第18章 勾股定理复习
勾股定理复习(1)
如图折叠， 例1：矩形 ：矩形ABCD如图折叠，使点 如图折叠 D落在 边上的点 处，已知 落在BC边上的点 落在 边上的点F处 AB=8，BC=10，求折痕 的长。 的长。 ， ，求折痕AE的长
5 5
A D E B F C
例2：三角形 ：三角形ABC是等腰三角形 是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向 ， ， 向 方向 对折，再将CD折叠到 边上，折痕CE， 折叠到CA边上 对折，再将 折叠到 边上，折痕 ， 求三角形ACE的面积 AB=3cm, BC=5cm, 、已知：在四边形 中
CD=
2 3
cm, AD=2cm, AC⊥AB。 ⊥ 。
求：S四边形ABCD 四边形ABCD
D A
6+2 3
B
C
13．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只 ．在一棵树的 米高处有两只猴子 米高处有两只猴子， 猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 米处的池塘的A处 猴子爬下树走到离树 米处的池塘的 处。 另一只爬到树顶D后直接跃到 后直接跃到A处 另一只爬到树顶 后直接跃到 处，距离以直 线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 则这棵树高_________________________米。 则这棵树高 米 15
13
4.以直角三角形的两直角边所作正方形的面 以直角三角形的两直角边所作正方形的面 积分别是25和 积分别是 和144，则斜边长是（13） ，则斜边长是（
5、分别以直角三角形三边为半径作半圆则 分别以直角三角形三边为半径作半圆则 这三个半圆的面积A,B,C之间的关系（ ） 之间的关系（ 这三个半圆的面积 之间的关系 A=B+C 6.如图，两个正方形的面积 如图， 如图 分别为64，49，则AC=(17 分别为 ， ， ) 7.由四根木棒，长度分别为 由四根木棒， 由四根木棒 3，4，5，6 若去其中三根 ， ， ， 木棒组呈三角形， 木棒组呈三角形，有(4 ) 中取法，其中，能构成直角 中取法，其中， 三角形的是（ 三角形的是（ 1 ）
初中数学勾股定理复习
勾股定理复习1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一、勾股定理：___________________________________在Rt△ABC中，∠C=90°，则有________________【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c= ；若b=8，c=17，则a=_______；【变式1-1】如图1，等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______.【变式1-2】如图2：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米.【变式1-3】一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为.【变式1-4】一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边平方为.二、勾股定理逆定理_____________________________________ 【例2】下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.【变式2-1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B.锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.【变式2-2】在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 .三、最短距离问题：主要运用的依据是______________________________【例3】如右图，有一长70cm ，宽50cm ，高50cm 的长方体盒子，A 点处有一只蚂蚁，想吃到B 点处的食物，它爬行的最近距离是 厘米..【变式3-1】如图,一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.四、本章注意事项勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：1、要注意正确使用勾股定理例1 在Rt △ABC 中，∠B =Rt ∠，a=1，b =，求c ．2、要注意定理存在的条件例2 在边长为整数的△ABC 中，AB >AC ，如果AC=4，BC =3，求AB 的长． 3、要注意原定理与逆定理的区别π例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =•，求证：△ABC 为直角三角形．4、要注意防止漏解例4 在Rt △ABC 中，a =3，b =4，求c ． 5、要注意正逆合用在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合．当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言． 例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB =13，AD =12，AC =15，BD =5，那么DC =_________．6、要注意创造条件应用例6 如图3，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、D F 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222EF AE BF =+一.选择题1. 在△中，若，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则△ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C ．三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）ABC 1,2,122+==-=n c n b naA ．2900mB ．1200mC ． 1300mD ． 1700m5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．D ．6．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，CD △AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC )2等于( )A.25B.325C.2197D.4057. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，△BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）111a b h +=222111a b h +=a b c 、、()()2222221,4,1a m b m c m =-==+()()222221,4,1a m b m c m =-==+()()222221,2,1a m b m c m =-==+()()2222221,2,1a m b m c m =-==+A ． 90B ．100 C ．110 D ．121二.填空题9. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE =1cm ，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP +EP 的最小值是 cm ．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP =BC ．如果用一根细线从点A 开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P ，那么所用细线最短需要 cm ．1414．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm ，40cm ，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）．15. 已知长方形OABC ，点A 、C 的坐标分别为OA =10，OC =4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．16. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，△BAD ＝________.三.解答题17.如图所示，已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、AB 、AC 边上的点，且AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ，AB ＝4，AC ＝3，，求：△ABC 的面积．18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线P A 与腰垂直．32BD CD。
《勾股定理》复习课件ppt
答案5
根据勾股定理和相似三角形的性质，BD² = AB² - AD² = AC² + BC² - (AC + CD)² = 4² + 6² - (4 + 2)² = 20。 所以 BD = √20 = 2√5。
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勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
利用相似三角形的性质和比例关系， 通过一系列的逻辑推理证明勾股定理 。
毕达哥拉斯证明法
利用正方形的性质和勾股定理的关系 ，通过构造两个正方形证明勾股定理 。
勾股定理的应用场景
实际问题求解
要点一
勾股定理在三维空间的应用
要点二
勾股定理在三维空间的应用示例
勾股定理不仅适用于平面图形，还可以应用于三维空间中 的几何体。
在解决三维几何问题时，可以使用勾股定理来计算空间几 何体的边长或体积。
04
勾股定理的解题技
巧和策略
利用勾股定理求边长
总结词
勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具 ，通过已知两边长，可以求出第三边长。
详细描述
勾股定理公式为$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$为斜边长，$a$和$b$为直角边长。已知 $a$、$b$和$angle C = 90^circ$，可以通
过勾股定理求出第三边长$c$。
利用勾股定理证明三角形为直角三角形
总结词
勾股定理也可以用来证明一个三角形是否为直角三角形。
详细描述
勾股定理复习课件理的回顾 • 勾股定理的常见题型解析 • 勾股定理的变式和推广 • 勾股定理的解题技巧和策略 • 勾股定理的练习题和答案解析
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积 关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 （3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
八(下)第18章勾股定理复习课
5 C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10 B 5 C
如图, 一圆柱高8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径2cm, 一只蚂蚁从点A 底面半径 一只蚂蚁从点 到点B处吃食,要爬行的最短路程( 到点B处吃食,要爬行的最短路程( π 取3）是( B ) 20cm 10cm 14cm A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
4）如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别 如图是一个三级台阶， 20dm、3dm、 是这个台阶两个相对的端点， 为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， ， 和 是这个台阶两个相对的端点 A点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 点有一只蚂蚁， 点去吃可口的食物， 点有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 着台阶面爬到B点最短路程是多少 点最短路程是多少？ 着台阶面爬到 点最短路程是多少？
Ａ
A
２０
Ｃ 3 ２ 3 2
20
2 3
B
3 2 Ｂ
如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高 ， ， 离点C 为 20 cm， 点 B离点 5 ， 离点 cm,一只蚂蚁如果要沿着 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A爬 爬 到点B， 到点 ，需要爬行的最短 距离是多少？ 距离是多少？
1、如图，四边形ABCD中，AB＝3， 、如图，四边形 中 ＝ ， BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 ° 边形ABCD的面积 边形 的面积
八年级(下)第18章勾股定理复习教案
（例四）（例五）
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的
B
A
1、
B
A
2，但它们都不
是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC
：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为
分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为
可知，两直角边分别为________
可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所__________________________________．（分析：可以）
展开到同一平面内，由：“两点之间，
”再根据“勾股定理”求出最短路线。
＝S为（
与点D重合，C落在C'处，Rt
C。
第十八章勾股定理复习课课件
1、已知：在△ABC中， AC＝10cm ，
BC＝24cm，AB＝26cm
求证：△ABC是直角三角形。
26 A 24 C B
10
3、若三角形的三边分别是： a2+b2,
提 示：
2ab,
a2-b2 ( a > b > 0 ),
判断这个三角形的形状。 把 a2+b2, 2ab, a2-b2 看成一个整体，
是否满足勾股定理的逆定理，
从而判断三角形的形状。
1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm, c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ A ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
c=10 a2+b2=102=100
a+b=14
(a+b)2=142=196 2ab=(a+b)2-(a2+b2) =196-100 =96
西北 东北 东 西
E
A
60° 30°
西南
南
东南
B
12
D
C
AB=15，AD=12，AC=13， 求：△ABC的周长和面积。
A 15 B 9 12 13 C
D 5
5、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长. 3
提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性质和勾股定理。
C D 1 2 B
A
8.如图所示：某机械零件的平面图, 求：两孔中心A, B之间的距离.
在边CD上取一点E，将△ADE折叠使
点D恰好落在BC边上的点F，
求：CE 的长.
解：由折叠得AFE ADE
初中数学《勾股定理》复习教案
勾股定理复习（一）教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.教学过程一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示（n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三、随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 8 图1 A100644.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四、课后练习1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿。
勾股定理的复习学案（第8、9课时）
八年级数学第18章勾股定理复习题易错题
八年级下册第十八章《勾股定理》水平测试（1）一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是三角形，它的最大边是．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝．3．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是cm2．5．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60c m，CA＝80c m，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要分钟的时间．6．已知x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为和．（注：两直角边长均为整数）二、相信你的选择（每小题3分，共24分）1．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（）A．12m B．13m C．14m D．15m3．直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍5．下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（）A．3 B．4 C．12 D．138．如果正方形ABCD的面积为29，则对角线AC的长度为（）A．23B．49C．23D．29三、挑战你的技能（共60分）1．（10分）如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2．（10分）如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，则这条小路的面积是多少?3．（10分）如图6，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，CD＝1c m，求AB的长．4．（10分）小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5．（10分）如图7，在△ABC中，AB＝AC＝25，点D在BC上，AD＝24，BD＝7，试问AD平分∠BAC吗？为什么？6．（10分）如图8所示，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，且AB ⊥BC ． 求证：AC ⊥CD ．四、拓广探索（本题12分） 观察下列各式，你有什么发现？32＝4＋5，52＝12＋13，72＝24＋25，92＝40＋41，…… 这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？ （1）填空：132＝ + ； （2）请写出你发现的规律；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．参考答案：一、1．直角，a 2．25 3．108 4．17 5．12 6．207．0.7 8．4，6二、1~4．CBDA 5~8．BBCA 三、1．（1）5x =；（2）24x = 2．2240m 33cm4．略5．所以AD 平分BAC ∠，理由略 6．证明略 四、（1）84，85．（2）任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数． （3）略．八年级下册第十八《勾股定理》水平测试一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则三角形是三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最长边为c），则此三角形的三边的关系是．2．已知等腰直角三角形的斜边长为2，则直角边长为，若直角边长为2，则斜边长为．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，①若AB＝41，AC＝9，则BC＝；②若AC＝1.5，BC＝2，则AB＝．4．已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．5．如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．6．如图2，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝．7．等腰直角三角形有一边长为8c m，则底边上的高是，面积是．8．如图3，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是．二、相信你的选择（每小题3分，共24分）1．如图4，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定3．一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm4．如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．19 D．215．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为（）A．20 B．16 C．12 D．86．在△ABC中，若AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF8．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2三、挑战你的技能（共58分）1．（11分）一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60c m，求它的面积．2．（11分）在数轴上作出表示29的点．3．（12分）如图8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？4．（12分）如图9，一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点?5．（12分）如图10（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索（本题14分）已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ． （1）填表：三边a 、b 、c a ＋b －c S l3、4、5 2 5、12、13 4 8、15、176（2）如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：l= (用含有m 的代数式表示)． （3）证明（2）中的结论．参考答案：一、1．直角，222a b c += 2．1，2 3．40，2.54．613479 5．146．127．4或42，16或328．10二、1~4．DBDC 5~8．CCBA 三、1．2120cm2．图略3．不正确，可添加DB BC ⊥或5cm DB = 4．小方先到达终点54条 四、解：（1）从上往下依次填12，1，32； （2）4S ml =； （3）证明略．点击《勾股定理》之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一. 清新扮靓的规律探究题例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ， 再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”． 即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一 般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S ==，222S == 2324S ==248S ==ABC DEF GHIJ照此规律可知：25416S ==，观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -= 因此，817822128S -===二. 考查阅读理解能力的材料分析题例2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为的三边，且满足，试判断的形状． 解：2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a bC ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： （3）本题正确的结论为： .【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式2222222()()()c a b a b a b -=+-没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子22a b -．若220a b -=，则有()()0a b a b +-=，从而得a b =，这时，ABC V 为等腰三角形．因此：（1） 选C ．（2） 没有考虑220a b -=(3) ABC ∆是直角三角形或等腰三角形三. 渗透新课程理念的图形拼接题例3（长春）如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示． 要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画 出正确的图形）示例图 备用图【解析】：要在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．四. 极具“热点”的动态探究题例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为ο60． ⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行. 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米?【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴AOB Rt ∆中,∠O=90o,∠α=ο60 ∴,∠OAB=ο30，又ＡＢ＝4米， ∴122OB AB ==米. 由勾股定理得：22OA AB OB =-22421223=-=（米）. ⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ∆中,32,23,4OC x OD x CD =-=+=根据勾股定理:222OC OD CD += ∴()()222232234xx ++= -∴(21312830x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x∴831213x =所以， AC=2x=32413即梯子顶端A 沿NO 下滑了32413米.勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．（1）记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，4a 的值． （2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式． 分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1． 由勾股定理，得AC 222AB BC +同理，AE =2，EH = 22．即 a 2=2a 3=2，a 4= 22(2) ∵011(2)a ==， 122(2)a ==， 232(2)a ==， 3422(2)a ==， ∴1(2)n n a -= ()1,n n ≥是自然数．点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．图（２）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为（a +b ），所以梯形的面积为211()()()22a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222ab ab c ++． ∴221111()2222a b ab ab c +=++． ∴222a b c +=． （3）所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。
人教版初二数学下册：勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解
勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长． 【答案与解析】 解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268x =+． 所以2268366410010x =++==． 当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=． 所以228664362827x =--== 所以这个三角形的第三边为10或7【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长． 【答案】 解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=． ∴ 819BD ==．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 255CD ==．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32． ②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42． 综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点． 求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ． 【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ． ∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°， ∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=， ∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证． 举一反三：【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【答案与解析】解：△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3， ∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2， ∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE 2+EF 2=BF 2. 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．【答案】解：连接AD ．∵ DF 是线段AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝62，∴ ∠BAD ＝∠B ＝22.5° 又∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ， ∴ ∠DAE ＝45°，∴ AE ＝DE 由勾股定理得：222AE DE AD +=，∴ 222(62)AE =，∴ 6262AE ==． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．【答案与解析】解：设Rt △ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a b c 、、，则222a b c +=． (1) 123S S S =+；(2) 123S S S =+．证明如下：显然，2134S c =，2234S a =，2334S b =， 所以22223133()44S S a b c S +=+==． 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等． 5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状. 【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况． 【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度． 在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=． 在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ． 【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解． 举一反三： 【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中， ∵BC=20尺，AC=5×3=15尺， ∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．附录资料：菱形（基础）=【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ）， ∴DF=BE ．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质． 举一反三： 【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1.类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。
勾股定理复习与提升
01
利用相似三角形的性质、四边形面积公式、向量等不同方法证
明勾股定理。
勾股定理的变形
02
在解决实际问题时，可以根据需要将勾股定理进行变形，如$(c-
a)^2 + b^2 = c^2$等。
勾股定理的应用范围
03
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到任意三角形和
多边形中。
勾股定理的易错点与注意事项
勾股定理在物理学中的应用
力学分析
光学分析
在力学分析中，勾股定理可以用来确定物 体的运动轨迹、速度和加速度等参数，以 确保物体的运动状态和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为的正确性。
在光学分析中，勾股定理可以用来确定光 的传播路径、折射率和反射率等参数，以 确保光的传播特性和行为的正确性。
电磁学
在电磁学中，勾股定理可以用来确定电磁 波的传播方向、幅度和相位等参数，以确 保电磁波的传播特性和行为的正确性。
02 勾股定理的拓展
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三边满足勾股定理的关系，那么这个三 角形是直角三角形。具体来说，如果$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角 三角形的两条直角边，$c$是斜边，那么这个三角形是直角三角形。
证明方法：假设三角形ABC是直角三角形，且角C是直角。那么根据勾股定理，我们 有$a^2 + b^2 = c^2$。如果$a^2 + b^2 neq c^2$，则说明角C不是直角，与 假设矛盾。
勾股定理在几何图形中的应用
在几何图形中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解直角三角形的角度或边长；在 等腰三角形中，可以利用勾股定理来证明底边的垂直平分线就是高线；在矩形中，可以利用勾股定理来证明矩形的对角线相 等。
章复习 第18章 勾股定理
章复习 第18章 勾股定理一、勾股定理1、勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么____________．勾股定理是针对于直角三角形来说的，其他三角形的三边不具有这种关系． 2、勾股定理的证明证明勾股定理的方法很多，下面介绍两种常用的方法．①如图，将四个全等的直角三角形(边长为a 、b 、c )和一个小正方形[边长为（a -b ）]拼成一个大正方形（边长为c ），则S 正方形ABCD =c 2.而正方形ABCD 的面积等于正方形EFGH 的面积与四个直角三角形的面积之和．即ab b a c 214)(22⨯+-=，∴222c b a =+．②如图，将三个直角三角形拼成直角梯形，则三个三角形面积之和=梯形的面积，即：221212c ab ⋅+⋅=))((21b a b a ++，∴222c b a =+．3、勾股定理的作用①已知直角三角形的两边，求第三边．②已知直角三角形的一边，求另两边的关系． ③用于证明平方关系的问题．④利用勾股定理，作出长为n 的线段。
二、勾股定理的逆定理1、定义：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足____________，那么这个三角形是直角三角形． 注：勾股定理的逆定理是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形．2、直角三角形的判定设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，①首先确定最大边（如c ）；②验证c 2与22b a +是否具有相等关系．若222b a c +=，则△ABC______直角三角形，若222b a c +=/，则△ABC______直角三角形。
（填写“是”或“不是”）*附：当△ABC 不是直角三角形时，有两种情况：当222b a c +>时，三角形为钝角三角形；当222b a c +<时，三角形为锐角三角形． 3、勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个______数，称为勾股数．⑴常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④以上勾股数的倍数 ⑵常见的表示勾股数的代数式：①m 2，21m -，12+m （其中m 表示大于1的整数）； ②22n m -，mn 2，22m n +（m 、n 为正整数且m ≠n ）． 4、命题、定理⑴判断一件事情的语句叫做命题，命题可以变成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是______，“那么”后接的部分是______．⑵题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的______．⑶经过证明被确认正确的命题叫做______，若一个定理的逆命题也是正确的，则它也是一个定理，称这两个定理互为______．检测试题一、选择（30分）1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12；③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521．其中能构成直角三角形的有（ ）组A.2B.3C.4D.52．已知△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则它的三条边之比为（ ）A.1∶1∶2B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.1∶4∶13．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）A.25B.3C. 3+2 D.2334．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）A.12米B.13米C.14米D.15米5．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6．如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A.L 1B.L 2C.L 3D.L 47．如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定8．在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，10AB C图2 B CED 图3 图1 ABD9．如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A.1B.2 C.3D.2*10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）A.182B.183C.184D.185二、填空（24分）11．根据下图中的数据，正方形A 的边长=_____，正方形B 的面积=_____，x =_____．12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．13．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．14．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米． 15．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________． 16．在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm ． 17．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．18．甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距 海里．三、解答题（66分）19．古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．20．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米；小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面图 5图4图6 A B C时，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21．如图7，一个牧童在小河的正南4 km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8 km 北7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？*22．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）23．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S ，则第一步：6S＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长” ．⑴当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； *⑵你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．24．学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A 处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A 处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为小河图7图8 图9 北39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．⑴你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限）⑵通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法．参考答案：一、1，B；2，B；3，D；4，A；5，C.点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B.点拨：在Rt△ACD中，AC＝2AD，设AD＝x，由AD2+CD2＝AC2，即x2+52＝(2x)2，x＝，所以2x＝5.7736；7，A；8，D.点拨：设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为12x，所以13x+5x+12x＝60，x＝2，即三角形分别为10、24、26；9，D.点拨：AE＝＝＝2；10，A.二、11，15、144、40；12，1360；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76 ；18，30.三、19，设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，有(3m)2+(4m)2＝(5m)2，所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.20，15m.21，如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B＝17km.22，（1）设直角三角形的两条边分别为a、b（a＞b），则依题意有22513a ba b+=⎧⎨+=⎩由此得ab＝6，(a－b)2＝(a+b)2－4ab＝1，所以a－b＝1，故小正方形的面积为1.（2）如图：23，（1）当S＝150时，k150==5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边.其面积S＝12(3k)·(4k)＝6k2，所以k2＝6S，k，即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.24，（1）利用勾股定理求出半径为1950米；（2）小明所走的路程为39×30＝3×13×30，A′小华所走的路程为52×30＝4×13×30，根据前面的探索，可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为5×13×30=1950（米）.。
勾股定理复习
勾 股 定 理一、考点点津1、勾股定理（1） 定理：直角三角形两条直角边b a 、 的平方和等于斜边c 的平方：222c b a =+（2）逆定理：假如三角形的三边长有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．2、直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形．（2）性质：①直角三角形的两个锐角互余．②直角三角形中，假如一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、例题解析例1： 如图, 四边形ABCD 中, ∠A ＝60°, ∠B ＝∠D ＝90°, AB ＝10, CD ＝6, 求S A BCD .例2： △ABC 中, ∠BAC ＝90°, ∠C ＝30°, AD 平分∠BAC 交BC 于D, AB ＝AB ＝3＋1求CD 的长.例3：一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m ，假如梯子的 顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动多少米？例4：如图，等腰ABC 底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.例5： △ACD 中, AD ＝4, CD ＝3,(1) 如图1,若∠ADC ＝30°, 以AC 为边向外作等边△ACB, 求DB 的长;(2) 如图2,若∠ADC ＝45°, 以AC 为边向外作等腰Rt △ACB, 其中∠CAB ＝90°, 求BD 的长.三、课后精炼1、如图，△ABC 中, AC ＝15, AB ＝14, BC ＝13, CD 是高, 求 CD 的长及S △ABC..2、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ， （1）重叠局部△DEF 的面积是多少cm2?（2）求EF 的长。
18.勾股定理复习课
A B
D
C
变式探究三
已知：如图，三个村庄A、B、C的距离分别是 AB=13m，AC = 12m，BC = 5m，要从C 修一条公 路CD直达AB，已知公路的造价为每米26000元、求 修这条路的最低造价是多少？
C
B
D
A
变式探究四
一段楼梯高BC是2米，斜边AB为4米，在楼 梯上铺红地毯，至少需要多少米？（结果 可以用无理数表示）
8-X
8 10 8-X
E
X
B
6
F
4
C
学生活动（五）
如图所示，这是一块大家常用的一种橡皮， 如果AD＝4厘米，CD＝3厘米，BC＝12厘米， 你能算出AB两点之间的距离吗？
A
D B
C
B
C 12
B
3
D 4 A D
12 C 4
3 A
C
A
学生活动六
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、 3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
B
C
A
变式探究五
如图：正方形ABCD中，边长为8，M为对角 线AC上任一点，N在CD上，且DN=2，求 DM+MN的最小值？
A
M
D
N
B
C
变式探究六
P是正方形ABCD内一点，将⊿ABC绕B顺时 针旋转900到⊿BCE 的位置，若BP=3,求PE 的长。 A D
P C E
B
变式探究七
请在下面正方形方格上作格点直角三角形，使三角 形的任意两个顶点不在同一条实线上，且顶点必须在格 点上。 C A B
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三cb aHG F EDCB A ba cbac cabcab a bc cbaED CBA角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形：ABC30°D CBA ADB CCB DA类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少？ 类型二：勾股定理的构造应用1. 若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。
勾股定理复习
好相齐,则河水的深度为( A)
1、在△ABC中，AC=6，BC=8，则AB的长为（ ） （A）10 （B）2 （C）4 （D）无法确定
2、已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边
长为
。
3、以线段a=0.6，b=1，C=0.8为边组成的三角形是不 是直角三角形？
比一比,看谁快!
1、在Rt△ABC中，∠C=900
①若a=6，b=8， 则c=_1_0_;
33
B
D
C
6
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。
A
17 15 17
88
B
D
C
16
2 、 如 图 6 ， 在 △ ABC 中 ， AD⊥BC ， AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的 周长和面积。
A
15
13
12
B 9 D5 C
考点4
勾BC，为了
安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB
为6米，问至少需要多长的梯子？
解：根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
=36+64
=100 即：AC=10（-10不合，舍去） 答：梯子至少长10米。
C
8m
A
6m
B
1、 印度有一数学家婆什迦罗曾提出过“荷花问题”
x米 (X+1)米
C 5米
B
例题：一个长5m的梯子AB，斜靠在墙上，这时
梯子顶端离地面4m，如果梯子的顶端下滑2m，
那么梯子的底端也外移2m吗？
解：在Rt△AOB中，由勾股定理， A
得：OB AB2 A02
勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解
勾股定理全章复习与巩固（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268x =+．所以10x ===．当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=．所以x ===．所以这个三角形的第三边为10或【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD ==．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD ==．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++ 222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+- ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2，∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE 2+EF 2=BF 2.【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．【答案】解：连接AD ．∵ DF 是线段AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝ ∠BAD ＝∠B ＝22.5°又∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝45°，∴ AE ＝DE由勾股定理得：222AE DE AD +=，∴ 222AE =，∴ 6AE ==．4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．【答案与解析】解：设Rt △ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a b c 、、，则222a b c +=．(1) 123S S S =+；(2) 123S S S =+．证明如下：显然，21S =，22S =，23S =，所以222231)S S a b S +=+==． 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，，∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。
18章__勾股定理总复习
2、等腰三角形两底角相等
有两个相等角的三角形是等腰三角形 的逆命题： 。
勾 股 数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
1、在直角三角形ABC中,∠C=90°，
（１）已知ａ：ｂ＝３；４，ｃ＝２５， 求ａ和ｂ
（２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３，求
ｂ和ｃ
（３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８， 求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三 边的长度．６或 164
３、已知等边三角形的边长为２厘米， 则它的高为 ，面积为 ．
４、判断以线段ａ、ｂ、ｃ为 边的△ＡＢＣ是不是直角△
（１）a= 7 ,b= 3 ,c=2
(2)a=9
b=8 C=6
５．请完成以下未完成的勾股数： 24 17 （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． ６．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是 2.4 _______． ７长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直 角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
D
A
C
B
小明想要检测雕塑底座正 面的 AD 边和BC边是否分别 垂直于底边AB,但他随身只带 了卷尺.
(1) 你能帮助小明解决这个问题 吗?
D
A
C
B
小明想要检测雕塑底 座正面的 AD 边和BC边是 否分别垂直于底边AB,但他 随身只带了卷尺. (2) 小明量得AD长是30 厘米,AB长是40厘米, BD 长是50厘米，AD边垂直 于AB边吗?为什么？
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a
b c B
C
A
课 题：第18章 勾股定理复习
【学习目标】
1.回顾勾股定理及勾股定理的逆定理的内容，并能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题；
2.理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题；
3.在运用勾股定理及逆定理解决数学问题中，体会数形结合、转化思想的作用。
【学习重点】
勾股定理及逆定理的应用。
【学习难点】
勾股定理及逆定理的应用。
【学习过程】
自主预习案
（一）问题导学：
1、本章知识结构图：
互逆定理
2、知识要点：
（1）勾股定理：直角三角形的两条 的平方和等于 的平方。
设直角边为，，b a 斜边为，c 则用代数式可以表示为 。
温馨提示：在直角三角形中，当我们知道其中两条边的长度时就可以运用勾股定理
求出第三边。
特别的，对于特殊的直角三角形（包含45度角或30度角），只需知道其中一边长即可。
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b ，，a 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
温馨提示：熟记一些常见的勾股数对于灵活运用勾股定理的逆定理非常有帮助，如：
3、4、5，5、12、13，8、15、17，7、24、25及相应的6、8、10，9、12、15等。
（3）题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理（如勾股定理与勾股定理的逆定理）。
（二）课前探究：
1、在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c 的长为 。
2、已知直角三角形的两边长为
3、4，则另一条边长是 。
3、直角三角形的两条直角边分别是5cm ，12cm ，其斜边上的高是__________。
4、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5，（2）
5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 （填序号）。
5、写出“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”的逆命题： 。
6、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
实际问题 （判定直角三角形） 实际问题
（直角三角形边长计算）
勾股定理 勾股定理的逆定理
C B A
D E
F 三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）
A. 13 B ．26 C ．47 D ．94
7、已知直角三角形一个锐角30°，斜边长为10，那么此直角三角形的周长是（ ）
A ．20 B.203 C.153 D ．1553 课中探究案
（一）课中探究：
探究一：
1、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•
探究二：
2、矩形纸片ABCD 中，AB=8，把矩形纸片沿AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交CD 于点F ，若AF=4
25
，求AD 的长。
探究三：
3、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
我的疑问：
A
D E
B
C
A B
C
E
D
F
C
A B
S 1
S 2 A
B
C E
F
H
第12题图
（二）课中检测：
1、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
2、如图，已知在Rt ABC △中，Rt
ACB ∠=∠︒90，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
3、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．
用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所 用细线最短需要 cm ． 课后巩固案
（一）必做题：
1、下列各命题的逆命题．．．
成立的是（ ） A ．全等三角形的对应角相等 B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C ．两直线平行，同位角相等 D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 2、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ） A ．3 cm 2
B ．2 cm 2
C ．3 cm 2
D ．4cm 2
3、已知△ABC 中，∠A= 21∠B= 3
1
∠C ，则它的三条边之比为（ ）．
A ．1：1：2
B ．1：3 ：2
C ．1：2 ：2
D ．1：4：1
4、已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
5、一座桥横跨一江，桥长12m ，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶 m ．
6、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
7、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，已知CE=3，AB=8，求阴影部分面积。
（二）选做题：
我的疑问：
C B A
D E
A B C
D E F B
A
6cm
3cm
1cm
1、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、
2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S
3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．
l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
2、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．
（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）
【学生评价】
预习评价·探究评价·拓展评价
完成比例评价 正确率评价 主动性评价 创新性评价 100% 80% 60% 优秀
良好 一般 活跃
主动 一般 创新
新颖 一般
错题序号
正确解法
错因分析
小组评价
老师评价
反思拓展：
A
D Ｂ
北
C
东
4560°。