相似1
论语言符号相似性[1]
![论语言符号相似性[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1d7f78dd5022aaea998f0fd5.png)
《外语与外语教学》(大连外国语学院学报)1999年第5期(总第120期)山东财政学院教 授 王 寅论语言符号象似性一、对象似性定义的解释 自1988年许国璋先生将iconicity 首次在国内译为象似性后,引起了国内语言学家的普遍关注,沈家煊先生(1993),杜文礼先生(1996),张敏先生(1997),严辰松先生(1997)等分别发表论文对之加以论述。
笔者在《象似性与语言世界观》一文中,对iconicity 的译名为什么取“象似性”阐述了自己的看法,同时也对其下了定义,文中把语言符号象似性定义为:・语・言・符・号・在・音、・形・或・结・构・上・与・其・所・指・之・间・存・在・映・照・性・相・似・的・现・象。
本定义从三个方面对当前语言学家在语言符号的能指与所指之间的象似性方面的研究进行了总结:1.在语音方面,发音与其所指之间存在很多自然的相似的关系,如:世界各语言中的拟声词等。
参见笔者(1996)所编《英语词汇速记教程》的第六章“从音说义”,文中第5节列出了英语中8种音义之间的自然关系。
2.在词形方面,书写形式与意义之间有象似性现象。
汉语源于象形,会意,属表意文字。
中国传统的语言文字学,其中心思想就是找出汉字与其字义之间的理据关系,如:东汉许慎的《说文解字》,南朝刘勰的《文心雕龙》等。
英语中也有类似的现象(参见《英语词汇速记教程》第五章“从形说义”王寅:1996)。
3.在结构上,语言结构有某些方面会反映人们所经验的世界结构,直接映照着人们的概念结构。
这里主要讨论语言在句法结构上的象似性,H ai m an 在1985年先后出版了两本书N atural S y ntax 和Iconicity in S y ntax ,对句法结构象似性进行了专题论述。
国外诸如Givon ,Bybee ,Jacobson ,Chafe ,Bolinger ,L i &Thomp son ,Slobin ,V erhaar 等学者对语言结构的象似性都有专著论述。
基于知网的词汇语义相似度计算1
我们的工作主要包括： 1. 研究《知网》中知识描述语言的语法，了解其描述一个词义所用的多个义 原之间的关系，区分其在词语相似度计算中所起的作用；我们采用一种更
1 *
+
本项研究受国家重点基础研究计划（973）支持，项目编号是 G1998030507-4 和 G1998030510。 北京大学计算语言学研究所 & 中国科学院计算技术研究所 E-mail: liuqun@ Institute of Computational Linguistics, Peking University & Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Science 中国科学院计算技术研究所 E-mail: lisujian@ Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences
基于《知网》的词汇语义相似度计算1 Word Similarity Computing Based on How-net
刘群* ﹑李素建+
Qun LIU , Sujian LI
摘要
词义相似度计算在很多领域中都有广泛的应用，例如信息检索、信息抽取、文 本分类、词义排歧、基于实例的机器翻译等等。词义相似度计算的两种基本方 法是基于世界知识（Ontology）或某种分类体系（Taxonomy）的方法和基于统 计的上下文向量空间模型方法。这两种方法各有优缺点。 《知网》是一部比较详尽的语义知识词典，受到了人们普遍的重视。不过，由 于《知网》中对于一个词的语义采用的是一种多维的知识表示形式，这给词语 相似度的计算带来了麻烦。这一点与 WordNet 和《同义词词林》不同。在 WordNet 和《同义词词林》中，所有同类的语义项（WordNet 的 synset 或《同 义词词林》的词群）构成一个树状结构，要计算语义项之间的距离，只要计算 树状结构中相应结点的距离即可。而在《知网》中词汇语义相似度的计算存在 以下问题： 1. 2. 每一个词的语义描述由多个义原组成； 词语的语义描述中各个义原并不是平等的，它们之间有着复杂的关系，通 过一种专门的知识描述的词汇语义相似度计算
矩阵的相似变换1
若n m, 则 det I n BA
nm
det I m AB ,
即AB比BA多的特征值为0,其余相等.
§1.2 矩阵的相似对角化
一、矩阵的相似 1、定义 定义1
定理3
向量为x1 , x2 ,, xn , 又设f 为一多项式，则f A的特 征值为f 1 , f 2 ,, f n , 对应的特征向量仍为x1 , x2 ,, xn .
定理4
设A Cnn , A的n个特征值为1，2， ，n，对应的特征
第1章 矩阵的相似变换
§1.1 矩阵的特征值与特征向量 §1.2 矩阵的相似对角化 §1.3 矩阵的Jordan标准形 §1.4 Hamilton-Cayley 定理 §1.5 矩阵的酉相似
§1.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设A Cnn , 若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x 则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
解
A的特征多项式为
1
det I A 2 2
2
2 4 2 7
2
2
4
2
所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
E A 1 2 25 ， 1 1, 2 5, 3 5.
求得 1 , 2 , 3 的各一个特征向量为
《探索三角形相似的条件1》第二课时导学案
《探索三角形相相似的条件1》第二课时导学案【学习目标】1.理解对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。
⒉运用相似三角形的定义进行计算。
⒊了解相似三角形对应线段的比等于相似比。
【重点难点】1．教学重点：运用相似三角形的定义进行计算。
2．教学难点：了解相似三角形对应线段的比等于相似比。
【学法指导】相似三角形是相似多边形的特例，它的对应角相等，对应边成比例。
运用相似三角形计算时，关键是确定对应边和对应角。
【知识链接】 1.填空（1） 相等， 成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形 的比叫做相似比. （2）四边形ABCD 相似与四边形A ′B ′C ′D ′,AB=6,BC=8，∠B=50°，A ′B ′=9，则B ′C ′=___ ________ ∠B ′=_ __（3） 和 都相同的两个三角形是全等三角形. 2.选择⑴两个多边形相似的条件是： （ ）A: 对应边相等 B: 对应角相等或对应边相等 C: 对应角相等 D: 对应角相等且对应边成比例 ⑵下列结论正确的是 （ ）A: 任意的两个等腰直角三角形都相似B: 有一个角对应相等的等腰梯形都相似 C: 任意的两个长方形都相似 D:任意的两个菱形都相似。
【学习过程】⒈自主学习， 潜心思考，完成下面的任务：（1）定义：相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义来归纳： 相等， 成比例的两个三角形叫做相似三角形.（2）表示：如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC △DEF .其中对应顶点要写在 ，如 相对应.（3）相似比： 叫做相似比.如 就是相似比.（4）应用：如果△ABC ∽△DEF ，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？⒉师生互动，激活思维：判断（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？【温馨提示】相似三角形对应边成比例的含义是：两个相似三角形对应边的比相等或一个三角形中两边的比与另一个三角形中对应两边的比相等。
1相似三角形的判定
∵∠ADC=∠ACB,又∠A=∠A,∴由判定定理 1,知
△ABC∽△ACD
∵AC CD
=
AB BC
,∴AACB
=
CD BC
,由判定定理
2
知,不能单独判断
△ABC∽△ACD
∵AC2=AD·AB,∴AACB
=
AD AC
,又∠A=∠A,由判定定理
2,知
△ABC∽△ACD
答案:C
3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 ,那么它 们相似 . (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直 角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ,那么这两个直角三角形 相似.
△ABC中,DE∥BC,则△ABC∽△ADE.
(2)判定定理 1:对于任意两个三角形 ,如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形 相似.简述为: 两角对应 相等,两三角形相似 .
(3)引理:如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的 对应线段 成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边 .
反思感悟 根据三角形相似的定义 ,可由三角形相似得到成比例的 线段,从而可推出线段长度之积相等 .在推理过程中 ,要注意对应边、 对应角 ,避免出现不对应的情况 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练 1如图,在平行四边形 ABCD中,点E在DC上.
若DE∶EC= 1∶2,则BF∶BE=
.
∴∠C'= 55°.
答案:55°
???'????'?= ????'???'?,
思考辨析 判断下列说法是否正确 ,正确的在后面的括号内画 “√ ”错, 误的画
知识点1 图形相似的定义
知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。
相似解答题1
相似解答题一．解答题（共30小题）1．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．2．（2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．3．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．4．（2014•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，DE=2，BC=3，求的值．5．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．6．（2014•南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．7．（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD 于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．8．（2014•玉林）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．9．（2014•烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．10．（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°﹣cos72°的值．11．（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD 的长．12．（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．13．（2014•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_________，AC的长为_________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．14．（2014•淄博）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．15．（2014•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．16．（2014•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．17．（2014•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．18．（2014•陕西）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？19．（2014•绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．20．（2014•岳阳）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．21．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．22．（2013•汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1_________S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．23．（2013•衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．24．（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．25．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．26．（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC 的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．27．（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC=BC=2时，AD的长为_________；②当AC=3，BC=4时，AD的长为_________；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．28．（2013•怀化）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB 上，点G在边BC上．（1）求证：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．29．（2013•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．30．（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
量纲分析与相似理论1
3 1
1 1
1
2
L : 0 31 1 1 1
1 解上述三元一次方程组得：
故
T : 0 1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1, 1 2, 1 2
FD 1 V 2d 2
例题2
同理：
1 2 Vd Re
代入 (1 , 2 ) 0 ，并就FD解出，可得：
CG CFI
式中：
C Cl Cg 重力比尺：C G ( Vg ) m ( Va ) p 3 C C C l Ca 惯性力比尺： FI ( Va )
m
( Vg ) p
3
C Cl CV
2
2
Ca
CV
2
Cl
故得弗劳德准则方程：
CV V V 1 or ( ) p ( )m Cg Cl gl gl
二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时 间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如 流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3
力
dimF＝MLT－2
压强
dim p=M L－1 T－2
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物
C C C
故得雷诺准则方程：
CV Cl Vl Vl 1 or ( ) p ( ) m C
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re Vl / 必须相等.
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
第二十一讲相似图形1
第二十一讲相似图形山东德州市临邑二中孙法光知识梳理知识点1.相似图形的定义及特征重点：掌握相似图形的定义及特征难点：运用定义和性质解决问题日常生活中我们会碰到很多形状相同，大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形相似多边形的特征“对应边成比例，对应角相等”既是相似多边形的识别方法又是性质。
相似比相似比是把一个图形放大或缩小的倍数，其具有顺序性，全等是相似比为1 时的特殊情况。
知识点2相似三角形的定义及判定重点：掌握相似的判定方法难点：熟练判定三角形的相似相似三角形的定义对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定定理:（1）平行相似定理(2)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).(3)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(4)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形所对应的基本图形：例1.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，•沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮。
⑴请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C标出）；⑵已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m。
求⑴中的点C到胜利街口的距离CM。
解题思路：由三点共线可知点C在直线PD上；再根据已知条件可得两三角形相似，建立比例式求得CM。
1.2.2怎样判定三角形相似(1)
∴∠ADC=90°
∵∠A=∠A
A D ∴∆ABC∽∆ACD（相似三角形的判定定理1）
（2）△ABC∽△CDB，△ACD ∽△CBD
B
结论：直角三角形被斜边上的高分成的两 个直角三角形和原三角形相似.
巩固练习二
已知等腰三角形△ABC 和△A´B´C´中， ∠A、∠A´分别是顶角，求证： （1）如果∠A=∠A´，那么ΔABC∽△A´B´C´ （2）如果∠B=∠B´，那么ΔABC∽△A´B´C´
(2)所有的直角三角形都相似. (3)所有的等腰三角形都相似.
(×) ( ×)
(4)所有的等腰直角三角形都相似.( √ )
(5)所有含1000角的等腰三角形都相似.（ √ ）
(6)所有含700角的等腰三角形都相似. （× ）
2、在△ ABC和△A′B′C′中,已知
∠A=∠A′=70°, ∠B=50°,当∠C′=_6__0_0_
实验与探究
如图，在△ABC和△A´B ´C ´中，∠A=∠A´ ， ∠B=∠B´ .试猜想：△ABC与△A´B´C´ 是否相 似？证明你猜的结论.
两角分别相等的两个三角形相似。
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，∠ B= ∠ B'
求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′
符号语言：
在△ABC 和△A´B´C´中， ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´， ∴△ABC ∽△A´B´C´（相似三角形的判定定理1）
例1
如图，已知点B、D分别是∠A的两边AC、AB上的点， 连接BE,CD,相交于点O,如果∠1=∠2,那么图中有那几对 相似三角形?说明理由。
解：△DOE∽△BOC，△ABE∽△ADC,理由如下： 在△DOE和△BOC中， ∵∠1=∠2，∠DOE=∠BOC ∴△DOE∽△BOC（相似三角形的判定定理1）
九年级数学上册 第1章 图形的相似 1 相似多边形练习题(新版)青岛版
第一章1练习题一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，假设矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB=1，那么矩形ABCD的面积为()C. √2D. 2√2A. 1B. √222.如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽之比为()A. 2：1B. 4：1C. √2：1D. 1：23.以下图形中一定是相似形的是()A. 两个等边三角形B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个直角三角形4.五边形ANCDE与五边形A1B1C1D1E1相似，五边形ABCDE的最短边为2，最长边为6，五边形A1B1C1D1E1的最长边是12，那么五边形A1B1C1D1E1的最短边是()A. 4B. 5C. 6D. 85.如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，假设要使小长方形与原长方形相似，那么原长方形纸片的边a，b应满足的条件是()A. a=√2bB. a=2bC. a=√2bD. a=4b6.以下命题中，真命题是()A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似7.以下说法正确的选项是()A. 菱形都是相似图形B. 矩形都是相似图形欢迎下载C. 等边三角形都是相似圈形D. 各边对应成比例的多边形是相似多边形8.如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折(折痕为EF)，得到两个全等的小矩形．假设小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为()A. 1：1B. √2：1C. √3：1D. 2：19.如图，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H，对角线AC与BD相交于点O，假设四边形EFGH的面积是3，那么四边形ABCD的面积是()A. 3B. 6C. 9D. 1210.以下各组图形中，一定相似的是()A. 所有矩形B. 所有正方形C. 所有菱形D. 所有平行四边形二、填空题11.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，那么CF的长为______．12.如图，把一个长方形划分成三个全等的长方形.假设要使每个小长方形与原长方形相似，那么原长方形的长与宽的比为．13.把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，假设剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为______．14.假设四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的图形，且AB:A′B′=2:3，BC=8，那么B′C′的长为．15.矩形的两边长分别为x和6(x<6)，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，那么x=______．16.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1，那么BC的长为______．三、解答题17.如图，▱ABCD∽▱AEFB，且AB=3cm，BC=6cm.求：(1)AE的长．(2)▱ABCD与▱ABFE的面积比．18.如图，五边形ABCDE∽五边形FGHIJ.求图中未知的边长x，y和∠H的大小．欢迎下载19.四边形EFGH相似于四边形KLMN，各边长如下图，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．。
相似三角形的判定1(定)
相似三角形的判定（一）学习目标：1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”及其推论的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”及其推论的判定两个三角形相似. 3．发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：一、创设情境，引入新课：问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。
结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：二、合作交流，探究新知： 探究一：相似三角形的判定方法1（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？（2）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（3）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1： 。
∴ 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（4）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
探究二：如图甲与图乙，若DE ∥BC,则△ADE 与△ABC 有什么关系，你能写出证明过程吗？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1的推论： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．∵AC ∥DB ∴△ADE ∽△ABC 探究三：ABCA ′B ′C ′A BCDE 图甲ABCDE图乙除了以上常见的基本图形外，能利用本节判定方法的基本图形如下 （1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2、识别三角形相似的常用思路：（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 三：应用新知，体验成功：例1、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BDC.例题2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别在线段BC ，AC 上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD ∽△DCE.例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
【2021中考数学】四边形综合：动点与相似(一)含答案
2021年中考数学一轮复习专题《四边形综合：动点与相似》1．[学习概念]有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．[理解运用]（1）如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D＝30°，∠ACD＝105°，AB ＝AC，求∠BAD的度数；（2）如图2，在凸四边形ABCD中，DA＝DB，DA⊥DB，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；（3）[拓展提升]如图3，在对余四边形ABCD中，∠A＝45°．∠ABD+∠BDC＝180°，BC＝4．求AB+CD的长．2．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．3．已知：如图，在菱形ABCD中，E、G在直线AC上，F在直线BD上，M、N分别为EF、DG的中点，若OM⊥ON，且OM＝ON．（1）求证：OD＝OE；（2）若GD的延长线过M点，∠ABC＝120°，AB＝4，求DF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，以B为顶点，作∠CBE＝∠ACB交DC延长线于点E（1）求证：四边形ABEC是矩形；（2）若AB＝6，BC＝10，点P从点E出发，沿E→C→B方向，以每秒1个单位的速度向终点B运动；点Q从点D出发，沿D→C→A方向，以每秒2个单位的速度向终点A运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动．设运动时间为t（s）．若△APD是等腰三角形，求t的值．5．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF ＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F 顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）6．已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝60°．（1）如图1，若AB＝2，AF＝5，点E与点B，点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF；（3）如图3，若BE＝CE，CF＝3DF，AB＝4，AF＝6，求AE的长度．7．如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．（1）请说明△ADE≌△FCE；（2）试说明AM＝BC+MC；（3）设S△AEM＝S1，S△ECM＝S2，S△ABM＝S3，试探究S1，S2，S3，三者之间的等量关系，并说明理由．8．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E 沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动，当点P不与点D重合时，将线段PD绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结DE，设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在边AD上时，求PD的长（用含t的代数式表示）．（2）当△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的取值范围．（3）当直线PE截△ABC所得的四边形是轴对称图形时，求t的值．（4）设F为线段BD上的点（点F不与点D、P重合），当点F在△PDE的对称轴上，且该对称轴将△ABD分成面积比为1：8的两部分时，直接写出DF的长．10．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是对余四边形，依题意得，∠B+∠D＝90°，∵∠D＝30°，∴∠B＝90°﹣∠D＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACD＝105°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝165°，在四边形ABCD中，∠BAD＝360°﹣∠B﹣∠ACD﹣∠D＝360°﹣60°﹣165°﹣30°＝105°；（2）四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD＝CM，连接CM，BM，∴∠DMC＝∠DCM＝45°，∵∠ADB＝∠CDM＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝∠CDM+∠BDC，∴∠ADC＝∠BDM．在△ADC和△BDM中，，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2＝CD2+DM2＝2CD2，∵2CD2+CB2＝AC2，∴CM2+CB2＝BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°，∵∠DCM＝45°，∴∠DCB＝∠BCM﹣∠DCM＝45°，∴∠DCB+∠DAB＝90°，∴四边形ABCD为对余四边形；（3）如图3，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵四边形ABCD为对余四边形，依题意得，∠A+∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴∠C＝∠E＝45°＝∠A，∵∠ABD+∠BDC＝180°，∠BDE+BDC＝180°，∴∠ABD＝∠EDB，在△ABD和△EDB中，，∴△ABD≌△EDB（AAS），∴AB＝ED，EB＝BC＝4，在Rt△EBC中，根据勾股定理得，BE2+BC2＝CE2，∴CE＝4，即AB+CD＝4．2．解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG＝HE，∠EAH＝∠D＝90°，∵∠DHG+∠AHE＝90°，∠DHG+∠DGH＝90°，∴∠DGH＝∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG＝AH＝2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG＝×FM×GC＝×2×（7﹣6）＝1；（3）设DG＝x，则由（2）得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为7﹣，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（7﹣）．3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠EOF＝∠COD＝90°，∵M、N分别为EF、DG的中点，∴OM＝EF＝EM＝FM，ON＝DG＝DN＝CN，∴∠F＝∠MOF，∠G＝∠NOG，∵OM⊥ON，∴∠MOF＝∠NOG，∴∠F＝∠G，∵OM＝ON，∴EF＝DG，在△OEF和△ODG中，，∴△OEF≌△ODG（AAS），∴OD＝OE；（2）解：GD的延长线过M点，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABC＝120°，AC⊥BD，OD＝OB，∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，由（1）得：∠F＝∠G，∵∠G+∠ODG＝90°，∠MDF＝∠ODG，∴∠F+∠MDF＝90°，∴∠DMF＝90°，∴DM⊥EF，作OH⊥DM于H，则DH∥FM，∵OM＝ON，OM⊥ON，∴OH＝MN＝MH，∴FM＝OM＝OH，∵OH∥FM，∴△DMF∽△DHO，∴＝＝，∴DF＝OD＝2．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵∠CBE＝∠ACB，∴AC∥BE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴四边形ABEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∵四边形ABEC是矩形，∴CE＝AB＝6，若△APD是等腰三角形，则有：（i）当DP＝AD，此时有12﹣t＝10，解得t＝2；（ii）当AP＝AD，此时有AD＝AE＝10，解得t＝0；（iii）当AP＝DP时，如图，过点P作PM⊥AD于点M，则DM＝AM＝5，∴．在Rt△PDM中，，∴．综上，若△APD是等腰三角形，t值为2或0或．5．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．6．（1）解：过点B作BH⊥AD于H，如图1所示：在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，∴∠ABH＝30°，∵AB＝2，∴AH＝1，BH＝＝＝，∴S＝AD×BH＝AF×BH＝5×＝5；▱ABCD（2）证明：连接AC，如图2所示：∵AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，∴∠ACF＝∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF；（3）解：延长AE交DC延长线于P，过点F作FG⊥AP于G，如图3所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＝∠ECP，在△ABE和△PCE中，，∴△ABE≌△PCE（ASA），∴AE＝PE，PC＝AB＝CD＝4，∵CF＝3DF，∴CF＝3，∴PF＝7，在Rt△AFG中，AF＝6，∠EAF＝60°，∴∠AFG＝30°，∴AG＝AF＝3，FG＝＝＝3在Rt△PFG中，由勾股定理得：PG＝＝＝，∴AP＝AG+PG＝3+，∴AE＝PE＝AP＝．7．证明：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵E是边CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF＝BC，又∵ME⊥AF，∴AM＝FM，∵FM＝MC+CF，∴AM＝BC+CM；（3）S3＝2S1﹣4S2，理由如下：∵S△ABM＝×AB×（BC﹣CM）＝×AB×BC﹣×AB×CM，∴S3＝×AB×BC﹣×AB×CM，∵S△AMF＝×AB×（MC+CF）＝AB×MC+AB×BC，∴S△AEM＝S△AMF＝S1＝AB×MC+AB×BC，∵S△EMC＝×CM×EC，∴S2＝CM×AB＝×AB×CM，∴S3＝2S1﹣4S2．8．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示：①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M 为CE的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若CM为边且M在第一象限（点C的左上方），点N的坐标为（﹣2，1）；若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，a、由①得：N的坐标为（﹣2，1）；b、作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣），N'''（﹣，）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣2，1）．9．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，．∴．在Rt△BCD中，∠C＝90°，．∴．∴AD＝2．∴PD＝2﹣2t．（2）如图1中，当点E在边AB上时，PE＝PD＝AP．∴2t＝1．∴．∴当时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．如图2中，当点E与点C重合时，AD+PD＝AC．∴2t＝3∴．∴当时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．综上所述，当或时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．也可以写成：当且t≠1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．（3）如图③，当0≤t＜1时，四边形CPMB为轴对称图形，则CP＝CB．∴．解得．如图④，当1＜t≤2时，四边形CAMN为轴对称图形，则AM＝AC．∴．解得．综上所述，满足条件的t的值为或．（4）如图5中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB＝8：9时，可得＝，∴DF＝，如图6中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB＝1：9时，可得＝，∴DF＝，如图7中，当DP的垂直平分线经过点F，且S△BFM：S△BDA＝1：9时，可得•BF•FM＝××2×，∴BF•BF＝，∴BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝2﹣，综上所述，或或．10．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：连接BH，过H作HP⊥BC于P，如图所示：易证△CPH≌△ABC（AAS），四边形CMNH是矩形，∴PH＝BC，∵△BCH的面积＝CH×NH＝BC×PH，∴CH×NH＝BC2，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．。
两条曲线形状相似,相关系数接近1
两条曲线形状相似,相关系数接近1《两条曲线形状相似,相关系数接近1》1. 引言当我们研究数据或者观察现象的时候，经常会遇到一种情况，即两条曲线的形状非常相似，同时它们的相关系数接近1。
这种情况常常让人产生疑惑，即这两条曲线之间到底存在怎样的关系，以及相关系数是如何度量它们的相似程度的。
本文将从深度和广度两个方面来探讨这个主题，帮助读者更全面地理解这一现象。
2. 概念解析让我们来解析一下相关系数。
相关系数是用来衡量两个变量之间关联程度的统计量，它的取值范围在-1到1之间。
当相关系数为1时，表示两个变量之间存在着完全的正相关关系，也就是说它们的变化方向完全一致；而当相关系数为-1时，表示存在着完全的负相关关系，即它们的变化方向完全相反。
而当相关系数接近于0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
3. 数据分析接下来，我们将通过一组实际的数据来进行分析。
假设我们有两组数据，分别是X和Y，它们的散点图如下所示。
从图中可以看出，这两组数据的散点分布大致呈现出一条直线的形状，而且这条直线的斜率接近于1，因此我们可以初步判断这两组数据之间存在着较强的线性关系。
我们计算它们的相关系数，结果表明相关系数接近1。
这就说明了这两组数据之间存在着较强的线性相关关系，而且它们的形状也十分相似。
4. 讨论与解释那么，为什么这两条曲线的形状会如此相似并且相关系数接近1呢？究其原因，可能有以下几点解释。
这两组数据可能来自同一个或者相似的系统或过程，导致它们之间存在着内在的联系。
它们可能受到了相似的外部因素的影响，从而呈现出一致的变化趋势。
这种现象也可能是由于纯粹的偶然性所导致的，即仅仅是一个巧合。
5. 个人观点与体会在我看来，当我们遇到这种情况时，首先要保持谨慎的态度，不要轻易下结论。
我们需要对数据进行更深入的分析，探究其背后的原因。
我们也要对个别现象保持开放的心态，毕竟世间万物都是如此复杂多变。
6. 总结与展望当我们遇到两条曲线形状相似，相关系数接近1的情况时，需要进行深入的分析和思考。
相似的判定(1)
活动4：归纳与整理 相似三角形的判定定理： 平行于三角形一边的直线和其它两边相交 (或两边的延长线)，所构成的三角形与原三 A E 角形相似． D ∵ DE∥BC ∴ΔADE∽ΔABC
D E
A
B
C
B C
练习1：如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 请尽可能多地找出图中 的相似三角形，并说明 理由
D B
A D B E C
E C
练习4：如图，在 ABCD中，E是边BC上的 一点，且BE:BC=3:5，连接AE、BD交于点F， 若BF=2.4，求FD D A
F B E C
拓展：将上题中的“若BF=2.4，”改 为“BD=6.4”，其余条件不变，试求 FD .
• 从知识上你有什么收获？
平行于三角形一边的直线和其它两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似．
（1）如何说明两个三角形相似？ （2）由已知条件你能得到什么结论？
B
A
E
C
思考与猜想：在上述问题2中：如图， 在ΔABC中，D是AB边上的一点，过 D作DE∥BC交AC于E，此时ΔADE与 Δ ABC是否还相似？ B
A D E
C
活动1：推理证明 问题：如图，在Δ ABC中，D是AB边 上的一点，过D作DE∥BC交AC于E， 求证： ΔADE ∽ Δ ABC
A
A1
C1 C B B1
问题2：如图，在ΔABC中，D是AB边 上的一点，过D作DE∥BC交AC于E，则 从图中你能得到哪些结论？
B
A D E
C
（1）∠ADE＝ ∠ B， ∠ AED＝ ∠ C
AD AE (2) AB AC
AD AE DB EC DB EC AB AC
一样近义词
一样近义词
一样的近义词：通常、相似、一律、相通、同样、相同、雷同
1、一律：（一）、一个样子；相同：千篇一律。
强求一律。
（二）、适用于全体，无例外：我国各民族一律平等。
2、相通：事物之间彼此连贯沟通：沟渠相通。
息息相通。
3、通常：属性词。
一般；平常：通常的情况。
通常的方法。
他通常六点钟就起床。
4、雷同：指随声附和，也指不该相同而相同（旧说打雷时，许多东西都同时响应）。
5、相似：相像：这两个人年貌相似。
6、同样：相同；一样；没有差别：同样大小。
同样美观。
作同样处理。
他们几位做同样的工作。
7、相同：彼此一样，没有区别：面积相同。
内容相同。
今年入学考试的科目跟去年相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4、相似三角形的性质： （1）相似三角形 的对应角相等，对应边
（2）相似三角形的对应高的 比、对应角平分线的比、对应中线的比 都等 于 ；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于
八年级
数学学科 编制人：
第
课时学案（编号 编制时间
）
审核人
导学内容
教学\学习反思
学习目标 相似三角形性质、判定的应用 温故互查 a c 1、成比例线段：若 a,b,c,d 满足 ，则 a,b,c,d 称为 ； b d a c a c 2、比例的性质： （1） （2） b d b d a c m （3） （ b d n 0 ） b d n
．
复习检测
1．已知 4x－5y=0，则(x+y)∶(x－y)的值为（ A．1∶9 2．已知 B．－9 C．9 D．－1∶9 ）
a c ） ，那么下列各式中一定成立的（ b d a d c ac a 2b c 2d A． B． C． c b b bd b d
)
D．
a 1 c 1 b d
B 我的疑惑： 我的收获：
Q
DM C
B．菱形的边长扩大为原来的 2 倍 D．菱形的面积扩大为原来的 4 倍 ）
5．在图中，∠1=∠2，则与下列各式不能说明△ABC∽△ADE 的是（
A．∠D=∠B
B．∠E=∠C
C．
AD AE AB AC
D．
AD DE AB BC
6．如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于 O，腰 BA、CD 的延长线 相交于 M，图中相似三角形共有（ A．1 对 巩固练习 B．2 对 1．如果 C．3 对 ） D．4 对 D C E
3．地图上的比例尺为 1：200000，小明家到单位的图距为 20cm ，小明骑自行车从单 位到家用了 4 小时，他骑自行车的平均速度为每小时( A． 40000 米 B．4000 米
C．10000 米
D． 5000 米 )
4．将一个菱形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( A．菱形的各角扩大为原来的 2 倍 C．菱形的对角线扩大为原来的 2 倍
x y z , 且x y z 5, 那么x y z 2 3 4
2．如图，A、B 两点间有一湖泊，无法直接测量，已知 CA=60 米， CD=24 米， DE=32 米， DE//AB， AB= 则 米． A
B
第 2 题图
3．在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A（2，－2）B(0， －2)，在坐标平面中确定点 P，使△AOP 与△AOB 相似，则符合条件的点 P 共有 个． 4．若△ABC∽△DEF，△ABC 的面积为 81cm ，△DEF 面积为 36cm ，且 AB=12cm， A 则 DE= 5.如图，能保证使△ACD 与△ABC 相似的条件是（ A、AC:CD=AB:BC D、CD =AD·AB
2 2 2
）2Leabharlann B、CD:AD=BC:AC
C、AC =AD·AB C D B
12．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm， 高 AD=80mm， 要把它加工 A 成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上． ⑴若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ ⑵若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少 P E N