2016秋数学北师大版必修2练习：1.6.2 垂直关系的性质 含解析

［A基础达标］
1．设l是直线，α,β是两个不同的平面（)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α,l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β,l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B．若l∥α，l∥β,则α，β可能相交,故A错；若l∥α,则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又mα,故α⊥β，故B对；若α⊥β，l⊥α,则l∥β或lβ，故C错；若α⊥β，l∥α,则l与β关系不确定，故D错．
2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC,则l与m的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．异面D．不确定
解析：选D．因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB,l⊥CD,所以l垂直于梯形ABCD．又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC。

所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D．
3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析：选D．如图所示．
AB∥l∥m；AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D．
4. 三棱锥P。

ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：选C。

由BC∥DF得BC∥平面PDF，故A正确；由BC⊥AE，BC⊥PE得BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE,平面PAE⊥平面ABC,故B、D都正确．排除A,B，D，故选C。

5．以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱，将△ABC 折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为( ）A．30°B．60°
C．90°D．不确定
解析：选B．
如图,令CD＝AD＝BD＝1，则AC＝BC＝错误!。

因为平面ACD⊥平面BCD，AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD ＝CD，所以AD⊥BD，所以AB＝2,所以∠ACB＝60°.
6。

如图，空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD，∠BAD ＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．
解析：过A
作AO⊥BD于O点，
因为平面ABD⊥平面BCD，
所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．因为∠BAD＝90°,AB＝AD，
所以∠ADO＝45°.
答案:45°
7. 如图，已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，若AF＝2，CD ＝3，则CE＝________．
解析：因为AF⊥平面ABCD，AF∥DE，
所以DE⊥平面ABCD，CD平面ABCD．
所以DE⊥CD．
因为DE＝AF＝2,CD＝3，
所以CE＝错误!＝错误!。

答案：错误!
8。

如图，在三棱锥P。

ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC ＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC），
所以PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB，所以PB＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：错误!
9. 如图，在四棱锥P.ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB ＝AD，∠BAD＝60°，E,F分别是AP，AD的中点．
求证：(1）EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
证明：
（1）如图,在△PAD中，因为E,F分别为AP,AD的中点，所以EF∥P D．
又因为E F平面PCD，PD平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
(2）连接BD．因为AB＝AD,∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．
10。

如图，在直四棱柱A1B1C1D1。

ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1?(注:写出一个你认为正确的条
件即可，不必考虑所有可能的情形．）
解:连接BD，AC，因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1,需A1C ⊥BD．
因为A1A⊥平面ABCD,BD平面ABCD，所以A1A⊥BD，又因为A1A∩A1C＝A1,所以BD⊥平面A1AC。

因为AC平面A1AC,所以AC⊥BD．
由以上分析知，要使A1C⊥B1D1,需使AC⊥BD,或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等．
［B 能力提升］
1．在三棱锥P。

ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°,△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4,M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（)
A。

错误!B．2错误!
C．3错误!D．2错误!
解析：选B．连接CM，
则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝错误!，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此时有CM＝4×错误!＝2错误!，所以PM的最小值为2错误!.
2．已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB＝4 cm，AC,BD 分别在平面α和β内，它们都垂直于AB,并且AC＝3 cm,BD＝12 cm,则CD的长为________cm。

解析:如图,连接AD，CD．在Rt△ABD中，AB＝4,BD＝12,
所以AD＝错误!＝4错误!（cm）．
又因为α⊥β，CA⊥AB，CAα，
所以CA⊥β，CA⊥AD．
所以△CAD为直角三角形．
所以CD＝错误!＝错误!＝错误!＝13(cm）．
答案：13
3. 已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点,且错误!＝错误!＝λ（0〈λ<1）．
（1)求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；
（2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
解:（1）证明：因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD．
因为CD⊥BC且AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC。

又因为错误!＝错误!＝λ(0<λ〈1）,
所以不论λ为何值,恒有EF∥CD，
所以EF⊥平面ABC.
又EF平面BEF。

所以不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC。

（2)由（1)知，EF⊥BE，
又平面BEF⊥平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,
所以BE⊥AC。

因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°,∠ADB＝60°,AB⊥平面BCD，所以BD＝错误!，AB＝错误!tan 60°＝错误!，
所以AC＝错误!＝错误!,
由AB2＝AE·AC,得AE＝错误!，
所以λ＝AE
AC＝错误!，
故当λ＝错误!时，平面BEF⊥平面ACD．
4．(选做题）如图所示,在直四棱柱ABCD.A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
（1)求证:B1D1∥平面A1BD;
（2）求证:MD⊥AC;
（3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．
解：(1)证明:由ABCD。

A1B1C1D1是直四棱柱,得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形．
所以B1D1∥BD．
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD．
（2）证明:因为BM⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BM⊥AC。

又因为BD⊥AC，且BD∩BM＝B，
所以AC⊥平面BMD．
而MD平面BMD，所以MD⊥AC。

（3）当点M为棱BB1的中点时,
平面DMC1⊥平面CC1D1D．
取DC的中点N，D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN,
因为N是DC的中点,BD＝BC，所以BN⊥DC。

又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，
所以BN⊥平面DCC1D1。

又O是NN1的中点，
所以BM∥ON，且BM＝ON，
即BMON是平行四边形,
所以BN∥OM。

所以OM⊥平面CC1D1D．
因为OM平面DMC1，
所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．。