高二数学选修2-1课件第二章 圆锥曲线与方程 第9课时 抛物线及其标准方程

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即 x+y-1=0.
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数学 (RA) –选修2-1 -GZ
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探究 1: 求抛物线的标准方程
【例 1】(1)若抛物线的焦点在直线 3x-4y-12=0 上,则抛物线
的标准方程是
;
(2)若抛物线过点 A(2,-4),则抛物线的标准方程是
;
(3)若抛物线的标准方程是 y2=-4x,则抛物线的焦点到准线的
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第 9 课时 抛物线及其标准方程
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重点:掌握抛物线的定义及其标准方程. 难点:抛物线定义的灵活应用,抛物线标准方程的求法. 学法指导:动手做教材上所提供的试验,从而得到抛物线的 形状,并认识到抛物线上的点所满足的特征;抛物线的标准方程 有四种形式,要熟练掌握对应的方程、焦点、准线,学习时注意以 图形为中介掌握对应量的关联;通过对导学案例题的学习,掌握 抛物线定义的应用、标准方程的求法等,并注意在做习题的过程 中认真体会抛物线的定义.
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综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-6x 或 x2=6y. (2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0), ∴抛物线的焦点是 F(2,0),∴p=2,∴p=4,
2
∴抛物线的标准方程是 y2=8x. ②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0,-3), 即抛物线的焦点是 F(0,-3), ∴p=3,∴p=6,
【方法指导】抛物线上的点满足抛物线的定义,由抛物线的 定义把点 P 到准线的距离转为点 P 到焦点的距离,结合图形可看 出点 P 的位置.
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【解析】抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),准线为 x=-1,
如图,过点 F 作直线 x+2y-12=0 的垂线,垂足为 D,则 FD 与抛
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【解析】(1)因为 p=7,所以焦点坐标是(-7,0),准线方程是
2
x=7.
2
(2)抛物线方程化为标准形式为 x2=2y,因为 p=1,
5
5
所以焦点坐标是(0, 1 ),准线方程是 y=- 1 .
10
10
(3)由 a>0 知 p=a,所以焦点坐标是(a,0),准线方程是 x=-a.
2.抛物线 y=-1x2 的准线方程为( ).
8
A.x=2 B.x=-2 C.y=2 D.GZ
【解析】抛物线方程 y=-1x2 可化为 x2=-8y,
8
故其准线方程为 y=2. 【答案】C
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3.抛物线 y=mx2 的准线方程是 y=2,则 m 的值为
议一议:(1)抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)中 p 的几何意 义是什么?
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹 是抛物线吗?
(指定小组回答,其他组补充)
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【解析】(1)焦点到准线的距离. (2)不一定.当直线 l 经过点 F 时,点的轨迹是过定点 F 且垂 直于定直线 l 的一条直线;l 不经过点 F 时,点的轨迹是抛物线.
物线交于一点 P,则|PF|等于点 P 到此抛物线准线的距离 d1,则
d1+d2
的最小值是|DF|=
|1-12| 12 +22
=11
5
5,故选
C.
【答案】C
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【变式设问】你能从本例中总结出解决与焦点有关的两点间
距离和的最值问题的方法吗?
提示:在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值
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如图,把一根直尺固定在画图板内直尺 l 的位置上,截取一根 绳子的长度等于 AC 的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点 A 处,另一端用图钉固定在 F 处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角 板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动, 这样粉笔就描出了一条曲线.
时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问
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预学 3:抛物线的标准方程的四种形式
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议一议:四种位置的抛物线标准方程的相同点与不同点是 什么?(指定小组回答,其他组补充)
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【解析】(1)相同点 ①原点在抛物线上; ②焦点在坐标轴上; ③焦点的坐标都是一次项系数的1.
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【解析】(1)由题意,可设抛物线 C 的标准方程为 y2=2px(p>0),
因为点 A(2,2)在抛物线 C 上,所以 p=1, 所以抛物线 C 的标准方程为 y2=2x. (2)由(1)可得焦点 F 的坐标为(1,0),
2
又直线 OA 的斜率为 1, 所以与直线 OA 垂直的直线的斜率为-1. 所以过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程为 y-0=(-1)(x-1),
3
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【针对训练 1】求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点 M(-6,6); (2)焦点 F 在直线 l:3x-2y-6=0 上.
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【解析】(1)∵点 M(-6,6)在第二象限, ∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在 x 轴上, 设其方程为 y2=-2px(p>0), 将点 M(-6,6)代入,可得 36=-2p×(-6),∴p=3. ∴抛物线的方程为 y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在 y 轴上,设其方程为 x2=2py(p>0), 将点 M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3, ∴抛物线的方程为 x2=6y.
2
y2=16x; 若焦点为(0,-3),则p=3,开口向下,故抛物线的标准方程为
2
x2=-12y. 故抛物线的标准方程为 y2=16x 或 x2=-12y.
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(2)∵抛物线过点 A(2,-4),且点 A 在第四象限,∴抛物线的开 口向右或向下.
若开口向右,则设方程为 y2=2px(p>0), ∵过点 A(2,-4),∴p=4,∴抛物线的标准方程为 y2=8x; 若开口向下,则设方程为 x2=-2py(p>0), ∵过点 A(2,-4),∴p=1,∴抛物线的标准方程为 x2=-y,故抛
4
坐标为 0. 练一练:已知动点 P(x,y)满足
(x-1)2 + (y-2)2=|3x+45y-10|,则点 P 的轨迹是
.
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【解析】由题意知,动点 P 到定点(1,2)和定直线 3x+4y-10=0 的距离相等,又点(1,2)不在直线 3x+4y-10=0 上,所以点 P 的轨迹 是抛物线.
2
∴抛物线的标准方程是 x2=-12y.
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综上所述,所求抛物线的标准方程是 y2=8x 或 x2=-12y. 探究 2:求抛物线的焦点及准线方程
【例 2】设抛物线的方程为 y=ax2(a≠0),求抛物线的焦点坐 标与准线方程.
【方法指导】首先要将抛物线的方程转化为标准方程形式, 然后确定 p 的值,再根据抛物线的定义求出其焦点坐标与准线方 程.
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距离为
;
(4)若抛物线 y2=2px 上一点 M(4,m)到准线的距离为 6,则
p=
.
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【方法指导】标准方程←求 p 的值←确定开口方向和对称轴.
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【解析】(1)∵焦点在直线 3x-4y-12=0 上, 且直线 3x-4y-12=0 与坐标轴的交点为(4,0)、(0,-3), ∴若焦点为(4,0),则p=4,开口向右,故抛物线的标准方程为
4
(2)不同点 ①焦点在 x 轴上时,方程的右端为±2px,左端为 y2;焦点在 y 轴上时,方程的右端为±2py,左端为 x2. ②开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同时,焦点在 x 轴(或 y 轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负半 轴相同时,焦点在 x 轴(或 y 轴)负半轴上,方程右端取负号.
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【解析】抛物线方程 y=ax2(a≠0)化为标准形式为 x2=1y,
a
当 a>0 时,则 2p=1,解得 p= 1 ,p= 1 ,
a
2a 2 4a
∴焦点坐标是(0, 1 ),准线方程是 y=- 1 .
4a
4a
当 a<0 时,则 2p=-1,p=- 1 .
a 2 4a
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预学 4:已知抛物线的标准方程,如何得到焦点坐标?
先观察方程的结构,一次项变量为 x(或 y),则焦点在 x(或 y) 轴上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半 轴上;若一次项变量为 x,则焦点的横坐标是一次项系数的1,纵坐
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标为 0;若一次项变量为 y,则焦点的纵坐标是一次项系数的1,横
.
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【解析】抛物线方程化为标准形式为 x2= 1 y,由题意得 m<0,
m
∴2p=- 1 ,∴p=- 1 ,
m
2m
∴准线方程为 y=p=- 1 =2,∴m=-1.
2 4m
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【答案】-1
8
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4.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线的方程.
2
4
4
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探究 3:抛物线定义的应用
【例 3】已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点,设点 P 到此抛物线
准线的距离为 d1,到直线 x+2y-12=0 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值 是( ).
A.5
B.4
C.11 5
D. 11
5
5
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预学 1:在上述情境中,点 M 到点 F 与点 M 到直线 l 的距 离相等.理由是由|AC|=|MC|+|AM|,|AC|=|MF|+|AM|,得 |MC|=|MF|.
议一议:抛物线定义中有哪几个定值?(抢答)
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【解析】定直线 l 不经过定点 F. 定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个 确定的比值.
∴焦点坐标是(0, 1 ),准线方程是 y=- 1 ,
4a
4a
综上,焦点坐标是(0, 1 ),准线方程是 y=- 1 .
4a
4a
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【变式设问】本例不对 a 进行讨论,直接求 p 的值,行吗? 提示:不行,因为当 a>0 和 a<0 是两种不同的情况,虽然结果 一样,也需进行分类讨论. 【针对训练 2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).
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物线的标准方程为 y2=8x 或 x2=-y.
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(3)∵抛物线的标准方程为 y2=-4x,∴p=2,这就是焦点到准线
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3
的距离.
(4)∵点 M(4,m)到准线的距离为 4-(-p)=6,∴p=4.
2
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【答案】(1)y2=16x 或 x2=-12y (2)y2=8x 或 x2=-y (3)2 (4)4
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预学 2:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点 F 叫作抛物线的焦点,定 直线 l 叫作抛物线的准线.如果定义中不加上条件“l 不经过 F”, 即若点 F 在直线 l 上,满足条件的动点 P 的轨迹是过点 F 且垂直 于 l 的直线,而不是抛物线.
【答案】抛物线
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1.若动点 P 到定点 F(-4,0)的距离与到直线 x=4 的距离相等,则点 P 的轨迹是( ).
A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线
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【解析】动点 P 的条件满足抛物线的定义. 【答案】A
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