09年高考模拟试题福建省泉州五中2009届高三考前模拟(理)1460

09年高考模拟试题福建省泉州五中2009届高三考前模
拟（理） 测试题 2019.9
1,双曲线122
2
2=-b y a x 的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2、P 是双曲线
右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2的直径的两圆的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．内含
2,已知等差数列}{n a 和正项等比数列9
,1},{75311=++==a a a b a b n ，a 7是b 3和
b 7的等比中项.
（1）求数列}{},{n n b a 的通项公式；
（2）若2
2n
n n b a c ⋅=，求数列{n c }的前n 项和T n .
3,三棱锥P-ABC 中，△PAC 是边长为4的等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、PB 的中点. （1）求证：AC ⊥PD ；
（2）求二面角E-AC-B 的正切值；
（3）求三棱锥P-CDE 与三棱锥P-ABC 的体积之比.
4,某工厂生产一种精密仪器，产品是否合格需先后经两道相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，经长期监测
发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为98
，第二道工序检查合格的概率为109
.已知该厂每月生为3台这种仪器.
（1）求每生产一台合格仪器的概率； （2）用ξ表示每月生产合格仪器的台数，求ξ的分布列和数学期望； （3）若生产一台仪器合格可盈利10万元，不合格要亏损3万元，求该厂每月的期望盈利额.
5,已知圆)0,4(,4:2
2D y x C 点=+，坐标原点为O.圆C 上任意一点A 在x 轴上的
射影为点B ，已知向量)0,()1(≠∈-+=t R t t t .
（1）求动点Q 的轨迹E 的方程；
（2）当
23
=
t 时，设动点Q 关于x 轴的对称点为点P ，直线PD 交轨迹E
于点F （异于P 点），证明：直线QF 与x 轴交于定点，并求定点坐标.
6,已知函数
01)
1ln()(=++-
=x x x ax x f 在处取得极值.
（1）求实数a 的值，并判断),0[)(+∞在x f 上的单调性； （2）若数列}{n a 满足10:),(,1111≤<<==++n n n n a a a f a a 求证； （3）在（2）的条件下，记
++++⋅++=
)
1)(1(1212
111a a a a a a S n ,
)
1()1)(1(2121n n
a a a a a a +++⋅⋅⋅
求证：.
1<n S
7,（1）．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵 ,A 的一个特征值，其对应的特征向量是.
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）若向量，计算的值.
（2）．选修4－4：坐标系与参数方程
11
A ⎡=⎢
-⎣a b ⎤⎥⎦
2λ=121
α⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦A 74β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦5
A β
已知椭圆C 的极坐标方程为
，点F 1，F 2为其左、右焦点，
直线l 的参数方程为（t 为参数，）．求点F 1，F 2到直线的
距离之和．
（3）．选修4－5：不等式选讲 已知x ，y ，z 均为正数．求证：．
8,抛物线0122=+y x 的准线方程是 .
9, 若
==≥∈+++++=+n b a n N n cx bx ax x x x n n n 则且,2:3:)3*,(4)4(23 .
10,在△ABC 中，D 为边BC 上的中点，AB=2，AC=1，∠BAD=30°，则
AD= .
测试题答案
1, C
2, 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由题设知,9753=++a a a .3,9355=∴=a a 则,21415=-=
a a d .21
)1(1+=-+=∴n d n a a n .
47=∴a
又
,
167327=⋅=b b b 又,
4,055=∴>b b .0,41
5
4>==
∴q b b q 又
2=∴q ，.2
2
11
1--=⋅=∴n n n q
b b
22
212
3cos 4sin ρθθ
=
+2x y ìïï=+ïïí
ïï=ïïîR t Îl 111y x z yz zx xy x y z
++++≥
（2）
1
22)1(2-⋅+=⋅=n n n n b a c …………………………7分
n
n c c c T +++=∴ 21
12
2)1(23232-⋅+++⋅+⋅+=n n ① n
n n n n T 2)1(22322212⋅++⋅++⋅+⋅=- ②……………………9分
①-②得
n
n n n T 2)1(222212⋅+-++++=--
n n n n n 212)1(2121⋅-=+⋅+---=n
n n T 2⋅=∴…
3, 证明：（1）取AC 中点O ，∵△PAC 为等边三角形，∴PO ⊥AC ，
又∵面PAC ⊥面ABC ，PO ⊂面PAC ， ∴PO ⊥面ABC ，……………………2分 连结OD ，则OD//BC ， ∴DO ⊥AC ，
由三垂线定理知AC ⊥PD.……………………4分 （2）连接OB ，过E 作EF ⊥OB 于F ，
又∵面POB ⊥面ABC ，∴EF ⊥面ABC ，过F 作FG ⊥AC ，连接EG ，由三垂线定理知EG ⊥AC ，
∴∠EGF 即为二面角E-AC-B 的平面角…………6分
在,321//,=∆PO EF POB 中在,
221
//,=∆BC FG OBC 中
∴
.23tan ==
∠FG EF EGF ……………………9分
（3）由题意知,PCE D CDE P V V --=,
中点为PB E ,21
PBC PCE S S ∆∆=
∴
,2121BCD P PBC D PCE D V V V ---==∴又,中点为AB D ,
21
ABC BCD S S ∆∆=∴ ,21ABC P BCD
P V V --=∴ABC P CDE P V V --=∴41即41=--ABC P CDE P V V .…
4, 解：（1）设“生产一台仪器合格”为事件A ，则.
54
10998)(=⨯=
A P …………
2分
（2）每月生产合格仪器的数量ξ可为3，2，1，0，则
;12564)54()3(3
33===C P ξ;
12548)51()54()2(223===C P ξ
;12512)51)(54()1(213===C P ξ;
1251)51()0(3
03===C P ξ
ξ∴ξ的数学期望
.51212510112512125482125643=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE …………9分
（3）该厂每生产一件仪器合格率为51
,5
4不合格率为
， ∴每台期望盈利为
4.751
35410=⨯-⨯
（万元）
∴该厂每月期望盈利额为2.2234.7=±万元………
5, 解：（1）设)0,(),,(),,(000x B y x A y x Q 则OB t OA t OQ ⋅-+⋅=)1( ，
)
0,()1(),(),(000x t y x t y x ⋅-+⋅=∴，
.
,00t y
y x x =
=∴…………………………3分
,42
020=+y x 422
2
=+t y x ，这就是轨迹E 的方程.……………………4分 （2）当23
=
t 时，轨迹为椭圆，方程为.13422=+y x ①…………5分
设直线PD 的方程为),4(-=x k y 代入①，并整理，得 .0126432)3(2222=-+-+k x k x k ②
由题意，必有0>∆，故方程②有两上不等实根. 设点),(),,(),,(112211y x Q y x F y x P -则
由②知，
22212
2214312
64,4332k k x x k k x x +-=+=+………………7分 直线QF 的方程为).(21
21
22x x x x y y y y --+=
- 当0≠k 时，令0=y 得
1
21222)(y y x x y x x +--
=，
将)4(),4(2211-=-=x k y x k y 代入整理得
8
)
(42212121-++-=
x x x x x x x ，
再将
22212
2214312
64,4332k k x x k k x x +-=+=+代入， 计算，得x=1，即直线QF 过定点（1，0） 当k=0时，过点直线QF y y ,021==（1，0）点…
6, 解：（1）
,)1()
1ln(1)(2
x x a x f ++--
='
由题知0)0('=f ，即a-1=0，∴a=1.……………………………2分
则,)1()
1(12)1()1(11)1()('2
222x x n x x x x n x x f ++++=+++-+=
∵x ≥0，∴)1(1x n +≥0，x x 22+≥0，又∵2)1(x +＞0，∴x ≥0时，)('x f ≥
0，
∴)(x f 在[)+∞,0上是增函数.……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,1)1(1)(x x n x x f ++-=∴.1)1(1)(1n n n n n a a n a a f a ++-==+
下面用数学归纳法证明n a ＞0.①当n=1时，1
a =1＞0成立；
②假设当
)(*
N n k n ∈=时，k a ＞0,∵)(x f 在[)+∞,0上是增函数， ∴)(k a f ＞,0)0(=f ∴)(1k n a f a =+＞0成立，综上当*
N n ∈时，n a ＞0.又
.
1)
1(11n
n n n a a n a a ++=-+∵n a ＞0,1+n a ＞1,∴)1(1n a n +＞0,∵1+-n n a a ＞0,∴
1
+n a ＜n a ，
而1a =1,∴n a ≤1，综上，0＜1+n a ≤1.（3）∵0＜1+n a ＜n a ≤1，
∴n a 1＜11+n a ,∴n a 11+
＜11
1++n a ,∴n n a a +1＜111+++n n a a ,
∴n n a a +1＞1
11+++n n a a ＞0,………………………………………11分
∴
)
1()1)(1(2121n n
a a a a a a +⋅⋅⋅++⋅⋯⋅⋅=
)
1(11
a a +·
)
1(22a a +…
n
n a a +1＜
)
1(11a a +·
)
1(11a a +……
)
1(11a a +=
n
a a )1(
11+n
.……………………………12分
∴S n ＝
)
1(11a a ++
)
1)(1(212
1a a a a ++⋅+…+
)
1()1)(1(2121n n
a a a a a a +⋅⋅⋅++⋅⋯⋅⋅
＜
)
1(11a a ++(
)
1(11a a +)2+…+(
)
1(11a a +)n
＝1
1111
111)1(11a a a a a a n +-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-+＜11
11111a a a a +-+=1a =1.∴S n ＜1.
7, 解：（A ）解：（Ⅰ）⎢⎣⎡-=11
A ⎥⎦⎤42（Ⅱ）矩阵A 的特征多项式为11)(-=λλf
06542
2=+-=--λλλ，解得3,221==λλ
当21=λ时，得
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α；当32=λ时，得⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=112α， 由
21ααβn m +=，得⎩⎨
⎧=+=+472n m n m ，得1,3==n m ∴
25152155)(3)3(ααααβA A A A +=+=252151)(3αλαλ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=339435113122355 （B ）直线普通方程为
；曲线的普通方程为．
（2）∵,，∴点到直线的距离
点到直线的距离
∴
（C ）证明：因为x ，y ，z 都是为正数．所以
，
同理可得，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成
立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．
l 2y x =-C 22
1
43x y +=1(1,0)F -2(1,0)F 1F l 12d =
=
2F l 22d =
=
12d d +=12()x y x y yz zx z y x z +=+≥22
y z z x zx xy x xy yz y ++≥，≥
111x y z yz zx xy x y z ++++
≥
8, 3 y 9, 20
10, 23。