2021年辽宁省锦州市高考数学质量检测试卷(一模)

2021年辽宁省锦州市高考数学质量检测试卷（一模）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合M，P都是实数集R的子集，且（∁R M）∩P＝∅，则M∩P＝（）A．∅B．M C．P D．R
2．（5分）已知x∈R，则“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
3．（5分）在一个排列a1，a2，a3，…，a n（n∈N+）中，任取两个数a p，a q（p，q∈N+且p＜q）如果a p＞a q，则称这两个数a p，a q为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在排列2，4，3，1，5中任取两数（）
A．B．C．D．
4．（5分）《九章算术》是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章．卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，四而”．意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，则这里的圆周率为（）
A．3B．3.1C．3.14D．3.1416
5．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5），则μ＝（）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
6．（5分）已知正方形ABCD的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则•的取值范围是（）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[﹣1，4]
7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，N两点，且A，F，则|AF|＝（）
A．2B．4C．6D．8
8．（5分）已知实数a，b，c满足且a＞1，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
10．（5分）若函数f（x）＝，值域为[2，+∞），则（）A．f（3）＞f（2）
B．
C．m≥2
D．log m（m+1）＞log m+1（m+2）
11．（5分）已知函数f（x）＝|cos x|﹣sin|x|，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）在区间（，π）上单调递增
D．f（x）的最大值为1
12．（5分）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A．中位数为3，众数为2B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4D．均值为2，标准差为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知复数Z满足2Z+＝1﹣i，则|Z|＝．
14．（5分）已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，写出双曲线C的一个标准方程．15．（5分）二项展开式（1﹣3x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a3＝，a2+a4+a6＝．
16．（5分）已知圆柱底面圆心分别为O1，O2，圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面、
圆柱侧面均相切，过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为12，若P为圆柱底面圆弧，则平面P AB与球O的交线长为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，且b≠c （1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
条件①：sin B＝2sin A；
条件②：sin A+sin B＝2sin C．
18．（12分）已知等差数列{a n}满足a5＝12，a10﹣a7＝6．等比数列{b n}各项均为正数且满足：b1＝a1，b4＝a15．
（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．
19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，若AB＝21＝3．（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．
20．（12分）已知椭圆经过点A（2，1），椭圆C在点A处的切线方程为y＝﹣x+3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B（3，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q
21．（12分）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现（0＜p＜1）．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，无需再检验．现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小
（1）若按方案一且p＝，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
（2）若p＝，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？
（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+sin x﹣1．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当1≤a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．
2021年辽宁省锦州市高考数学质量检测试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合M，P都是实数集R的子集，且（∁R M）∩P＝∅，则M∩P＝（）A．∅B．M C．P D．R
【分析】由（∁R M）∩P＝∅可得P⊆M，即可求解．
【解答】解：∵（∁R M）∩P＝∅，∴P⊆M，∴C正确．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算和关系，空集的概念，交集、补集的概念及运算，是基础题．
2．（5分）已知x∈R，则“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【分析】分别讨论能否由x＞1推出x2+x﹣2＞0，能否由x2+x﹣2＞0推出x＞1，即可得到正确答案
【解答】解：当x＞1时，x2+x﹣2＞0成立，所以充分条件成立
当x2+x﹣8＞0时，x＜﹣2或x＞4
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定，间接考查一元二次不等式的解法，属简单题
3．（5分）在一个排列a1，a2，a3，…，a n（n∈N+）中，任取两个数a p，a q（p，q∈N+且p＜q）如果a p＞a q，则称这两个数a p，a q为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在排列2，4，3，1，5中任取两数（）
A．B．C．D．
【分析】在排列2，4，3，1，5中任取两数，利用列举法能求出这组数是逆序的概率．【解答】解：在排列2，4，5，1，5中任取两数，
构成排列的基本事件有：
（7，4），3），3），5），3），8），5），1），4），5），
这组数是逆序包含的基本事件有：
（2，8），3），1），7），
则这组数是逆序的概率是P＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的运算，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
4．（5分）《九章算术》是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章．卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，四而”．意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，则这里的圆周率为（）
A．3B．3.1C．3.14D．3.1416
【分析】由已知结合圆的面积公式及已知定义可求．
【解答】解：由题意得，S＝，
圆的面积S＝πr2＝，
∴＝，
∴π＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的面积公式的简单应用，属于基础试题．
5．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5），则μ＝（）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根据正态分布的性质得出P（X≥5）＝P（X≤﹣1），所以5和﹣1关于对称轴对称，由此即可求解．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），对称轴为X＝μ，
又P（X＞﹣1）+P（X≥8）＝1，而P（X＞﹣1）+P（X≤﹣8）＝1，
所以P（X≥5）＝P（X≤﹣5），所以5和﹣1关于对称轴对称，
则μ＝，
故选：D．
【点评】本题考查了正态分布曲线的性质，考查了对称轴问题，属于基础题．
6．（5分）已知正方形ABCD的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则•的取值范围是（）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[﹣1，4]
【分析】建立坐标系，设出M的坐标，然后表示出向量的数量积，利用三角函数的最值求解即可．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，﹣1），﹣1），
设M（cosθ，sinθ），
则•＝（cosθ+2，sinθ+1）
＝cos2θ﹣5+sin2θ+2sinθ+3
＝2sinθ+1∈[﹣2，3]．
所以•的取值范围是：[﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，考查转化思想以及计算能力．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，N两点，且A，F，则|AF|＝（）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由已知可得AM为圆的直径，因此可得AN⊥MN，且AN∥x轴，然后利用平行关系求出AN的长度，再由抛物线的定义即可求解．
【解答】解：∵A，F，M三点共线，
∴AN⊥MN，AN∥x轴，
又F为AM的中点，且点F到准线的距离为2，
∴|AN|＝4，
由抛物线的定义可得|AF|＝|AN|＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及几何性质，考查了圆的性质，属于基础题．8．（5分）已知实数a，b，c满足且a＞1，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【分析】先根据等式判断正负，再构造函数比较大小．
【解答】解：∵实数a，b，c满足，
∴a＞0，b＞0，则排除B，
令f（x）＝x﹣lnx，
所以，
∴f（x）在0＜x＜1上单调递减，在3＜x上单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝1，即lnx＜x，
∴，
∴，设h（x）＝，，则h（a）＜h（b），
∴a＞b，排除D选项．
故选：A．
【点评】本题考查了对数比较大小，导数的应用，属于中等题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【分析】对于A，α与β相交或平行；对于B，由线面平行的性质得m∥n；对于C，n∥β或n⊂β；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：对于A，若m⊂α，m∥β，则α与β相交或平行；
对于B，若m∥α，α∩β＝n，故B正确；
对于C，若m⊥α，α∥β，故C正确；
对于D，若m⊥α，m⊥n，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等数学核心素养，是中档题．
10．（5分）若函数f（x）＝，值域为[2，+∞），则（）A．f（3）＞f（2）
B．
C．m≥2
D．log m（m+1）＞log m+1（m+2）
【分析】利用导数判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，即可判断选项A，利用导数判断函数f（x）在（﹣∞，1）上的单调性，得到f（x）在（﹣∞，1）上的值域，结合函数f（x）在R上的值域，即可求出m的范围，从而判断选项C，由m≥2，得到，利用作差法比较，再构造函数，然后由单调性研究函数的取值范围，即可判断选项B，利用函数g（x）＝lgx的性质以及换底公式，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，当x≥1，则恒成立，
所以f（x）在[6，+∞）上为单调递增函数，
所以f（x）≥f（1）＝1+1﹣ln6＝2，故值域为[2，
因为5＞2，故f（3）＞f（2）；
对于C，当x＜1时4﹣x+2+m，则f'（x）＝﹣3x6﹣1＜0恒成立，
所以f（x）在（﹣∞，7）上单调递减，
所以f（x）＞f（1）＝﹣1﹣1+6+m＝m，故f（x）∈（m，
又f（x）的值域为[2，+∞），
所以（m，+∞）⊆[2，
故m≥3，故选项C正确；
对于B，由选项C可知，故，
所以，
，
令＝，（m≥2），
所以，
当m≥6时，h'（m）≥0，
当m＝4时，h（4）＝＝，
此时，故选项B错误；
对于D，因为函数g（x）＝lgx在（0，
随着x越大，lgx增长的速度越慢，
则有，即，
所以log m（m+1）＞log m+3（m+2），故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数的性质的运用，以及利用导数研究函数的单调性的运用，对于分段函数问题，一般会运用数形结合法或是分类讨论进行研究，属于中档题．
11．（5分）已知函数f（x）＝|cos x|﹣sin|x|，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）在区间（，π）上单调递增
D．f（x）的最大值为1
【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断选项A；由y＝|cos x|是周期函数，y＝sin|x|不是
周期函数，即可判断选项B；利用辅助角公式可得x∈（，π）时，f（x）＝﹣sin（x+），由正弦函数的单调性，即可判断选项C；当x＝时，f（x）＞1，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，f（x）的定义域为R，
且f（﹣x）＝|cos（﹣x）|﹣sin|﹣x|＝|cos x|﹣sin|x|＝f（x），
所以f（x）为偶函数，故A正确；
对于B，因为y＝|cos x|是周期为π的周期函数，不是周期函数，
所以f（x）＝|cos x|﹣sin|x|不是周期函数，故B错误；
对于C，当x∈（，f（x）＝﹣cos x﹣sin x＝﹣），
x+∈（，），故C正确；
对于D，当x＝时|﹣sin＝+＝，
故f（x）的最大值不为1，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值问题，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12．（5分）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A．中位数为3，众数为2B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4D．均值为2，标准差为
【分析】根据题意，设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a，b，c，d，e，f，g，则0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，然后对选项逐个讨论，举出反例．
【解答】解：由题意，设连续7天，b，c，d，e，f，g，则0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，对于A，取4，2，2，7，3，4，4，众数为2，故选项A错误；
对于B，若g≥6，可知均值为，与均值小于1矛盾；
对于C，取5，1，2，5，4，4，2，众数为4，故选项C错误；
对于D，当均值为2时，a+b+c+d+e+f+g＝142+…+（g﹣2）3＝14，若g≥62+…+（g﹣2）2＞14，且如1，5，1，1，3，3，5，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了特征数的理解和应用，主要考查了众数、中位数、平均数、方差的理解和应用，考查了学生分析问题的能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知复数Z满足2Z+＝1﹣i，则|Z|＝．
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，
因为2Z+＝1﹣i，
所以2a+2bi+a﹣bi＝1﹣i，
故6a+bi＝1﹣i，
所以a＝，b＝﹣1，
则|Z|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
14．（5分）已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，写出双曲线C的一个标准方程＝1，答案不唯一．
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程，求解双曲线方程即可．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝8，
可得双曲线方程为：＝λ，且λ≠0．
所求双曲线方程为：＝1．
故答案为：＝6．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系，是基础题．
15．（5分）二项展开式（1﹣3x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a3＝﹣540，
a2+a4+a6＝2079．
【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得结果．
【解答】解：∵二项展开式（1﹣3x）5＝a0+a1x+a5x2+a3x3+a4x4+a3x5+a6x8，的通项公式为T r+1＝•（﹣7）r•x r，
∴a3＝•（﹣3）3＝﹣540，
a5+a4+a6＝•（﹣3）5+•（﹣5）4+•（﹣3）6＝2079，
故答案为：﹣540；2079．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16．（5分）已知圆柱底面圆心分别为O1，O2，圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面、圆柱侧面均相切，过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为12，若P为圆柱底面圆弧，则平面P AB与球O的交线长为．
【分析】由题意画出图形，可知平面APB与球O的交线为圆形，由三角形相似求出截面圆的直径，再由圆的周长公式求解．．
【解答】解：由于球与圆柱的上下底面及母线均相切，
∴四边形ABCD为正方形，其面积为12，
则AB＝AC＝＝2，
平面APB与球O的交线为圆形，如图，O8E即为截面圆的直径，
由题意可得，，
，
Rt△O1O5P∽Rt△O1EO2，
则，∴．
故交线长为π•．
故答案为：．
【点评】本题考查正圆柱体的截面，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，且b≠c （1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
条件①：sin B＝2sin A；
条件②：sin A+sin B＝2sin C．
【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理化角为边，得b＝2a，再由余弦定理求得a的值，从而得解；
选择条件②：利用正弦定理化角为边，得a+b＝2c＝6，再由余弦定理求得b的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系得sin A的值，再由S＝bc•sin A，得解．
【解答】解：（1）选择条件①：sin B＝2sin A，
由正弦定理知，＝，
∴b＝2a，
由余弦定理知，cos A＝，
∵cos A＝，c＝8，
∴＝，
化简得2a2﹣5a+6＝0，解得a＝8或，
当a＝时，b＝2a＝6＝c；
当a＝2时，b＝2a＝2≠c，
∴b＝4．
选择条件②：sin A+sin B＝2sin C，
由正弦定理知，＝＝，
∴a+b＝2c＝6，
由余弦定理知，cos A＝，
∵cos A＝，c＝3，
∴＝，解得b＝4．
（2）∵cos A＝，A∈（0，
∴sin A＝＝，
∴△ABC的面积S＝bc•sin A＝＝．
【点评】本题考查解三角形，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a5＝12，a10﹣a7＝6．等比数列{b n}各项均为正数且满足：b1＝a1，b4＝a15．
（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到a n；设等比数列{b n}的公比为q，q＞0，运用等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到b n；
（2）求得a n b n＝（n+1）•2n+2，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
由a5＝12，a10﹣a7＝3，可得a1+4d＝12，a6+9d﹣（a1+7d）＝6，
解得a1＝6，d＝2n＝4+5（n﹣1）＝2n+3；
设等比数列{b n}的公比为q，q＞0，
由b1＝a4＝4，b4＝a15＝32，
可得8q3＝32，解得q＝2n＝5•2n﹣1＝7n+1；
（2）a n b n＝（n+1）•6n+2，
前n项和S n＝2•63+3•44+…+（n+1）•3n+2，
2S n＝4•24+4•25+…+（n+4）•2n+3，
上面两式相减可得﹣S n＝23+（23+24+…+8n+2）﹣（n+1）•4n+3
＝8+﹣（n+1）•4n+3，
化简可得S n＝n•2n+8．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，若AB＝21＝3．（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．
【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理证明；（2）求互补二面角的余弦值，进而求解．
【解答】（1）证明：连接AC1，交A1C于O，连接OD，
因为四边形A8ACC1为矩形，所以O为A1C中点，
又因为D为AB的中点，所以OD∥BC5，
又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A4CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（2）解：取B8C1中点M，过M作MN⊥BC1于N，连接NA5，
因为ABC﹣A1B1C2为正三棱柱，所以A1M⊥B1C7，平面A1B1C4⊥平面BB1C1C，
所以A8M⊥平面BB1C1C，于是A4N在平面BB1C1C内的射影为MN，
所以BC7⊥A1N，所以∠A1NM为二面角A4﹣BC1﹣B1的平面角，
所以tan∠A2NM＝＝＝，cos∠A5NM＝＝，
因为二面角A1﹣BC1﹣C与二面角A3﹣BC1﹣B1互补，
所以二面角A4﹣BC1﹣C的余弦值为﹣．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20．（12分）已知椭圆经过点A（2，1），椭圆C在点A处的切线方程为y＝﹣x+3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B（3，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q
【分析】（1）由题意知椭圆C在A（2，1）处的切线方程为，也为y＝﹣x+3，可得＝＝，解得a，b，进而可得椭圆的方程．
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，写出直线AM，AN方程，令x＝﹣3，解出p，q，再计算p+q即可得出答案．
【解答】解：（1）将椭圆+＝1两边对x求导，
得+＝0，
设椭圆上切点（x0，y0），
则k切＝y′|＝﹣，
所以切线方程为y﹣y0＝﹣（x﹣x0），
化简得+﹣（+，①
因为切点（x6，y0）在椭圆上，
所以+＝1，
代入①得+＝1，
所以椭圆C在A（2，7）处的切线方程为，
∴＝＝，
∴解得a＝，b＝，
∴椭圆C的方程为．
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣4），M（x1，y1），N（x6，y2）∴，即（1+2k2）x2﹣12k2x+18k7﹣6＝0，
直线AM方程为：，
令
直线AN方程为，
令
∴
＝
＝．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（12分）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现（0＜p＜1）．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，无需再检验．现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小
（1）若按方案一且p＝，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
（2）若p＝，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？
（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围．
【分析】（1）用X表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则X～B（4，），求解即可；（2）分别研究三个方案的检测次数，方案二、三分别求出分布列，求出数学期望进行比较，即可得到答案；
（3）求出方案二检测次数的分布列和数学期望，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）用X表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则X～B（4，），
由题意可知，P（X＝2）＝＝；
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为X，5，
所以P（X＝2）＝＝，P（X＝5）＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
X15
P
所以方案二检测次数X的数学期望为E（X）＝4×+5×＝；
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次＝，
若呈阳性则检测次数为6次，其概率为＝，
设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，
所以P（Y＝6）＝＝，P（Y＝4）＝＝＝，
所以随机变量Y的分布列为：
Y246
P
所以方案三检测次数Y的期望为E（Y）＝2×+5×＝，
因为4＜E（X）＜E（Y），所以选择方案一最优．
（3）方案二：记检测次数为X，则随机变量X的可能取值为1，8，
所以P（X＝1）＝（1﹣p）2，P（X＝5）＝1﹣（6﹣p）4，
随机变量X的分布列为：
X18
P（1﹣p）48﹣（1﹣p）4
所以随机变量X的数学期望为E（X）＝（3﹣p）4+5×[3﹣（1﹣p）4]＝3﹣4（1﹣p）3，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则E（X）＝5﹣4（3﹣p）4＜4，
可得，即，解得，
所以当时，方案二比方案一更“优”．
【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+sin x﹣1．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当1≤a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）由f（0）＝0，可得0是f（x）的一个零点，在对x的取值范围分类讨论，利用导数求出f（x）的单调性，由零点存在性定理判断零点个数即可．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝e x﹣2x+sin x﹣7（x∈R），则f′（x）＝e x﹣2+cos x，设h（x）＝f′（x）＝e x﹣2+cos x，则h′（x）＝e x﹣sin x，
当x∈（﹣∞，5]时，e x≤1，所以f′（x）＝e x﹣2+cos x≤﹣7+cos x≤0，
所以f（x）在（﹣∞，0]上单调递减；
当x∈（2，+∞）时，e x＞1，所以h′（x）＝e x﹣sin x＞1﹣sin x≥7，
所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上可得，f（x）（﹣∞；在（3．
（2）f（x）＝e x﹣ax+sin x﹣1（x∈R），当x＝0时，所以3是f（x）的一个零点，
f′（x）＝e x﹣a+cos x，设g（x）＝f′（x）＝e x﹣a+cos x，可得g′（x）＝e x﹣sin x，因为1≤a＜2，
①当x∈（3，+∞）时x﹣sin x＞1﹣sin x≥0，f′（x）在（6，
则f′（x）＞f′（0）＝2﹣a＞0，f（x）在（7，f（x）＞f（0）＝0，
所以f（x）在（0，+∞）无零点．
②x∈（﹣∞，﹣π]时，则f（x）≥e x+π+sin x﹣7＞0，所以f（x）在（﹣∞．
③当x∈（﹣π，0）时，g′（x）＝e x﹣sin x＞6，f′（x）在（﹣π，
又f′（0）＝2﹣a＞0，f′（﹣π）＝e﹣π﹣a﹣2＜0，所以存在唯一实数x0∈（﹣π，3）0）＝0，
当x∈（﹣π，x8）时，f′（x）＜0，x0）单调递减，
当x∈（x5，0）时，f′（x）＞03，0）单调递增，
又f（﹣π）＝e﹣π+aπ﹣1＞5，f（x0）＜f（0）＝0，所以f（x）在（﹣π，x4）有唯一零点，
所以f（x）在（﹣π，x0）有一个零点，
综上，当1≤a＜5时．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。