河南省重点高中2022-学年高二数学下学期期中试题 文

河南省高中2021-2021学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1.复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫i －1i 3
的虚部是( ) A.－8 B.－8i C.8
D.0
2.下面4个散点图中，不适合线性回归模型拟合的两个变量是( )
3.设1a <1b <0，那么在①a 2>b 2；②a＋b>2ab ；③ab<b 2；④a 2＋b 2
>|a|＋|b|.这4个不等式中，
恒成立的不等式的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个
D.3个
4.上一个n 层台阶，假设每次可上一层或两层，设所有不同的上法的总数为f(n)，那么以下猜测正确的选项是( ) A.f(n)＝n
B.f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)
C.f(n)＝f(n －1)×f(n－2)
D.f(n)＝⎩
⎪⎨⎪⎧n ，n ＝1，2，
f 〔n －1〕＋f 〔n －2〕，n≥3
5.某一算法流程图如图，输入x ＝1得结果为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
6.某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知以下推测一定正确的选项是( ) A.今天是周四 B.今天是周六 C.A 车周三限行
D.C 车周五限行
7.以下四个命题中，正确的个数为( ) ①满足z ＝1
z
的复数，只有±1；
②假设a ，b∈R ，且a ＝b ，那么(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数； ③假设复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，那么z 1＝z －
2；
④在复平面内，复数m ＋i
m －i 对应的点位于第一象限，那么实数m 的取值范围是(1，＋∞)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 8.假设x ，y 是正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A.3
B.72
C.4
D.92
9.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和
D.相关指数R 2
10.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2
≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过( )
A.2.5%
B.0.5%
C.1%
D.5%
11．(2021·北京西城联考)设1<x<2，那么lnx x ，(lnx x )2，lnx
2
x 2的大小关系是( )
A ．(lnx x )2<lnx x <lnx
2
x 2
B.lnx x <(lnx x )2<lnx
2
x 2 C ．(lnx x )2<lnx 2
x 2<lnx x
D.lnx 2
x 2<(lnx x )2<lnx x
12.将1，2，3，…，9这9个数填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，第一列从上到下依次增大，当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法种数为( )
A.6种 C.18种
D.24种
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13.i 为虚数单位，复数a ＋3i
2i
的实部与虚部相等，那么实数a ＝________.
14．对任意非零实数a ，b ，定义a ⊗b 的算法原理如程序框图所示，设a 为函数y ＝x 2
－2x ＋3(x∈R )的最小值，b 为抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的距离，那么计算机执行该程序后输出的结果是__________.
15．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2·a 6＝4，a 3＝1，那么
〔S n ＋94
〕
2
2a n 的最小值为________．
16.两个圆：x 2
＋y 2
＝1①与x 2
＋(y －3)2
＝1②，那么由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：_____________________________ ________________________________________________________________________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i ，试求实数m 为何值时，z 对应的点位于复平面的第二象限？
18.(12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：
K2＝n〔
〔a＋b〕〔c＋d〕〔a＋c〕〔b＋d〕
19.(12分)如右图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c
h c
＝1.
通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
20.(12分)一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算结果输出口B ，执行的运算程序是：①当从A 口输入自然数1时，从B 口输出实数13，记为f(1)＝1
3
；
②当从A 口输入自然数n(n≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n －1)的2n －3
2n ＋1倍.
(1)求f(2)，f(3)的值；
(2)归纳猜测f(n)的表达式，并证明；
(3)求∑n
i ＝1f(i).
21.(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷〞，“体育迷〞中有10名女性.
(1)根据条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷〞与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计 男 女 10 55 合计
(2)“超级体育迷〞中有2名女性.假设从“超级体育迷〞中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率. 附：k 2
＝n 〔ad －bc 〕2
〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕
.
P(k 2
≥k 0)
0.05 0.01 k 0
3.841
6.635
22．(12分)函数f(x)＝x 2
lnx －13ax 3－32
x 2.
(1)假设函数y ＝f(x)在定义域上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，求证：ln(x 1x 2)>4.
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1.复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫i －1i 3
的虚部是( ) A.－8 B.－8i C.8 D.0
答案 A
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫i －i i 23
＝(2i)3
＝－8i.应选A.
2.下面4个散点图中，不适合线性回归模型拟合的两个变量是( )
答案 A
解析 由散点图可以看出C ，D 的样本点分布在一条直线附近，B 的样本点分布在一条抛物线的附近，可以转化为线性回归模型.而A 的样本点那么是散落的分布，没有集中的趋势.应选A.
3.设1a <1b <0，那么在①a 2>b 2；②a＋b>2ab ；③ab<b 2；④a 2＋b 2
>|a|＋|b|.这4个不等式中，
恒成立的不等式的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案 B
解析 因为1a <1b <0，所以b<a<0，所以a 2<b 2，故①错；a ＋b<0，2ab>0，故②错；ab<b 2
，
③恒成立；当a ＝－14，b ＝－12时，a 2＋b 2
＝516，|a|＋|b|＝34，故④错.综上，只有③恒成立.
应选B.
4.上一个n 层台阶，假设每次可上一层或两层，设所有不同的上法的总数为f(n)，那么以
下猜测正确的选项是( ) A.f(n)＝n
B.f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)
C.f(n)＝f(n －1)×f(n－2)
D.f(n)＝⎩
⎪⎨⎪⎧n ，n ＝1，2，
f 〔n －1〕＋f 〔n －2〕，n ≥3
答案 D
解析 当n ＝1时，f(1)＝1；当n ＝2时，f(2)＝2；当n≥3时，由于每次只能上一层或两层，因此f(n)＝f(n －1)＋f(n －2).应选D. 5.某一算法流程图如图，输入x ＝1得结果为( )
C.2
D.3
答案 B
解析 当x ＝1时，1
2
不是整数，故y ＝x ＝1.应选B.
6.某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知以下推测一定正确的选项是( ) A.今天是周四 B.今天是周六 C.A 车周三限行 D.C 车周五限行
答案 A
解析 在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行.由周末不限行，B 车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E 车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E 车周四限行，B 车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A ，C 两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，那么B 车周五限行，又E 车周四限行，所以A ，C 两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意.所以今天是周四.应选A.
7.以下四个命题中，正确的个数为( ) ①满足z ＝1
z
的复数，只有±1；
②假设a ，b∈R ，且a ＝b ，那么(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数； ③复数z∈R 的充要条件是z ＝z －
；
④在复平面内，复数m ＋i
m －i 对应的点位于第一象限，那么实数m 的取值范围是(1，＋∞)
A.0个
B.1个
答案 D
解析 只有②不正确，如a ＝b ＝0时，对应复数为0，是实数.应选D. 8.假设x ，y 是正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2
的最小值是( ) A.3
B.72
C.4
D.92
答案 C
9.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数R 2
答案 B
解析 y i －y ^＝e ^i ，∑n
i ＝1 e ^i 2
为残差平方和.应选B.
10.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2
≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过( ) A.2.5% B.0.5% C.1% D.5%
答案 D
解析 ∵P(K 2
≥3.841)≈0.05，故“判断性别与运动有关〞出错的可能性为5%.
11.“所以9的倍数(m)都是3的倍数(p)，某奇数(s)是9的倍数(m)，故某奇数(s)是3的倍数(p).〞上述推理得( ) A.小前提错
B.结论错
C.正确
D.大前提错
答案 C
解析 前提和结论都是正确的.应选C.
12.将1，2，3，…，9这9个数填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，第一列从上到下依次增大，当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法种数为( )
A.6种 C.18种 D.24种
答案 A
解析 3，4固定， 那么1，2，9也固定，
当x ＝5时，①m 为6，那么y ，n 为6，m ，n 可互换有2种. 同理当y 为5时，也有1＋2＝3种. ∴有2×(1＋2)＝6种.应选A.
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.i 为虚数单位，复数a ＋3i
2i 的实部与虚部相等，那么实数a ＝________.
答案 －3
解析
a ＋3i 2i ＝〔a ＋3i 〕i －2＝32－ai 2，由题意知32＝－a
2
，解得a ＝－3.
14.(高考真题·湖北卷)阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.
答案 5
解析从程序框图知，a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5.故输出i＝5.
15.许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一.在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程如下：y＝0.8x＋4.6，估计值0.8说明______________________，成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数r________(填“大于0〞或“小于0〞).
答案一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右大于0
解析由回归分析可知.
16.两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋(y－3)2＝1②，那么由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：_____________________________
________________________________________________________________________.
答案设两圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(x－c)2＋(y－d)2＝r2(a≠c或b≠d)，那么由两方程相减得两圆的对称轴方程为2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0
解析这是一个类比推理题，由两相交圆将方程相减可以得到相交弦方程知，只需将两同半
径的一般圆方程相减消去二次项即可.但要注意得出的结论必须是正确的.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i ，试求实数m 为何值时，z 对应的点位于复平面的第二象限？
解析 要使z 对应的点位于复平面内的第二象限， 那么⎩⎪⎨⎪⎧m 2
－2m －2>0，lg 〔m 2
－2m －2〕<0，m 2＋3m ＋2>0.
解得－1<m<1－3或1＋3<m<3.
18.(12分)先解答(1)，再通过结果类比解答(2).
(1)求证：tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
1＋tanx 1－tanx ； (2)设x∈R ，a≠0，f(x)是非零函数，且函数f(x ＋a)＝1＋f 〔x 〕
1－f 〔x 〕，试问f(x)是周期函数
吗？证明你的结论.
证明 (1)tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan π
4＋tanx
1－tan π4tanx
＝1＋tanx 1－tanx .
(2)类比猜测：f(x)是以T ＝4a 为周期的周期函数. 因为f(x ＋2a)＝f(x ＋a ＋a)
＝1＋f 〔x ＋a 〕1－f 〔x ＋a 〕＝1＋
1＋f 〔x 〕1－f 〔x 〕1－
1＋f 〔x 〕1－f 〔x 〕＝－1
f 〔x 〕
， 所以f(x ＋4a)＝－1
f 〔x ＋2a 〕＝f(x).
所以f(x)是以T ＝4a 为周期的周期函数.
19.(12分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工的工作积极性和对待企业改革态度的
关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
解析 由公式，得K 2
＝189×〔54×63－40×32〕
2
94×95×86×103
≈10.759.
因为10.759>7.879，所以有99.5%的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的.
20.(12分)a ，b ，c 表示△ABC 的边长，m>0，求证：
a a ＋m ＋
b b ＋m >c
c ＋m
. 证明 设f(x)＝x
x ＋m
(x>0)，且0<x 1<x 2，
那么f(x 2)－f(x 1)＝
x 2x 2＋m －x 1x 1＋m ＝m 〔x 2－x 1〕〔x 1＋m 〕〔x 2＋m 〕
. ∵m>0，0<x 1<x 2，∴m＋x 1>0，m ＋x 2>0，x 2－x 1>0. ∴f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1). ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
在△ABC 中，a ＋b>c ，那么
a ＋
b a ＋b ＋m >c
c ＋m
.
∴
c c ＋m <a a ＋b ＋m ＋b a ＋b ＋m <a a ＋m ＋b b ＋m
. ∴原不等式成立.
21.(12分)一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算结果输出口B ，执行的运算程序是：①当从A 口输入自然数1时，从B 口输出实数13，记为f(1)＝1
3
；
②当从A 口输入自然数n(n≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n －1)的2n －3
2n ＋1倍.
(1)求f(2)，f(3)的值；
(2)归纳猜测f(n)的表达式，并证明；
(3)求∑n
i ＝1
f(i). 解析 (1)由题可知f(n)＝
2n －3
2n ＋1
f(n －1)，n≥2. ∴f(2)＝2×2－32×2＋1×13＝115，同理得f(3)＝1
35.
(2)由f(1)＝13＝11×3，f(2)＝115＝1
3×5，
f(3)＝135＝1
5×7
.
归纳猜测：f(n)＝1
〔2n －1〕〔2n ＋1〕.
∵
f 〔n 〕f 〔n －1〕＝2n －3
2n ＋1
，
∴
f 〔2〕f 〔1〕·f 〔3〕f 〔2〕·f 〔4〕f 〔3〕·…·f 〔n 〕f 〔n －1〕＝15·37·59·…·2n －32n ＋1，从而f 〔n 〕
f 〔1〕
＝
3
〔2n －1〕〔2n ＋1〕
.
∴f(n)＝1
〔2n －1〕〔2n ＋1〕
.
(3)∑n
i ＝1f(i)＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1
〔2n －1〕×〔2n ＋1〕
＝12⎣⎢⎡⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
15－17＋…
＋
⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 22.(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了
100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷〞，“体育迷〞中有10名女性.
(1)根据条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷〞与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女10 55
合计
(2)“超级体育迷〞中有2名女性.假设从“超级体育迷〞中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
附：k2＝n〔ad－bc〕2
〔a＋b〕〔c＋d〕〔a＋c〕〔b＋d〕
.
P(k2≥k0) 0.05 0.01
k0 3.841 6.635
解析(1)25人，从而2×2列
联表如下：
将2×2k 2
＝n 〔ad －bc 〕
2
〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕
＝100×〔30×10－45×15〕2
75×25×45×55＝10033
≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷〞与性别有关.
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷〞为5人，从而一切可能结果所组成的根本领件空间为
Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}.
其中a i 表示男性，i ＝1，2，3.b j 表示女性，j ＝1，2.
Ω由10个根本领件组成，而且这些根本领件的出现是等可能的. 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性〞这一事件，那么
A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}， 事件A 由7个根本领件组成，因而P(A)＝7
10.。