车处总收入为
y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( D )
解析：从表中易知，半衰期为 4 个单位时间，初始质量 A0 ＝320，则经过时间 t 的剩余质量为 A(t)＝A0124t ＝320×2－4t (t≥0)．
14．入秋以后，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市 环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每 一天中空气污染指数 f(x)与时刻 x(时)的函数关系为 f(x)＝|log25(x ＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中 a 为空气治理调节参数，且 a ∈(0,1)．
——能力提升类——
11．某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等，甲食堂的 营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐 月增加，且每月增加的百分率相同，已知本年 9 月份两食堂的营 业额又相等，则本年 5 月份( A )
A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析：设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m，甲食堂的 营业额每月增加 a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则 5 月份甲食堂的营业 额 y1＝m＋4a，乙食堂的营业额 y2＝m×(1＋x)4＝ mm＋8a， 因为 y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以 y1>y2，故本 年 5 月份甲食堂的营业额较高．
解得ab＝＝－1.50，.2， c＝－2，
所以 p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5， 所以当 t＝3.75 分钟时，可食用率 p 最大．故选 B.
二、填空题
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的
内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为 20 m.
A．6 升
B．8 升
C．10 升
D．12 升
解析：因为第一次(即 5 月 1 日)把油加满，而第二次把油加 满加了 48 升，即汽车行驶 35 600－35 000＝600 千米耗油 48 升， 所以每 100 千米的耗油量为 8 升，选 B.
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，
解：(1)由题意得，车费 f(x)关于路程 x 的函数为：
8，0<x≤2， f(x)＝8＋1.9x－2，2<x≤10，
8＋1.9×8＋2.85x－10，10<x≤60
＝84，.2＋0<1x.9≤x，2，2<x≤10， 2.85x－5.3，10&16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)， 换乘两辆车的车费为： 2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)， 因为 40.3>38.8， 所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：根据题意可知总收入分为两部分：普通车存车费用 0.2x 元和变速车存车费用(4 000－x)×0.3 元，所以 y＝0.2x＋1 200－0.3x＝－0.1x＋1 200.只有 D 符合．
三、解答题 10．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在 2 km 以内(含 2 km)按起步价 8 元收取，超过 2 km 后的路程按 1.9 元/km 收取， 但超过 10 km 后的路程需加收 50%的返空费(即单价为 1.9×(1＋ 50%)＝2.85 元/km)． (1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用 f(x)(单位：元)表示 为行程 x(0<x≤60，单位：km)的分段函数； (2)某乘客的行程为 16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶 8 km 后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做 是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
12．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为 6 元，行程不
超过 2 千米者均按此价收费；行程超过 2 千米，超过部分按 3 元
/千米收费(不足 1 千米按 1 千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，
汽车虽没有行驶，但仍按 6 分钟折算 1 千米计算(不足 6 分钟按 1
千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费 24 元，车上仪表
(1)若 a＝12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； (2)规定每天中 f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使 该市每天的空气污染指数不超过 3，则调节参数 a 应控制在什么 范围内？
解：(1)当 a＝12， f(x)＝log25x＋1－12＋2，x∈[0,24]， 令log25x＋1－12＝0，解得 x＝4， 因此一天中第 4 个时刻该市的空气污染指数最低． (2)令 t＝log25(x＋1)，则当 0≤x≤24 时，0≤t≤1. 设 g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0,1]，
系变化．我们常把它的剩余质量变为原来一半所经历的时间称为
它的半衰期，记为 T1 ，现测得某种放射性物质的剩余质量 A 随
2
时间 t 变化的 6 次数据如下表：
t(单位时间) 0 2 4 6 8 10
A(t)
320 226 160 115 80 57
从以上记录可知，这种元素的半衰期约为 4 个单位时
间，剩余质量随时间变化的衰变公式为 A(t)＝320×2－4t (t≥0)．
故调节参数应控制在(0，23]内．
保持在 245 m 以上(含 245 m)高度的时间为( B )
A．4 s
B．5 s
C．6 s
D．7 s
解析：已知 x＝at－4.9t2，由条件 t＝5 时，x＝245，得 a＝ 73.5，所以 x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在 245 m 以上(含 245 m)， 即 x≥245，所以 73.5t－4.9t2≥245，解得 5≤t≤10.因此，子弹 保持在 245 m 以上高度的时间为 5 s.
第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
( D)
p＋q A. 2
p＋1q＋1－1
B.
2
C. pq
D. p＋1q＋1－1
解析：设年平均增长率为 x，原生产总值为 a，则(1＋p)(1 ＋q)a＝a(1＋x)2，解得 x＝ 1＋p1＋q－1，故选 D.
6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分 比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单 位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，如图记 录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到
月份的销售量为 1.37 万部，则 5 月份的销售量为 1.375 万部．
解析：由题意可知，当选用函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 时，
a＋b＋c＝1， 4a＋2b＋c＝1.2， 9a＋3b＋c＝1.3
a＝－0.05， 解得b＝0.35，
c＝0.7，
∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3； 当选用函数 g(x)＝abx＋c 时，
2．据报道，青海湖的湖水在最近 50 年内减少了 10%，如果 按此规律，设 2000 年的湖水量为 m，从 2000 年起，过 x 年后湖
水量 y 与 x 的函数关系式为( C )
3．以每秒 a m 的速度从地面垂直向上发射子弹，t s 后的高
度 x m 可由 x＝at－4.9t2 确定，已知 5 s 后子弹高 245 m，子弹
间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是 24 小时．
解析：由题意得eeb2＝ 2k＋1b＝924，8，
eb＝192， 即e11k＝12，
所以该食品
在 33 ℃的保鲜时间是 y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝123×192＝24(小 时)．
9．某品牌手机销售商今年 1,2,3 月份的销售量分别是 1 万部， 1.2 万部，1.3 万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的 销售为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量 y(单位：万部) 与月份 x 之间的关系，现从二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数 y＝abx＋c(b>0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果 4
解析：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，交 DE 于点 F， 易知DBCE＝4x0＝AADB＝AAHF，又 AH＝BC＝40，则 DE＝AF＝x，FH ＝40－x，则 S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋400，当 x＝20 时，S 取 得最大值．故填 20.
8．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃) 满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常 数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时
最佳加工时间为( B )
A．3.50 分钟 C．4.00 分钟
B．3.75 分钟 D．4.25 分钟
解析：由实验数据和函数模型知，二次函数 p＝at2＋bt＋c 的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，
得00..78＝＝91a6＋a＋3b4＋b＋c，c， 0.5＝25a＋5b＋c，
aabb＋2＋cc＝＝11，.2， ab3＋c＝1.3，
a＝－0.8， 解得b＝0.5，
c＝1.4，
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35. ∵g(4)比 f(4)更接近于 1.37， ∴选用函数 g(x)＝abx＋c 模拟效果较好， ∴g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即 5 月份的销售量为 1.375 万部．
显示等候时间为 11 分 30 秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是
( B)
A．[5,6)
B．(5,6]
C．[6,7)
D．(6,7]
解析：若按 x 千米(x∈Z)计价，则 6＋(x－2)×3＋2×3＝24， 得 x＝6，故实际行程应属于区间(5,6]．故选 B.
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关
则 g(t)＝－t＋t＋a＋3a1＋，1a，<t≤0≤1，t≤a， 则 g(t)在[0，a]上为减函 数，在[a,1]上为增函数．
g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
所以
f(x)max
＝
a＋2，0<a≤12， 3a＋1，12<a<1，
当
0<a≤
1 2
时
，
2<a
＋
2≤52，符合；当12<a<1 时，由 3a＋1≤3，得12<a≤23，