2007年广州市普通高中毕业班综合测试(理科)(二)

试卷类型：A
2007年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（理科）
2007．4
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答
题卡上．用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
()()
22221211236
n n n n +++++
+=
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．sin 480的值为
A ．12-
B ．2-
C ．1
2
D ．2
2．函数2x
y =（x ∈R ）的反函数为
A ．2log y x =（0x >）
B ．2log y x =（1x >）
C ．log 2x y =（0x >）
D ．log 2x y =（1x >）
3．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为 A ．53i + B ．15i + C ．15i -- D ．53i -- 4．1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为
A ．424
2
A A
B ．525
2
A A C ．55A
D ．6
62
2
A A
7．如图1，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、
E B A 1 B 1
C 1
D 1
8．已知方程2
10ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值范围为
A ．()1,-+∞
B ．(),1-∞-
C ．(),1-∞
D ．()1,1-
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题，每小题5分，
满分30分． 9．已知0t >，若
()0
21d 6t
x x -=⎰，则t = ．
10．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资
收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．
图1
11．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如
图2所示，则ω= ，ϕ= ．
12．已知数列{}n a 满足12a =，111n n n
a a a ++=
-（*
n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．
▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分．
13．已知,,,a b x y ∈R ，22
4a b +=，6ax by +=，则2
2
x y +的最小值为 ．
14．在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于,A B 两点，则
=AB ．
15．如图3，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于
点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小 为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）
已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且2
2
2
a c
b a
c +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值．
17．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．
图
2
图3
18．（本小题满分14分）
如图4所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，2AB =，1BC =
，
1AA ，D 是棱1CC 的中点．
（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面11AB C ； （Ⅱ）求二面角11B AB C --的余弦值． 19．（本小题满分14分）
已知曲线C ：x
y e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点
1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，
过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、
n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．
（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求2
1
n
i i OP =∑．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、
31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
三点．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． 21．（本小题满分14分）
已知函数()2
42f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，
()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．
图4
2007年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分． 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题。

每小题5分，满分30分．其中第11、12题中的第一个空均为2分，第二个空均为3分．
9．3 10．182 11．
12；38π 12．12
-；3
13．9 14． 15．135
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）
（Ⅰ）解：由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-=＝1
2。

……2分
∵0B π<<，∴ 3
B π
=
． ……4分
（Ⅱ）解法一：将3c a =代入222
a c
b a
c +-=，得b =． ……6分
由余弦定理，得222cos 214
b c a A bc +-==． ……8分
∵0A π<<，∴sin 14
A ==
． ……10分
∴sin tan cos A A A =
=． ……12分
解法二：将3c a =代入222
a c
b a
c +-=，得b =． ……6分
由正弦定理，得sin B A =． ……8分
∵3
B π
=
，∴sin 14
A =
． ……10分
又b a =
>，则B A >，∴cos A ==。

∴sin tan cos A A A =
=． ……12分 解法三：∵3c a =，
由正弦定理，得sin 3sin C A =． ……6分 ∵3
B π
=，∴()23
C A B A π
π=-+=
-． ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． ……8分 ∴22sin
cos cos sin 3sin 33
A A A ππ-=．
1
sin 3sin 2
A A A +=．
∴5sin A A =． ……10分
∴sin tan cos A A A =
=． ……12分 17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查互斥事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分类与整合、或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）
（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件A ，
∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有2
6C 种， ……1分 其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有2
1
1
322C C C ， ……3分
∴()2113222
6C C C 3224
C 355
P A ⨯⨯===⨯． ……4分 解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“取出的2个小球上
的数字相同”的事件记为B ，则事件A 与事件B 是对立事件．
∵()132
6C 31
C 155
P B ===， ……2分 ∴()()4
15
P A P B =-=
． ……4分 （Ⅱ）解：由题意，ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，6． ……6分
()2226C 12C 15P ξ===，()112226C C 43C 15P ξ===，()211
222
2
6C C C 54C 15
P ξ+===，
()1122
26C C 45C 15P ξ===，()222
6C 16C 15
P ξ===． 故随机变量ξ的概率分布为
……10分 因此，ξ的数学期望14541
2345641515151515
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）
解法一：（Ⅰ）∵90ACB ∠=，∴BC AC ⊥．
∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1BC CC ⊥． ∵1AC
CC C =，∴BC ⊥
平面11ACC A
．
∵1A D ⊂
平面11ACC A ，∴1
BC A D ⊥
，而11BC B C ，则111B C A D ⊥．……4分
在1Rt ACC ∆中，11tan AC AC C CC ∠=
==
， 在11Rt DC A ∆
中，111
11tan 2DC DA C A C ∠===， ∴111AC C DAC ∠=∠．
同理可得，111CAC C DA ∠=∠． （或：在1Rt ACC ∆与11Rt DC A ∆中，∵
11
112
C C
AC
DC AC ====
， ∴1Rt ACC ∆～11Rt DC A ∆，∴111AC C DAC ∠=∠，111CAC C DA ∠=∠．） ∵1190AC C CAC ∠+∠=，∴11190AC C C DA ∠+∠=．即11A D AC ⊥．……6分 ∵11
11B C AC C =，∴1A D ⊥平面11AB C ． ……7分
（Ⅱ）如图，过1C 作1AB 的垂线，垂足为H ，在平面1ABB 内作1GH AB ⊥交1BB 于点G ，连1GC ，则1C HG ∠为二面角11B AB C --的平面角． ……9分
在11Rt AB C ∆
中，1111110AC B C C H AB ⋅=
==
，1B H =． ∵1Rt B HG ∆～1Rt B BA ∆，∴
1111B H B G
GH AB B B B A ==
，则15GH =
，16B G =．
在11Rt B C G ∆
中，求得16
C G =
． 在1C HG ∆
中，由余弦定理，得2221111cos 2C H GH C G C HG C H GH +-∠==⋅． 故二面角11B AB C --
的余弦值为-
． ……14分 解法二：∵90ACB ∠=，∴BC AC ⊥．
∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1BC CC ⊥． ∵1AC
CC C =，∴BC ⊥平面11ACC A ． ……2分
以C 为坐标原点，CB 、1CC 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，
()1,0,0B
，(A
，()
1C
，
()1B
，(1A
，
0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
． ……4分
（Ⅰ）10,A D ⎛= ⎝，()111,0,0B C =-
，(1AB =， ∵1110A D BC =，110A D AB =，
∴111A D BC ⊥，11A D AB ⊥，即1
11A D B C ⊥，11A D AB ⊥． ∵11
11B C AB B =，∴1A D ⊥平面11AB C ． ……7分
（Ⅱ）设(),,x y z =n 是平面1ABB 的法向量，由110,0.AB BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n
得0,
0.x ⎧+=⎪=
取1z =
，则)
=n 是平面1ABB 的一个法向量． ……10分
又10,A D ⎛
= ⎝是平面11AB C 的一个法向量， ……12分
且1,AD <n >与二面角11B AB C --的大小相等．
由
(
)
1110,3,0,1
cos
,=2
AD AD AD ⎛ ==⋅n <n >n
故二面角11B AB C --的余弦值为6
-
． ……14分 19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查数列、导数等基础知识，考查有限与无限的数学思想与方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
解：（Ⅰ）∵x
y e '=，
∴曲线C ：x
y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =．
此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，
∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*
n ∈N ），
∴曲线C ：x
y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n
n x x n y e
e x x -=-， ……4分
令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．
∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列。

∴1n x n =-，1n n y e -=．（*
n ∈N ） ……6分
（Ⅱ）∵()()2
2
21221i i i i OP x y i e -=+=-+， ……8分
∴
2
2
2
2
2
1231
n
i
n i OP
OP OP OP OP ==++++∑
()()()()()
2
212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣
⎦
……10分 ()()
2212224
1211n n e e e
---⎡⎤⎡⎤=+++
+-++++
+⎣
⎦
⎣
⎦ ……12分 ()()22
121161n n n n e e -----=+-
()()()
2222
1211
61n n n n n e e e ----=+-． ……14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）
（Ⅰ）解法一：当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
则2a =，又点31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆E 上，得
22
19124b
+=．解得2
3b =． ∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=． 当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为22
221x y b a
+=（0a b >>），
则2b =，又点31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆E 上，得
22
19124a
+=．解得2
3a =，这与a b >矛盾． 综上可知，椭圆E 的方程为22
143
x y +=． ……4分 解法二：设椭圆方程为2
2
1mx ny +=（0,0m n >>），
将()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入椭圆E 的方程，得
41,
9
1.4
m m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得14m =，13n =． ∴椭圆E 的方程为22
143x y +=． ……4分 （Ⅱ）证法一：将直线l ：()1y k x =-代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理，得()()2
2
22348430k x
k x k +-+-=， ……6分
设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，
由根与系数的关系，得2
122834k x x k +=+，()2122
4334k x x k
-=+． ……8分 直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++，它与直线4x =的交点坐标为1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，
同理可求得直线BN 与直线4x =的交点坐标为2224,
2y Q x ⎛⎫
⎪-⎝
⎭
． ……10分 下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等： ∵()111y k x =-，()221y k x =-， ∴
()()()()()()
122112
1212612212622222k x x k x x y y x x x x ----+-=
+-+- ()()()()()()
2222
121212128340283434225802222k k k k k k x x x x x x x x ⎡⎤
--+⎢⎥++-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦===+-+-．
因此结论成立．
综上可知，直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……14分
证法二：将直线l ：()1y k x =-，代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理，得()()2
2
22348430k x
k x k +-+-=， ……6分
设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，
由根与系数的关系，得2
122834k x x k +=+，()2122
4334k x x k
-=+． ……8分 直线AM 的方程为：()1
122y y x x =++，即()()11122
k x y x x -=++．
直线BN 的方程为：()2
222y y x x =
--，即()()22122
k x y x x -=--． ……10分 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得
()()()12122121212122223422334
24
x x x x x x x x x x x x x x x -++⎡⎤-+⎣⎦
=
=
+-++-
()22222222222222
8324462443434344846
423434k k k x x k k k k k x x k k
⎡⎤
-⎛⎫+-+⎢⎥-+ ⎪++⎢⎥+⎣⎦⎝⎭==
=+-+-+++． ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……14分
证法三：将直线l ：()1y k x =-，代入椭圆方程22
143
x y +=并整理，得()()2
2
22348430k x
k x k +-+-=， ……6分
设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，
由根与系数的关系，得2
122834k x x k +=+，()2122
4334k x x k
-=+． ……8分 消去2
k 得，()1212258x x x x =+-． ……10分
直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++，即()()11122
k x y x x -=++．
直线BN 的方程为：()2
222y y x x =
--，即()()22122
k x y x x -=--． ……12分 由直线AM 与直线BN 的方程消去y 得，
()()121212121212258322343434
x x x x x x x x x x x x x +--+⎡⎤-+⎣⎦==
=+-+-．
∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……14分 21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）
解：（Ⅰ）∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
2
2212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()21204
a x x =-
-<， ……2分 ∵12x x ≠，∴0a >．
∴实数a 的取值范围为()0,+∞． ……4分
（Ⅱ）∵()2
224422f x ax x a x a a ⎛
⎫=+-=+-- ⎪⎝
⎭，
显然()02f =-，对称轴2
0x a
=-<． ……6分 （1）当424a --
<-，即02a <<时，()2,0M a a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦．
令2
424ax x +-=-，解得2x a
-=
，
此时()M a 取较大的根，即()
M a =
=
， ∵02a <<，∴()1
M a =
>-． ……10分
（2）当424a --
≥-，即2a ≥时，()2
M a a
<-，且()4f M a =⎡⎤⎣⎦．
令2
424ax x +-=，解得x =
，
此时()M a 取较小的根，即()2
M a a -=
=
， ∵2a ≥，∴()3
M a =
≥-． ……13分
当且仅当2a =时，取等号． ∵31-<-，
∴当2a =时，()M a 取得最小值－3． ……14分。