2019-2020年福建省泉州市高二上学期期末教学质量跟踪检测数学(文)含解析-可编辑修改

泉州市上学期高中教学质量跟踪监测
高二文科教学（必修5+选修1-1）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列抛物线中，准线方程为1=x 的是（ ）
A ．x y 22-=
B ．x y 42-=
C ．x y 22=
D ．x y 42=
2.若b a ,是实数，则"2">a 是"4"2>a 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.若等差数列{}n a 中，,262=+a a 则=4a （ ）
A ．2
B ．1
C ．2
D ．2或2-
4.下列关于命题的说法正确的是（ ）
A ．若q p ∨是真命题，则q p ∧也是真命题
B ．若q p ∧是真命题，则q p ∨也是真命题
C.“若,022=--x x 则2=x ”的否命题是“,022≠--x x 则2=x ”
D ．“0,209≤∈∃x x R ”的否定是“0,2
≤∈∀x x R ” 5.若双曲线的中心在原点，离心率3
5=e ，左焦点是()0,5-F ，则F 的渐近线的距离是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．5
6.设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥-+,,3,0623x y x y x 则y x z +=2的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,29
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9,29 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,518 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡9,518 7.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若C B A ,,成等差数列，且满足A a B c C b cos 2cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角非等腰三角形 C.等边三角形 D ．等腰钝角三角形
8.若函数()x f 的导函数()x f '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．1x 是()x f 的一个极值点
B ．1x 和3x 都是()x f 的极值点
C.2x 和3x 都是()x f 的极值点 D ．1x ，2x ，3x 都不是()x f 的极值点
9.若命题“02,2≥++∈∀mx x x R ”为真命题，则m 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,22
B ．()22,22- C. []22,22- D ．),22[]22,(+∞⋃--∞
10.过椭圆205422=+y x 内一点)1,1(P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ）
A ．0954=-+y x
B ．0945=-+y x C.0154=+-y x D ．0145=--y x
11.《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数）．（ ）
A ． 10里
B ．8里 C.6里 D ．4里
12.若定义在()+∞,0的函数()x f 的导数()x f '满足()0>'x f x ，且()11=f ，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．()1>e f
B ．01<⎪⎭⎫ ⎝⎛e f
C. ()()0,,1>∈∀x f e x D ．()()021,,1<+⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈∃x f x f e x 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若0>x ，则x 88
2+的最小值为 ． 14.若数列{}n a 的前n 项和,22n n S n +=则=4a ．
15.双曲线()0,0122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，以21F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，若=∠12F PF 212F PF ∠,则双曲线的离心率为 ．
16.据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于C 地，并以25千米每小时的速度向北偏西 30的方向移动，假设距中心千米以内的区域都将受到台风影响.已知B 地在C 地的正西方向，A 地在B 地的正西方向，若2小时后A ，B 两地均恰好受台风影响，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()2,1A .
（I ）求C 的标准方程；
（Ⅱ）若O 为坐标原点，F 是C 的焦点，过点F 且倾斜角为 45的直线I 交C 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积.
18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，等差数列{}n b 的各项均为正数，且
442251,,25,1b S b S S a ====.
（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-141
n S 的前n 项和.
19. 如图，在梯形ABCD 中，AB
,对角线72=AC , 120=∠ADC ,772cos =∠CAB .
（I ）求AD 的长； （Ⅱ）若32=BC ,求梯形ABCD 的面积.
20. 已知函数().13
223-++=x x ax x f （I ）当2
1-=a 时，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若函数()x f 在[]3,1上单调递增，试求出a 的取值范围.
21. 椭圆()01:22
22>>=+Γb a b y a x 的左、右焦点分别是()()0,2,0,221F F -，且点()
1,2P 在Γ上，抛物线m x y +=2
与椭圆Γ交于四点.,,.,D C B A
（I ）求Γ的方程；
（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点Q ，满足QD QC QB QA ===?（若存在，求出Q 的坐标；若不存在，需说明理由.）
22. 已知函数()()
()()().1ln ,12
12R ∈+=-=k x k x g x x f （I ）若1=k ，求()x g 在e =x 处的切线方程； （II ）证明：对任意正数k ，函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点.
试卷答案
一、选择题
1-5BABBC 6-10 DCACA 11、12：CC
二、填空题
13.8 14. 9 15.13+ 16.50325<<r
三、解答题
17.（I ）依题意可设抛物线的方程是(),022
>=p px y 因为抛物线C 过点()2,1A ，所以p 24=，解得2=p ，
所以抛物线C 的方程.42
x y =
（Ⅱ）法一：
由（I ）得，焦点()0,1F ，依题意知直线l 的方程是1-=x y ，
联立方程⎩⎨⎧=-=,
4,12x y x y 化简，得.0162=+-x x
设()(),,,,2211y x B y x A 则⎩⎨⎧==+162
121x x x x ， 利用弦长公式得()84362||=-=
AB . 点O 到直线l 的距离2
22|
1|=-=d ， 所以ABC ∆的面积为222
2821||21=⨯⨯=⋅=
d AB S . 法二： 由（I ）得，焦点()0,1F ，依题意知直线l 的方程是1-=x y ，
联立方程⎩⎨⎧=-=,4,
12x y x y 化简，得,0442
=--y y 设()(),,,,2211y x B y x A 则⎩⎨⎧-==+442
121y y y y ， 采用割补法，则ABC ∆的面积为 ().2216162
1421||||212122121=+=-+=-⋅=y y y y y y OF S 法三：
由（I ）得，焦点()0,1F ，依题意知直线l 的方程是1-=x y ，
联立方程⎩⎨⎧=-=,4,
12x y x y 化简，得.0162=+-x x
设()(),,,,2211y x B y x A 由韦达定理，得621=+x x .
利用抛物线定义，得.8||21=++=p x x AB
点O 到直线l 的距离2
22|
1|=-=d ， 所以ABC ∆的面积为222
2821||21=⨯⨯=⋅=d AB S . 18. （I ）由⎩⎨
⎧=+==,
251051151d a S a 解得,2=d
所以.12-=n a n
因为,16,442==S S 所以,16,442==b b
因为{}n b 是各项均为正数的等比数列， 所以,22
4===b b q 所以.222n n n q
b b ==- （Ⅱ）(),2
1212n n n S n =-+= 所以
()()()(),12112121121211411412⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=+-=-=-n n n n n S n 所以211411411
41
21=-+⋅⋅⋅+-+-n S S S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211215131311n n .1
2121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n
19. （I ）因为CD AB
,所以,CAB DCA ∠=∠ 所以,7
3sin ,772cos =∠=∠DCA DCA 由,sin sin DCA AD ADC AC ∠=∠得：,7
3
2372AD = 解得：.4=AD
（Ⅱ）法一：
由余弦定理，得,120cos 42162822 ⋅⋅⋅-+==CD CD AC
即,01242
=-+CD CD 解得：2=CD 或6-=CD （舍去）.
在ABC ∆中，由余弦定理，得,cos 722281222CAB AB AB BC ∠⋅⋅-+== 即：,01682
=+-AB AB 解得4=AB , 又梯形的高,3260sin =⋅= AD h 所以().3632242
1=⋅+=∆ABCD S 法二：同法一求得2=CD ，,32=h
又,32h BC ==故,4,22=-=
∴⊥BC AC AB AB BC 故().3632242
1=⋅+=∆ABCD S 20. （I ）当21-
=a 时，函数().13123-++-=x x x x f (),122++-='x x x f
令(),0>'x f 即,0122<--x x 解得;2121+<<-x
令(),0<'x f 解得21+
>x 或.21-<x 所以当21-=a 时，函数()x f 的单调递增区间是()
21,21+-， 单调递减区间是()21,-∞-和()+∞+,21.
（Ⅱ）法一：(),1222++='x ax x f
函数()x f 在[]3,1上单调递增，
等价于()01222
≥++='x ax x f 在区间[]3,1∈x 恒成立， 等价于2
212x x a --≥在区间[]3,1∈x 恒成立. 等价于[]3,1,212max
2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥x x x a 令(),21121222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=--=x x x x x g 因为(),0114413242>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-
-='x x x x x g 所以函数()2
212x x x g --=在区间[]3,1∈x 上单调递增， 故()()1873max -
==g x g 所以a 的取值范围是.,187⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-
法二：(),1222++='x ax x f
函数()x f 在[]3,1上单调递增，
等价于()01222
≥++='x ax x f 在区间[]3,1∈x 恒成立， 令().1222
++=x ax x h
则命题等价于()0min ≥x h 在区间[]3,1∈x 恒成立.
（1）当0≤a 时，由()()⎩
⎨⎧≥+=≥+=,07183.0321a h a h 解得;0187≤≤-a （2）当0>a 时因为函数图像的对称轴,1021<<-=a
x 此时只有满足()⎩⎨⎧≥+=>0
3210a h a ，解得0>a .
综上所述a 的取值范围是.,187⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-
21. （I ）依题意有：.2=c ()()4122122||||2222221=+-+++=
+=PF PF a
所以,2,22==b a 所以椭圆Γ的方程为：.12
42
2=+y x （Ⅱ）法一：由于椭圆和抛物线都关于y 轴对称，故它们的交点也关于y 轴对称，不妨设()(),,,,2211y x B y x A ，则()(),,,,2211y x C y x D --
若存在点Q 满足条件，则点Q 心在y 轴上，设()t Q ,0，
联立,042,124222
2=--+⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m y y m x y y x 则2121-=+y y ，.2
421+-=⋅m y y 由于()(),||||2222212122t y x t y x QB QA -+=-+⇔=
所以()()()(),212122
1222221y y t y y t y t y x x --+=---=- 又,,,212212222211x x y y m x y m x y -=-+=+=
所以),)(2(2122122122x x t y y x x --+=-
则,1212-=-+t y y
即,4
11221=⇒-=--t t 故坐标平面上存在定点⎪⎭⎫ ⎝⎛
41,0Q ，满足QD QC QB QA ===
法二：由于椭圆和抛物线都关于y 轴对称，故它们的交点也关于y 轴对称，不妨设()(),,,,2211y x B y x A ，则()(),,,,2211y x C y x D --AB 的中心.2,22121⎪⎭
⎫ ⎝⎛++y y x x M 依题意，只要探究AB 的垂直平分线l 和y 轴的交点是否为定点. 联立,042,124222
2=--+⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m y y m x y y x 则2121-=+y y ，.2
421+-=⋅m y y ()()
2122212121211x x m x m x x x y y x x k l +-=+-+--=---= 所以，直线l ：,212212121⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-=+-x x x x x y y y 令,0=x 得：4
1412122121=-=++=y y y 为定值， 故坐标平面上存在定点⎪⎭⎫ ⎝⎛
41,0Q ，满足QD QC QB QA ===.
22.（I ）1=k 时，则()(),1,1ln x
x g x x g ='+= ()x g 在e =x 处的切线的斜率(),1e
e g k ='= 又e x =时，(),1ln +=e e g 即切点()2,e ，
所以()e g 在e x =处的切线方程为：
()e x e y -=-12，即.11+=x e
y （Ⅱ）法一：
记()()(),21ln 212k x k x x g x f x F ---=
-= 则()x
k x x F -='（已知0>k ）. 因为()x g 有意义，,0>x
所以()(),00,0k x x F k x x F <<⇔<'>⇔>'
所以()x F 在(]k ,0单调递减，在[)
+∞,k 单调递增，
故()().21ln 212121ln 21min ---=---==k k k k k k k k F
x F 记(),21ln 2121---=k k k x G ().ln 2
11)1(ln 2121k k x G --=+--=' 因为(),00.ln 2112-<<⇔>-
-='e k k x G 所以()k G 在(]2,0-e 单调递增，在[)
+∞-,2e 单调递减， 故()()()
012121ln 212122222max <-=---==-----e e e e e G x G 故()0<k G 恒成立，即()().0min <=k F x F
又0→x 时，()+∞→+∞→x x F ,时，()+∞→x F ，
故()x F 在(]k ,0和[)
+∞,k 各有一个零点， 即()x f 和()x g 的图像在(]k ,0和[)
+∞,k 各有且只有一个公共点. 法二：函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点，等价于()=x f ()x g 总有两个实数根. ()=x f ()(),1ln 21212+=-⇔k k x x g 显示e
x 1=不是该方程的根. 当e x 1≠时，()().1
ln 212
12+-=⇔=x x k x g x f 记().1
ln 212
12+-=x x x H 则().2121ln )1(ln )1(ln 2121ln 222⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=+++='x x x x x x x x x x H 再记()(),02121ln 2>++=x x
x x K 因为(),101113
23>⇔>-=-='x x x x x x K 所以()x K 在(]1,0单调递增，在[)+∞,1单调递减
所以()()(),011min >==≥K x K x K
即(),0>'x H
从而()x H 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
e 1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 均单调递增，
又⎪⎭⎫ ⎝⎛
∈e x 1,0时，0→x 时，()e
x x H 1,0→→时，()+∞→x H ， 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1
e x 时，e
x 1→时，()+∞→-∞→x x H ,时，()+∞→x H ， ()x H 的草图如图：
故对任意的正数k ，直线k y =与()x H 的图像总有两个公共点， 即方程1
ln 212
12+-=x x k 总有两个根， 即函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点，命题得证.
A。