概率论与随机过程：3.3 条件分布

x
|
y
Y
y
}
lim P{ X x, y Y x } 0 P{ y Y y }
其中 x .
注意：
在条件分布函数FY|X ( y | x) 的表示式中，x与y的含 义不同：y是条件分布函数中的自变量，而x是给定 X=x条件下的参数，因此 FY|X ( y |，x)是一个分布函
1, n1
m=1,2, …,n-1
当m=1,2, …时，
P(Y n | X m) P{X m,Y n}
P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1 p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布
1. 条件分布函数
在讨论二维连续型随机变量(X,Y)的条件分布时，
n1
P{Y n} P(X m,Y n) m 1 n1 p2 (1 p)n2 m 1
(n 1) p2 (1 p)n2
n=2,3, …
于是可求得：
当n=2,3, …时，
P(X m | Y n) P{X m,Y n}
P{Y n}
联合分布 边缘分布
(n
p2 (1 p)n2 1) p2 (1 p)n2
第2次课 教学内容： 1. 条件分布 2. 随机变量的独立性 教学目的及目标： 掌握条件分布及独立随机变量的概念,并能熟练 解决有关问题； 教学重点： 随机变量的独立性 教学难点： 条件分布
§3.3 条件分布
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P(A | B) P(AB) P(B)
1
,
0,
x2 y2 1 其它
求 fY|X ( y | x)
解：易知X的边缘密度为
f X (x)
f
( xX,作y)为dy已知变20,量1
x2
,
| x | 1 | x | 1
所以，当|x|<1时, fY|X(y|x)有意义，且
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
这里是y的取值范围
容易想象，这个分布与不加这个条件 时的分布会很不一样.
例如，在条件分布中体重取大值的概 率会显著增加 .
一、离散型r类.v似的定条义件在分X=布xi条件下 实际上是随第机一变量章Y讲的过条的件条概件率函概数率. 概念在
另一种形式下的重复.
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量， 对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
例如：P( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P(Y y j | X xi ) 1
(1)
P{ X
j 1
xi |Y
yj}
pij p• j
0,
P{Y
yj
|
X
xi }
pij pi•
0,
(2)
P{Y
j 1
yj | X
xi }
j 1
pij pi•
1 pi•
j 1
fY ( y) f (x, y)dx
y 0
1 1 x
dx
ln(1
y),
0,
0 y 1 其它
（*）例5 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xy, 0 x 1, x y 3x, f ( x, y) 0 其他，
试求 (1)条件概率密度f X |Y (x | y) 以及 fY|Xy ( y | x)
f X|Y ( x |
y)
f (x, y) fY ( y)
18x
9
y2
0,
,
y x 1, 3 其他.
(1) 由于P{X 1} 0 ，因此由条件概率的定义可知
2
P{Y
2|
X
1}
P{Y
2,
X
1} 2
2
P{X 1}
1
3x
2
x d x y d y 25
2
2
3 1
4x3 d x
72 15
P(X=xi|Y=yj)=
P( X xi,Y P(Y yj )
yj )
pi j ，i=1,2, … p• j
为在Y=yj条给件定作下的为随，条在机件此变的条那量件个X下的r.v求,条认另件为一取概r.值v率的是函数.
概率分布.
条件分布是一种概率分布，它具有概率
分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质.
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
不论m(m<n)是多少， 每次击中目标的概率为 p P(X=m,Y=n)都应等于 P(X=m,Y=n)=？
P(X m,Y n) p2 (1 p)n2
由此得X和Y的联合概率函数为
P(X m,Y n) p2 (1 p)n2
pij
1
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为
p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为
止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y 表示总共进行的射击次数. 试求X 和Y的联合分布及条件分布.
解：依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击 中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.
{X=m}表示首次击中目标时射击了m次
P{x X x }
当 0时，如果 P{Y y | x X x }
的极限存在，则称此极限为在X=x的条件下，Y的 条件分布函数，记为
P{Y y | X x}
或
FY|X ( y | x), y .
类似地，Y=y的条件下，X的条件分布函数
FX |Y
(x
|
y)
lim
0
P{ X
ex y
dx
y
,
1y
x0
ex y
e
1
y
1
练 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值. 求Y 的概率密度.
解：依题意，X具有概率密度
1, 0 x 1
f
X
(
x)
0,
其它
对于任意给定的值x(0<x<1)，在X=x的条件
下，Y的条件概率密度为
数族. FX |Y (x | y) 中x为自变量， y是参数.
2. 条件概率密度
设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，如果f(x,y)在(x,y)处 连续，且X的边缘概率密度 fX (x)在x处连续，并且 fX (x) 0, 则
FY | X
(y
|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)
lim
0
P{Y
y
|
x
X
x
}
lim P{Y y, x X x } 0 P{ x X x }
X已知下Y
的
2
1 ,
1 x2
1 x2 y
1 x2
条件密度 0,
y 取其它值
前面，我们已经知道，二维正态分布的 两个边缘密度仍是正态分布.
可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下， Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件 分布都仍是正态分布.
留作练习（或自学本节课件最后一例）.
注意：运用条件概率密度，我们可以在已知 某一随机变量值的条件下，定义与另一随机 变量有关的事件的条件概率.
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某 些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是所谓的条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和
身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布.
身高Y
体重X
的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下 去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学 生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑 出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.
4
x
3
0,
y 4x2 ,
x y 3x, 其他.
对于任意的0<y<3，fY ( y) 0 ，因此 f X |Y (x | y) 存在.
由条件概率密度定义可知：当0<y<1时，
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
9x
4
y
2
0,
,
y x y, 3 其他.
当1≤y<3时，
因此需先求 f X|Y ( x | y)
由于
fY ( y)
f (x, y)dx
ex yey
0
dx, 0 y y
0, y 0
e y , 0 y
所以当y>0时, 0, y 0
f X|Y ( x | y)
故当y>0时,P(X>1|Y=y)
f (x, y) fY(ey)x y
fY | X
(
y
|
x)
1 1
x
,
0,
x y 1 其它
已知边缘密度、
所以,当0<x<y<1时
条件密度，求
f ( x, y) fX ( x) fY|X ( y | x) 1 联合密度 1 x
当x,y取其它值时,
f (x, y) 0
即
f
(x,
y)
1
1
x
,
0 x y 1
0, 其它
于是，Y的概率密度为
fX (x)
定义 设(X,Y)的概率密度为f(x,y) ，如果f(x,y)在
(x,y)处连续， X的概率密度 fX (x) 在x处连续，而
且 fX (x) 0 ，则称
f (x, y) fX (x)
为在X=x的条件下，Y的
条件概率密度，记为 fY|X ( y | x)，其中-∞<y<+∞；称
为在f Y(x=, yy)的条件下，X的条件概率密度，记 为 fY ( y) f X，|Y (x其| 中y) －∞<x<+∞.
以
f (x, y) f X|Y ( x | y) fY ( y)
为例
将上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dx dy)/dy
即得
fX|Y ( x | y)dx
f ( x, y)dxdy fY ( y)dy
P{x X x dx, y Y y dy} P{y Y y dy}
P{x X x dx | y Y y dy}
在与条y的件含概义率不密同度：xf是X|Y条(x件| y概) 率ff密(Yx(,度yy))中的的表自示变式量中，，而x
y是给定的参数，因此， f X |Y (x | y) 是一个概率密 度族. fY|X ( y | x) 中y 是条件概率密度中的自变 量，x是给定的参数。
*对条件概率密度含义的进一步理解：
4
y3,
y
9
0 y 1,
3
fY ( y)
f
(x,
y)d
x
1 y
xy d
x
y 2
(1
y2 ), 9
1 y 3,
3
0,
其他,
对于任意的0<x≤1， fX (x) 0，因此 fY|X ( y | x)存在.
由条件概率密度定义可知：当0<x≤1时，
fY|X ( y | x)
xy
f (x, y) fX (x)
10 27
16
1
但对于
2
P{Y
1|
n=2,3, …; m=1,2, …, n-1
为求条件分布，先求边缘分布.
X的边缘概率函数是：
P{X m} P(X m,Y n)
n m 1
p2 (1 p)n2 p2 (1 p)n2
n m 1
n m 1
p2
(1 p)m12 1 (1 p)
p(1
p)m1
m=1,2, …
Y的边缘概率函数是：
注意到对于任意实数x,y，
P{X 及x} 0
,
因此P{不Y 能 y简} 单0地按条件概率的定义公式直接引入条
件分布函数.但我们可以用极限的方法来处理该问
题.
设(X,Y)的概率密度为f(x, y)，若对给定实数x，当
0充分小时，恒有 P{x X x } 0,
则对于任意实数y，有 P{Y y | x X x } P{Y y, x X x }
y x
( f (u,v)d u)d v
lim 0
x x
fX (u)d u
x y
f (x,v)dv
y
f (x,v) dv
fX ( x)
f X ( x)
y
因此，由连续型随机变量的定义可知：
在X=x的条件下，Y仍然是一个连续型随机变量 ， 且其概率密度为 f (x, y) .
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P(X A | Y y) f X|Y (x | y)dx
A
例3 设(X,Y)的概率密度是
f
( x,
y)
e
x
ye y y
,
0 ,
0 x , 0 y 其它
求 P(X>1|Y=y)
解:
P(X>1|Y=y) 1
f X|Y ( x | y)dx
(2)求P{Y 2 | X 1},
3
2 P{Y 1| X 1}, P{| X | 3 | Y 3}
y 3x
2
42
1
yx
解 (1) 由边缘概率密度的定义可知 O 1 x (积分区域见图1)：
图1
fX
(x)
f
(x,
y)d
y
3x x
xy d
y
4x3,
0 x 1,
0,
其他,
y
xy
d
x
fX|Y ( x | y)dx
P{x X x dx | y Y y dy}
换句话说，对很小的dx和 dy，fX|Y ( x | y)dx
表示已知 Y取值于y和y+dy之间的条件下， X取值于x和x+dx之间的条件概率.
例2 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率
密度为
f
(
x,
y)